Die barometrische Höhenformel

Da Gase im Unterschied zu Flüssigkeiten kompressibel sind, nimmt der Druck beim Aufsteigen vom Grund der Atmosphäre nicht linear ab.
Um den Druckverlauf p(h) zu berechnen, muss man einige vereinfachende Annahmen machen: Wir nehmen an, dass die Lufthülle der Erde überall die gleiche Zusammensetzung hat, was annähernd stimmt und dass die Temperatur sich mit zunehmender Höhe nicht ändert, was nie stimmt (die Temperatur sinkt um etwa 6,5 K je km Höhenzunahme). Ohne diese Vereinfachungen ist aber die folgende Rechnung nicht möglich.

Der Beitrag einer Luftschicht mit der Dicke dh und der Dichte ρ zum Gewicht der Luft über der Fläche A ist dFG=ρgAdh, die Druckänderung also dp=ρgdh.

Bild

Wir schreiben das mit negativem Vorzeichen, weil beim Fortschreiten nach oben (dh positiv) der Druck abnimmt (dp negativ).

Außer dem Druck nimmt auch die Luftdichte nach oben ab.
Es gilt bei konstanter Temperatur das Gesetz von BOYLE und MARIOTTE ρp bzw. ρp=ρ0p0, dabei sind ρ0 und p0 Dichte und Luftdruck am Boden (h = 0).
Einsetzen von ρ=ρ0p0p ergibt dp=ρ0p0gpdh.

Diese Differenzialgleichung wird durch Trennen der Variablen (p und h) und Integration auf beiden Seiten gelöst. Man erhält:
dpp=ρ0p0gdh, also lnp+C=ρ0p0gh

Die Integrationskonstante C bestimmen wir aus der Randbedingung:
Für h = 0  ist  p = p0, woraus sich C=lnp0 ergibt.
Für die barometrische Höhenformel folgt dann:
p=p0eρ0p0gh

Der Luftdruck nimmt also exponentiell ab; streng genommen ist die Erdatmosphäre in keiner Höhe zu Ende.
Misst man den Luftdruck am Erdboden und in einer beliebigen Höhe, dann lässt sich daraus die Höhe bestimmen. Das ist ein beliebter Praktikumsversuch für Studenten. Auf diesem Prinzip beruht auch die Höhenmessung von Flugzeugen.

Für genauere Ansprüche genügt diese Gleichung wegen der vorgenommenen Vereinfachungen nicht. Man legt dann eine Normalatmosphäre zugrunde, die nach der empirisch ermittelten Gleichung
p=p0(16,5h/km288)5,256
verläuft.

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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