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Baumdiagramme

Mithilfe von Baumdiagrammen lassen sich Vörgänge, die aus mehreren Stufen (Teilvorgängen) bestehen, veranschaulichen. Das betrifft sowohl kombinatorische Probleme als auch mehrstufige Zufallsexperimente (Zufallsversuche).

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Mithilfe von Baumdiagrammen lassen sich Vorgänge, die aus mehreren Stufen bestehen, veranschaulichen. Wie bei einem Baum können sich die „Äste“ auf einer bestimmten Stufe des Diagramms „verzweigen“. Die Zweige entsprechen dann den Ergebnissen des nächsten Teilvorgangs.
Jeder Weg durch das Baumdiagramm, der auch Pfad genannt wird, charakterisiert ein mögliches Ergebnis des mehrstufigen Vorgangs.

Beispiel:
Die Geburt zweier Kinder kann als Zusammensetzung zweier nacheinander ablaufender Teilvorgänge angesehen werden. Jedes der beiden möglichen Ergebnisse (Junge oder Mädchen) des ersten Teilvorgangs ist mit jedem möglichen Ergebnis des zweiten Teilvorgangs kombinierbar. Bild 1 zeigt ein entsprechendes Baumdiagramm.

Ein Pfad eines Baumdiagramms heißt günstig für ein Ereignis E, wenn der diesem Pfad entsprechende Ablauf zu einem für dieses Ereignis günstigen Ergebnis führt. Ereignisse können durch mehrere Pfade repräsentiert werden.

Beispiel:
Eine Münze wird dreimal nacheinander geworfen. Als Ergebnis wird jeweils das Eintreffen von Wappen (W) oder Zahl (Z) betrachtet.

Im folgenden Baumdiagramm sind die für das Ereignis „Es fallen genau zwei Wappen“ günstigen Pfade hervorgehoben.Baumdiagramme können genutzt werden, um kombinatorische Probleme zu lösen, insbesondere alle möglichen Anordnungen von Elementen einer Menge zu erfassen.

Schreibt man bei mehrstufigen Zufallsexperimenten an die einzelnen Verzweigungen des Baumdiagramms die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten für die Teilvorgänge, so kann man die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen mithilfe der Pfadregeln berechnen.

  • Beispiel eines zweistufigen Vorgangs
Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Baumdiagramme." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/baumdiagramme (Abgerufen: 20. May 2025, 06:37 UTC)

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Jakob Bernoulli

 

JAKOB BERNOULLI, Schweizer Mathematiker
* 27. Dezember 1654 Basel
† 16. August 1705 Basel

JAKOB BERNOULLI gilt als einer der Hauptvertreter der Infinitesimalrechnung und Reihenlehre seiner Zeit. Gemeinsam mit seinem Bruder Johann entwickelte er den „Leibnizschen Calculus“ weiter.
Mit dem aus seinem Nachlass im Jahre 1713 herausgegebenen Buch „Ars conjectandi“ wurde JAKOB BERNOULLI zum Begründer einer Theorie der Wahrscheinlichkeitsrechnung. In diesem Werk wird u. a. die Anwendung der Kombinatorik auf Glücks- und Würfelspiele beschrieben und das Gesetz der großen Zahlen formuliert.

Kombinationen

Zu den typischen kombinatorischen Fragestellungen gehören solche, bei denen Zusammenstellungen von k aus n Elementen betrachtet werden, also eine Auswahl vorgenommen wird.
Werden dabei alle möglichen Reihenfolgen der Elemente betrachtet und unterschieden, so spricht man von Variationen, wird die Reihenfolge nicht berücksichtigt von Kombinationen.
(Der Begriff Kombination wird mitunter auch als Oberbegriff für Variation und Kombination verwendet.)

Permutationen

Unter einer Permutation versteht man eine Anordnung, bei der alle n Elemente verwendet (d. h. auf n Plätze verteilt) werden. Man unterscheidet Permutationen ohne und mit Wiederholung (der Elemente).

Urnenmodell

Viele Probleme der klassischen Wahrscheinlichkeitsrechnung lassen sich mithilfe des Urnenmodells veranschaulichen (simulieren). Dazu wird angenommen, dass sich in einem Gefäß (der Urne) eine bestimmte Anzahl (unterscheidbarer) Kugeln befinden und dass aus diesem Gefäß eine entsprechende Anzahl von Kugeln nacheinander bzw. auf einen Griff gezogen werden.

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