Ableitung der Kosinusfunktion

Graph der Kosinusfunktion

Graph der Kosinusfunktion

Um die Ableitung der Kosinusfunktion zu ermitteln, gehen wir von der Ableitung der Sinusfunktion aus und nutzen die Beziehung cos x = sin ( π 2 x ) . Das heißt: Anstelle der Funktion f ( x ) = cos x betrachten wir die Funktion mit der Gleichung f ( x ) = sin ( π 2 x ) und wenden darauf die Kettenregel an.

Setzt man v ( z ) = sin z m i t z = u ( x ) = π 2 x , dann folgt v ' ( z ) = cos z u n d u ' ( x ) = 1. Damit ergibt sich:
f ' ( x ) = cos z ( 1 ) = cos ( π 2 x ) = sin x

Es gilt also für die Ableitung der Kosinusfunktion f ( x ) = cos x :

  • Die Kosinusfunktion f ( x ) = cos x ist im gesamten Definitionsbereich differenzierbar und besitzt die Ableitungsfunktion f ' ( x ) = sin x .

Unter Verwendung der Erkenntnisse über die ersten Ableitungen der Sinus- und der Kosinusfunktion lassen sich Aussagen über höhere Ableitungen dieser Funktionen treffen. Es gilt mit x :

( sin x ) ( 2 n + 1 ) = cos x ; ( cos x ) ( 2 n + 1 ) = sin x ;
( sin x ) ( 2 n + 2 ) = sin x ; ( cos x ) ( 2 n + 2 ) = cos x ;
( sin x ) ( 2 n + 3 ) = cos x ; ( cos x ) ( 2 n + 3 ) = sin x ;
( sin x ) ( 2 n + 4 ) = sin x ( cos x ) ( 2 n + 4 ) = cos x

Beispiel 1: Es ist die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion f ( x ) = cos x an der Stelle x 0 = π 6 zu ermitteln.

Mit m = f ' ( π 6 ) = sin ( π 6 ) = 1 2 u n d P 0 ( π 6 ; 1 2 3 )
erhält man als Gleichung der Tangente
( y 1 2 3 ) = 1 2 ( x π 6 ) , a l s o t : y = 1 2 x + ( π 6 + 1 2 3 ) .

Beispiel 2: Man bilde die 1. Ableitung der Funktion f ( x ) = 2 x 3 cos 3 x .

Unter Anwendung von Produkt- und Kettenregel ergibt sich:
f ' ( x ) = 6 x 2 cos 3 x 2 x 3 3 sin 3 x = 6 x 2 ( cos 3 x x sin 3 x )

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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