Ableitung der Kosinusfunktion

Um die Ableitung der Kosinusfunktion zu ermitteln, gehen wir von der Ableitung der Sinusfunktion aus und nutzen die Beziehung $\cos x=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$. Das heißt: Anstelle der Funktion $f\left(x\right)=\cos x$ betrachten wir die Funktion mit der Gleichung $f(x)=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$ und wenden darauf die Kettenregel an.

Setzt man $v\left(z\right)=\sin zmitz=u\left(x\right)=\frac{\pi }{2}-x$, dann folgt $v\text{'}\left(z\right)=\cos zundu\text{'}\left(x\right)=-1.$ Damit ergibt sich:
$f\text{'}(x)=\cos z\cdot \left(-1\right)=-\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=-\sin x$

Es gilt also für die Ableitung der Kosinusfunktion $f\left(x\right)=\cos x$:

• Die Kosinusfunktion $f\left(x\right)=\cos x$ ist im gesamten Definitionsbereich differenzierbar und besitzt die Ableitungsfunktion $f\text{'}(x)=-\sin x$.

Unter Verwendung der Erkenntnisse über die ersten Ableitungen der Sinus- und der Kosinusfunktion lassen sich Aussagen über höhere Ableitungen dieser Funktionen treffen. Es gilt mit $x\in \mathbb{N}$:

Beispiel 1: Es ist die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion $f\left(x\right)=\cos x$ an der Stelle $x_0=\frac{\pi }{6}$ zu ermitteln.

Mit $m=f\text{'}\left(\frac{\pi }{6}\right)=-\sin \left(\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}und{P}_0\left(\frac{\pi }{6};\frac{1}{2}\sqrt{3}\right)$
erhält man als Gleichung der Tangente
$\begin{array}{l}\left(y-\frac{1}{2}\sqrt{3}\right)=-\frac{1}{2}\left(x-\frac{\pi }{6}\right),also\\ t\text{:}y=-\frac{1}{2}x+\left(\frac{\pi }{6}+\frac{1}{2}\sqrt{3}\right).\end{array}$

Beispiel 2: Man bilde die 1. Ableitung der Funktion $f\left(x\right)=2x^3\cdot \cos 3x.$

Unter Anwendung von Produkt- und Kettenregel ergibt sich:
$\begin{array}{c}f\text{'}\left(x\right)=6x^2\cdot \cos 3x-2x^3\cdot 3\sin 3x\\ =6x^2\left(\cos 3x-x\cdot \sin 3x\right)\end{array}$