Ableitung der Tangens- und der Kotangensfunktion

Um die Ableitung der Tangensfunktion zu ermitteln, gehen wir von der Definitionsgleichung $f(x)=\frac{\sin x}{\cos x}$ aus und wenden die Quotientenregel der Differenzialrechnung an.

Es gilt dann:
$\begin{array}{l}u\text{'}=2xundv\text{'}=\frac{1}{{\cos }^{2}x},also\\ f\text{'}\left(x\right)=2x\cdot \tan x+\frac{1}{{\cos }^{2}x}\cdot x^2=x\left(2\cdot \tan x+\frac{x}{{\cos }^{2}x}\right)\end{array}$

Für die Ableitung der Tangensfunktion gilt also:

• Die Tangensfunktion $f\left(x\right)=\tan x$ ist in ihrem gesamten Definitionsbereich $\left(x\in ℝ;x\ne \frac{\pi }{2}+k\cdot \pi ;k\in \mathbb{Z}\right)$ differenzierbar und besitzt dort die Ableitungsfunktion $f\text{'}(x)=\frac{1}{{\cos }^{2}x}bzw.f\text{'}(x)=1+{\tan }^{2}x.$

Beispiel: Es ist die 1. Ableitung der Funktion $f(x)=x^2\cdot \tan x$ zu ermitteln.

Wir wenden die Produktregel der Differenzialrechnung an.
Mit $u=x^{2}undv=\tan x$ gilt dann:
$\begin{array}{l}u\text{'}=2xundv\text{'}=\frac{1}{{\cos }^{2}x},also\\ f\text{'}\left(x\right)=2x\cdot \tan x+\frac{1}{{\cos }^{2}x}\cdot x^2=x\left(2\cdot \tan x+\frac{x}{{\cos }^{2}x}\right)\end{array}$

Die Ableitung der Kotangensfunktion kann auf analogem Wege ermittelt werden.

In diesem Fall wendet man die Quotientenregel auf die Definitionsgleichung der Kotangensfunktion $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$ oder $\cot x=\frac{1}{tanx}$ an und erhält als Ableitung der Kotangensfunktion:

• Die Kotangensfunktion $f\left(x\right)=\cot x$ ist in ihrem gesamten Definitionsbereich $\left(x\in ℝ;x\ne k\cdot \pi ;k\in ℝ\right)$ differenzierbar und besitzt dort die Ableitungsfunktion $f\text{'}\left(x\right)=\frac{-1}{{\sin }^{2}x}bzw.f\text{'}(x)=-\left(1+{\cot }^{2}x\right).$