Zahlenfolgen

Unter einer Zahlenfolge versteht man eine Menge von (reellen) Zahlen, die so geordnet ist, dass feststeht, welches die erste, zweite, dritte, ... Zahl ist.
Man schreibt dafür $\left(a_n\right)=\left\{a_1;a_2;a_3;\mathrm{...}\right\}$und nennt die $a{}_i$ Glieder der Zahlenfolge.

• Beispiel 1: $\left(a{}_n\right)=\left\{2;4;6;8;\mathrm{...}\right\}$
• Beispiel 2: $\left(a_n\right)=\left\{2;4;8;16;\mathrm{...}\right\}$
• Beispiel 3: $\left(a_n\right)=\left\{1;\frac{1}{2};\frac{1}{3};\frac{1}{4};\mathrm{...}\right\}$
• Beispiel 4: $\left(a_n\right)=\left\{1;-2;3;-4;5;-6;\mathrm{...}\right\}$
• Beispiel 5: $\left(a_n\right)=\left\{1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};\frac{1}{16};\mathrm{...}\right\}$
• Beispiel 6: $\left(a_n\right)=\left\{7;7;7;7;\mathrm{...}\right\}$
• Beispiel 7: $\left(a_n\right)=\left\{1;1;2;3;5;8;11\mathrm{...}\right\}$
• Beispiel 8: $\left(a_n\right)=\left\{2;3;5;7;11;13;\mathrm{...}\right\}$

Anmerkung: Ist man der Auffassung, dass die natürlichen Zahlen mit 0 und nicht mit 1 (die Meinungen sind hier auch in der Fachwelt geteilt) beginnen, bezeichnet man das erste Glied (Anfangsglied) der Zahlenfolge mit $a_0$ und schreibt dann $\left(a_n\right)=\left\{a_0;a_1;a_2;a_3;\mathrm{....}\right\}$.
Im Folgenden wird das Anfangsglied immer mit $a_1$ bezeichnet.

Bei einer Zahlenfolge sind alle Glieder eindeutig den natürlichen Zahlen zugeordnet. Damit ist eine Zahlenfolge eine Funktion, deren Definitionsbereich die Menge der natürlichen Zahlen (bzw. eine bei 1 beginnenden Teilmenge davon) ist und deren Wertebereich eine Teilmenge der reellen Zahlen ist.

Eine Zahlenfolge heißt endlich, wenn sie nur endlich viele Glieder besitzt. Wesentlich interessanter sind aber unendliche Zahlenfolgen, bei denen durch ein Bildungsgesetz (eine Formel oder auch eine verbale Vorschrift) angegeben ist, wie man die Glieder der Folge erhält.
Für oben genannte Beispiele lassen sich folgende Bildungsgesetze angeben:

• Beispiel 1: $a_n=a_{n-1}+2;a_1=2$ bzw. $a_n=2n(n=\mathrm{1,}2;3;\mathrm{...})$
• Beispiel 2: $a_n=2\cdot a_{n-1};a_1=2$ bzw. $a_n=2^n(n=\mathrm{1,}2;3;\mathrm{...})$
• Beispiel 3: $a_n=\frac{1}{n}(n=1;2;3;\mathrm{...})$
• Beispiel 4: $a_n={\left(-1\right)}^{n+1}\cdot n(n=\mathrm{1,}2;3;\mathrm{...})$
• Beispiel 5: $a_n=\frac{a_{n-1}}{2};a_1=1$ bzw. $a_n=\frac{1}{2^{n-1}}=2^{1-n}(n=\mathrm{1,}2;3;\mathrm{...})$
• Beispiel 6: $a_n=a_{n-1};a_1=7$ bzw. $a_n=7(n=\mathrm{1,}2;3;\mathrm{...})$
• Beispiel 7: $a_n=a_{n-1}+a_{n-2};a_1=a_2=1$

Anmerkungen:
Beispiel 7 ist die sogenannte FIBONACCI-Folge, benannt nach dem italienischen Mathematiker LEONARDO FIBONACCI VON PISA (etwa 1180 bis etwa 1250).
Beispiel 8 ist die Folge der Primzahlen. Hier gibt es keine Formel, nach der man die nächste bzw. die erste, zweite, ..., n-te Primzahl berechnen könnte.

Oftmals lässt sich die Bildungsvorschrift auch durch einen Bezug auf das vorangehende Glied (bzw. die vorangehenden Glieder) formulieren, was als rekursive Bildungsvorschrift bezeichnet wird. In derartigen Fällen ist zur eindeutigen Bestimmung der Folge aber auch die Angabe des Anfangsgliedes (bzw. der Anfangsglieder) erforderlich (vgl. Beispiele 1, 2, 5, 6 und 7).

Da Zahlenfolgen (wie oben angegeben) Funktionen sind, lassen sie sich auch grafisch darstellen. Da der Definitionsbereich aber die Menge der natürlichen Zahlen (oder eine bei 1 beginnende Teilmenge davon) ist, besteht der Graph aus einer Reihe von diskreten Punkten.
Die folgende Abbildung zeigt ein Beispiel.

Betrachtet man die (oben angebenenen) Beispiele weiter, so lässt sich Folgendes feststellen:

• In Beispiel 1 ist jedes Glied (um 2) größer als das vorhergehende. Man sagt, die Folge wächst.
• In Beispiel 2 ist jedes Glied kleiner als das vorhergehende. Man sagt, die Folge fällt.
• In Beispiel 4 hat jedes Glied ein anderes Vorzeichen als das vorhergehende. Man sagt, die Folge alterniert.
• In Beispiel 6 ist jedes Glied gleich dem vorhergehenden. Man sagt, die Folge ist konstant.

Diese und weitere Eigenschaften von Zahlenfolgen kann man wie folgt definieren:
Wenn für alle Glieder einer Zahlenfolge $\left(a_n\right)$, also für alle n gilt

1. $a_{n+1}\ge a_n$, so ist die Folge monoton wachsend;
   $a_{n+1}\le a_n$, so ist die Folge monoton fallend;
   (Anmerkung: Lässt man die Gleichheit zweier benachbarter Glieder nicht zu, so spricht man von strenger Monotonie.)
2. $a_{n+1}\cdot a_n<0$, so ist die Folge alternierend;
3. $a_{n+1}=a_n$, so ist die Folge konstant;
4. $a_n\le S$, so ist die Folge nach oben beschränkt mit der Schranke S;
   $a_n\ge S$, so ist die Folge nach unten beschränkt mit der Schranke S.
   (Eine Zahlenfolge $\left(a_n\right)$ heißt genau dann beschränkt, wenn sie sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist).

Beispiele