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Die barometrische Höhenformel

Der Druck der uns umgebenden Luft wird durch das Gewicht der Erdatmosphäre verursacht. Der französische Naturforscher BLAISE PASCAL (1623 bis 1663) hat im Jahre 1648 durch vorbildliche Messungen überzeugend nachgewiesen, dass der Luftdruck mit zunehmender Höhe fällt.
Die Berechnung des Luftdrucks in Abhängigkeit von der Höhe kann nach der barometrischen Höhenformel erfolgen. Man erhält sie als Lösung einer Differenzialgleichung, die auf der Grundlage einiger notwendiger vereinfachender Annahmen und dem Gesetz von BOYLE und MARIOTTE modelliert wird.

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Da Gase im Unterschied zu Flüssigkeiten kompressibel sind, nimmt der Druck beim Aufsteigen vom Grund der Atmosphäre nicht linear ab.
Um den Druckverlauf p(h) zu berechnen, muss man einige vereinfachende Annahmen machen: Wir nehmen an, dass die Lufthülle der Erde überall die gleiche Zusammensetzung hat, was annähernd stimmt und dass die Temperatur sich mit zunehmender Höhe nicht ändert, was nie stimmt (die Temperatur sinkt um etwa 6,5 K je km Höhenzunahme). Ohne diese Vereinfachungen ist aber die folgende Rechnung nicht möglich.

Der Beitrag einer Luftschicht mit der Dicke dh und der Dichte ρ zum Gewicht der Luft über der Fläche A ist d F G = ρ ⋅ g ⋅ A ⋅ d h , die Druckänderung also d p = − ρ ⋅ g ⋅ d h .

Bild

Wir schreiben das mit negativem Vorzeichen, weil beim Fortschreiten nach oben (dh positiv) der Druck abnimmt (dp negativ).

Außer dem Druck nimmt auch die Luftdichte nach oben ab.
Es gilt bei konstanter Temperatur das Gesetz von BOYLE und MARIOTTE ρ ∼ p  bzw.  ρ p = ρ 0 p 0 , dabei sind ρ 0  und  p 0 Dichte und Luftdruck am Boden (h = 0).
Einsetzen von ρ = ρ 0 p 0 ⋅ p ergibt d p = − ρ 0 p 0 ⋅ g ⋅ p ⋅ d h .

Diese Differenzialgleichung wird durch Trennen der Variablen (p und h) und Integration auf beiden Seiten gelöst. Man erhält:
d p p = − ρ 0 p 0 ⋅ g ⋅ d h , also  ln p + C = − ρ 0 p 0 ⋅ g ⋅ h  

Die Integrationskonstante C bestimmen wir aus der Randbedingung:
Für h = 0  ist  p = p 0 , woraus sich C = − ln p 0 ergibt.
Für die barometrische Höhenformel folgt dann:
p = p 0 ⋅ e − ρ 0 p 0 ⋅ g ⋅ h

Der Luftdruck nimmt also exponentiell ab; streng genommen ist die Erdatmosphäre in keiner Höhe zu Ende.
Misst man den Luftdruck am Erdboden und in einer beliebigen Höhe, dann lässt sich daraus die Höhe bestimmen. Das ist ein beliebter Praktikumsversuch für Studenten. Auf diesem Prinzip beruht auch die Höhenmessung von Flugzeugen.

Für genauere Ansprüche genügt diese Gleichung wegen der vorgenommenen Vereinfachungen nicht. Man legt dann eine Normalatmosphäre zugrunde, die nach der empirisch ermittelten Gleichung
p = p 0 ⋅ ( 1 − 6,5 ⋅ h / km 288 ) 5,256
verläuft.

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Die barometrische Höhenformel." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/die-barometrische-hoehenformel (Abgerufen: 20. May 2025, 09:23 UTC)

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Terminologie der Differenzialgleichungen

Eine Differenzialgleichung ist eine Gleichung, in der Ableitungen unbekannter Funktionen auftreten. Handelt es sich bei den Funktionen um Funktionen einer Veränderlichen, so nennt man die Differenzialgleichungen „gewöhnliche Differenzialgleichungen“, bei mehreren Veränderlichen „partielle Differenzialgleichungen“.

