- Lexikon
- Mathematik Abitur
- 10 Vektoren und Vektorräume
- 10.8 Skalarprodukt von Vektoren
- 10.8.2 Anwendungen des Skalarprodukts
- Eigenschaften und Anwendungen des Skalarprodukts von Vektoren
Für beliebige Vektoren sowie für jede reelle Zahl t gilt:
Für das Skalarprodukt zweier Vektoren der Ebene oder des Raumes, die durch ihre Koordinaten gegeben sind, gilt:
Dies ermöglicht es, die Orthogonalitätsbedingung für zwei Vektoren sehr einfach zu formulieren. Es gilt der folgende Satz:
Bezeichnet man mit die Einheitsvektoren in Richtung der Achsen eines kartesischen Koordinatensystems, so folgt speziell:
Es gilt:
Also sind lediglich die Vektoren zueinander senkrecht.
Untersuchung von Geraden auf Orthogonalität
Aus der Abbildung ist zu entnehmen, dass diese beiden Geraden zueinander senkrecht sein könnten. Dies soll nun rechnerisch nachgeprüft werden.
Dazu wird von jeweils einen Richtungsvektor bestimmt:
Aus der Gleichung von kann man sofort einen Richtungsvektor dieser Geraden ablesen, nämlich
.
Da der Anstieg der Geraden den Wert -1 hat, lässt sich aus dem Anstiegsdreieck
als ein Richtungsvektor von bestimmen.
Bildet man nun das Skalarprodukt dieser beiden Richtungsvektoren, so ergibt sich
.
Die Vektoren sind also zueinander senkrecht. Da aber die Richtungen von beschreiben, sind folglich auch zueinander senkrecht und die Vermutung aus der Abbildung wurde bestätigt.
Das Skalarprodukt von Vektoren findet weiterhin Anwendung u.a.
Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.
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