Eigenschaften und Anwendungen des Skalarprodukts von Vektoren

Eigenschaften des Skalarprodukts

Für beliebige Vektoren $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}und\overrightarrow{c}$ sowie für jede reelle Zahl t gilt:

1. $$ a → ⋅ b →       =       b → ⋅ a → (Kommutativität)
2. $\overrightarrow{a}\cdot \left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}$ (Distributivität)
3. $\left(t\overrightarrow{a}\right)\cdot \overrightarrow{b}=t\left(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\right)$
4. ${\overrightarrow{a}}^2\ge 0,wobei{\overrightarrow{a}}^2=0genaudann,wenn\overrightarrow{a}=\overrightarrow{o}$

Für das Skalarprodukt zweier Vektoren der Ebene oder des Raumes, die durch ihre Koordinaten gegeben sind, gilt:
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=a_x{b}_x+a_y{b}_{y}bzw.\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z$

Dies ermöglicht es, die Orthogonalitätsbedingung für zwei Vektoren sehr einfach zu formulieren. Es gilt der folgende Satz:

• Sind bezüglich eines Koordinatensystems die beiden Vektoren
  $\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\end{array}\right)und\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{b}_x\\ b_y\end{array}\right)$
  in der Ebene gegeben, dann gilt $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$ genau dann, wenn $a_x{b}_x+a_y{b}_y=0$.
• Sind bezüglich eines Koordinatensystems die beiden Vektoren
  $\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\\ a_z\end{array}\right)und\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{b}_x\\ b_y\\ b_z\end{array}\right)$
  im Raum gegeben, dann gilt $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$ genau dann, wenn $a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z=0$.

Bezeichnet man mit ${\overrightarrow{e}}_1,{\overrightarrow{e}}_{2}bzw.{\overrightarrow{e}}_3$ die Einheitsvektoren in Richtung der Achsen eines kartesischen Koordinatensystems, so folgt speziell:
${\overrightarrow{e}}_1\cdot {\overrightarrow{e}}_2={\overrightarrow{e}}_1\cdot {\overrightarrow{e}}_3={\overrightarrow{e}}_2\cdot {\overrightarrow{e}}_3=0$

• Beispiel 1: Es ist zu überprüfen, welcher der drei Vektoren
  $\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ -1\end{array}\right),\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ 2\end{array}\right)und\overrightarrow{c}=\left(\begin{array}{c}-2\\ \mathrm{1,8}\\ 3\end{array}\right)$
  zu einem der anderen beiden orthogonal ist.

Es gilt: $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\mathrm{15,}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=0und\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=\mathrm{15,2}$
Also sind lediglich die Vektoren $\overrightarrow{a}und\overrightarrow{c}$ zueinander senkrecht.

• Beispiel 2: Gegeben seien in der Ebene die beiden Geraden
  $g_1:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right),t\in R,und{g}_2:y=-x+3$,
  die einander im Punkt S(1; 2) schneiden.

Aus der Abbildung ist zu entnehmen, dass diese beiden Geraden zueinander senkrecht sein könnten. Dies soll nun rechnerisch nachgeprüft werden.
Dazu wird von $g_{1}und{g}_2$ jeweils einen Richtungsvektor bestimmt:
Aus der Gleichung von $g_1$ kann man sofort einen Richtungsvektor dieser Geraden ablesen, nämlich
${\overrightarrow{a}}_1=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)$.

Da der Anstieg der Geraden $g_2$ den Wert -1 hat, lässt sich aus dem Anstiegsdreieck
${\overrightarrow{a}}_2=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)$
als ein Richtungsvektor von $g_2$ bestimmen.

Bildet man nun das Skalarprodukt dieser beiden Richtungsvektoren, so ergibt sich
${\overrightarrow{a}}_1\cdot {\overrightarrow{a}}_2=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)=-2+2=0$.

Die Vektoren ${\overrightarrow{a}}_{1}und{\overrightarrow{a}}_2$ sind also zueinander senkrecht. Da aber ${\overrightarrow{a}}_{1}und{\overrightarrow{a}}_2$ die Richtungen von $g_{1}und{g}_2$ beschreiben, sind folglich auch $g_{1}und{g}_2$ zueinander senkrecht und die Vermutung aus der Abbildung wurde bestätigt.

Das Skalarprodukt von Vektoren findet weiterhin Anwendung u.a.

1. bei der Berechnung von Schnittwinkeln;
2. bei der Ermittlung von Abständen zwischen Punkten, Geraden und Ebenen;
3. beim Arbeiten mit Matrizen;
4. als Hilfsmittel beim Aufstellen von Tangenten- oder Tangentialebenengleichungen