Ableitung der Kosinusfunktion
Im Folgenden wird gezeigt, dass die Kosinusfunktion f(x)=cosx im gesamten Definitionsbereich differenzierbar ist und die Ableitungsfunktion f'(x)=− sinx besitzt.
Dazu betrachten wir den Graph der Kosinusfunktion f(x)=cosx (x∈ℝ) im Intervall von 0 bis 2 π.
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Graph der Kosinusfunktion
Um die Ableitung der Kosinusfunktion zu ermitteln, gehen wir von der Ableitung der Sinusfunktion aus und nutzen die Beziehung cosx=sin(π2−x). Das heißt: Anstelle der Funktion f(x)=cosx betrachten wir die Funktion mit der Gleichung f(x)=sin(π2−x) und wenden darauf die Kettenregel an.
Setzt man v(z)=sinz mit z=u(x)=π2−x, dann folgt v'(z)=cosz und u'(x)=−1. Damit ergibt sich:
f'(x)=cosz⋅(−1)=−cos(π2−x)=− sinx
Es gilt also für die Ableitung der Kosinusfunktion f(x)=cosx:
- Die Kosinusfunktion f(x)=cosx ist im gesamten Definitionsbereich differenzierbar und besitzt die Ableitungsfunktion f'(x)=− sinx.
Unter Verwendung der Erkenntnisse über die ersten Ableitungen der Sinus- und der Kosinusfunktion lassen sich Aussagen über höhere Ableitungen dieser Funktionen treffen. Es gilt mit x∈ℕ:
| (sinx)(2n+1)=cosx; | (cosx)(2n+1)=− sinx; |
| (sinx)(2n+2)=− sinx; | (cosx)(2n+2)=− cosx; |
| (sinx)(2n+3)=− cosx; | (cosx)(2n+3)=sinx; |
| (sinx)(2n+4)=sinx | (cosx)(2n+4)=cosx |
Beispiel 1: Es ist die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion f(x)=cosx an der Stelle x0=π6 zu ermitteln.
Mit m=f'(π6)=− sin(π6)=−12 und P0(π6; 12√3)
erhält man als Gleichung der Tangente
(y−12√3)=−12(x−π6), also t: y=−12x+(π6+12√3).
Beispiel 2: Man bilde die 1. Ableitung der Funktion f(x)=2x3⋅cos3x.
Unter Anwendung von Produkt- und Kettenregel ergibt sich:
f'(x)=6x2⋅cos3x−2x3⋅3sin3x=6x2(cos3x−x⋅sin3x)