Beispiele für gewöhnliche Differenzialgleichungen sind x   y ′ − y + c     x = 0 oder auch y ″ = c   y .

Die Theorie der Differenzialgleichungen untersucht, ob es eine oder mehrere Funktionen gibt, die (in die Differenzialgleichung eingesetzt) diese für jeden Wert der Variablen erfüllen und wie diese Funktion bzw. diese Funktionen gefunden werden können. Für einige Typen von Differenzialgleichungen lassen sich exakte Verfahren zum Auffinden von Lösungen angeben, sonst müssen Näherungsverfahren oder numerische Verfahren verwendet werden. Für numerische Verfahren werden auf modernen Rechenanlagen leistungsfähige Programme angeboten.

Durch Differenzialgleichungen lassen sich gewisse physikalische Gesetzmäßigkeiten gut darstellen, z.B. Schwingungs- und Strömungsvorgänge.
Im Folgenden werden einige wichtige Begriffe aus der Theorie der gewöhnlichen Differenzialgleichungen erläutert.

Unbeschränktes und logistisches Wachstum (Differenzialgleichungen)

Eine Population bestehe aus N Individuen. Nach einer Zeit Δ t ist eine Änderung Δ N mit Δ N = N ( t + Δ t ) − N ( t ) des Populationsumfangs N zu verzeichnen. Kann die Population ohne Beschränkung wachsen, so ist die Änderung proportional zum Ausgangsumfang – je mehr Individuen vorhanden sind, desto mehr Nachwuchs stellt sich ein. Es gilt also Δ N ∼ N  oder  Δ N = k N (unbeschränktes Wachstum), wobei k als Wachstumsrate (bei unbeschränktem Wachstum) bezeichnet wird.
Ist das Wachstum durch eine Obergrenze G der Individuenzahl beschränkt, so wird sich bei noch kleiner Individuenzahl ein annähernd unbeschränktes Wachstum einstellen, mit wachsender Zahl N wird die Wachstumsrate jedoch kleiner, um schließlich bei N = G den Wert 0 anzunehmen. Eine Beschränkung kommt beispielsweise zustande, wenn die Population in einem isolierten Gebiet lebt, in dem sich höchstens G Individuen ernähren können.

Die modifizierte Wachstumsrate
k b = k ( 1 − N G )
weist das erwartete Verhalten auf.

Als Differenzengleichung ergibt sich
Δ N = k b ⋅ N = k ⋅ ( 1 − N G ) ⋅ N
(logistisches Wachstum).

Mathematische Darstellung elektromagnetischer Schwingungen

Die Vorgänge in einem elektromagnetischen Schwingkreis können mit verschiedenen mathematischen Hilfsmitteln untersucht werden.
Als ein effektiver Weg zur Lösung der dabei betrachteten Differenzialgleichung erweist sich hierbei das Rechnen mit komplexen Zahlen. Veränderliche Ströme und Ladungen werden mit kleinen Buchstaben, also mit i und q bezeichnet. Im Unterschied dazu bezeichnen wir die imaginäre Einheit mit j, also − 1 = j .

Kugel und Feder - Bewegungsgleichung oder Energiesatz

Für die mathematische Beschreibung bzw. Berechnung von Bewegungsvorgängen gibt es oftmals verschiedene Vorgehensweisen. Die Berechnung kann mithilfe des newtonschen Grundgesetzes oder auch mithilfe des Energieerhaltungssatzes erfolgen. Ein Beispiel soll diese beiden Möglichkeiten demonstrieren.

Exponentieller Zerfall und exponentielles Wachstum

Viele Wachstums- und Zerfallsprozesse in Natur und Technik verlaufen exponentiell. Hierzu gehören u.a. das Wirtschaftswachstum, die Entwicklung von Tierpopulationen bzw. der radioaktive Zerfall. Idealisiert erfolgt eine Beschreibung dieser Prozesse meist durch die Differenzialgleichung d N d t = − λ ⋅ N .
Die Betrachtung realer Wachstumsprozesse in der Natur führt zum mathematischen Modell „Gebremstes Wachstum“. Berücksichtigt man, dass viele Prozesse nicht kontinuierlich, sondern quantenhaft verlaufen, lassen sie sich oftmals besser durch Rekursionsgleichungen beschreiben.

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