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Faires Spiel

Mithilfe des Erwartungswertes der Zufallsgröße Gewinn lassen sich Spiele beurteilen.
Ein Spiel heißt fair, wenn der Erwartungswert des (Brutto-)Gewinns gleich dem Einsatz e ist, d. h., wenn
  E ( G B ) = e
gilt.

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Mithilfe des Erwartungswertes der Zufallsgröße Gewinn lassen sich Spiele beurteilen.

Im einfachsten Fall des Partnerspiels erwarten wir, dass im Mittel genauso viele Male gewonnen wie verloren wird, das Spiel also fair ist. Was hierbei der eine Spieler gewinnt, erhält er vom anderen (verliert der andere). Bezeichnen wir also den des ersten Spielers mit G, so ist −   G Gewinn des anderen, wobei Gewinn dann der Erwartungswert von −   G gleich −   E ( G ) ist. Für ein faires Spiel muss demzufolge gelten, dass E ( G ) = −   E ( G ) ist, was nur für E ( G ) = 0 möglich ist.

Wir nennen ein (Partner-)Spiel fair, wenn für den (Rein-)Gewinn eines Spielers gilt:

  E ( G ) = 0

Obige Bedingung bedeutet natürlich nicht, dass man bei fairen Spielen nicht gewinnen oder verloren kann; mit ihrer Hilfe kann man jedoch den fairen Einsatz bestimmen.
Wird mit einem Einsatz von e gespielt, so muss für den Erwartungswert des (Brutto-)Gewinnes G B gelten:

  E ( G B ) = e

Bei vielen Glücksspielen (Tombolas, Lotterien) tritt an die Stelle des zweiten Spielers die Bank. Für diese Spiele ist im Allgemeinen E ( G B ) < e , d. h., es handelt sich um unfaire Spiele (Beispielsweise werden beim Lotto „6 aus 49“ grundsätzlich nur 50% der eingesetzten Beträge ausgezahlt, der Rest wird für allgemeinnützige Zwecke verwendet bzw. dient der Begleichung entstehender Unkosten).

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Faires Spiel." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/faires-spiel (Abgerufen: 20. May 2025, 08:38 UTC)

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Daniel Bernoulli

* 08. Februar 1700 Groningen
† 17. März 1782 Basel

Auf mathematischem Gebiet beschäftigte sich DANIEL BERNOULLI vor allem mit Problemen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik. Darüber hinaus arbeitete er über Reihen und Differenzialgleichungen.
Seine bedeutendsten wissenschaftlichen Leitungen erzielte er auf dem Gebiet der Hydromechanik, indem ihm die mathematische Beschreibung strömender Flüssigkeiten gelang.

Rechenregeln für Erwartungswerte

Für die Erwartungswerte von Zufallsgrößen gelten eine Reihe wichtiger und nützlicher Rechneregeln. Der Einfachheit halber sollen hier nur endliche Zufallsgrößen betrachtet werden.
Erwartungswerte können nach diesen Sätzen, nach Definitionen bzw. durch Simulationen bestimmt werden.

Kenngrößen von Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße wird vollständig durch ihre Verteilungsfunktion beschrieben. Diese gibt an, welche Werte die Zufallsgröße annehmen kann und mit welchen Wahrscheinlichkeiten sie dies tut.
In der Praxis möchte man allerdings meist mit möglichst wenigen, aber typischen Angaben auskommen, denn oftmals reicht schon eine grobe Vorstellung von der Zufallsgröße aus. Es kommt hinzu, dass die Verteilungsfunktion mitunter gar nicht oder nur schwer bestimmbar ist.

Man sucht deshalb nach Kenngrößen (manchmal spricht man auch von Parametern), die einen hinreichenden Aufschluss und eine quantitative Charakterisierung einer Zufallsgröße ermöglichen. Dies leisten Kenngrößen wie Erwartungswert, Median und Modalwert sowie die Streuung (bzw. Varianz) der Zufallsgröße.
Zur Charakterisierung der Asymmetrie einer Zufallsgröße benutzt man darüber hinaus die Kenngröße Schiefe. Eine Definition dieser Kenngröße geht auf den Vater der mathematischen Statistik KARL PEARSON (1857 bis 1936) zurück.

Pierre Laplace

PIERRE SIMON DE LAPLACE (1749 bis 1827), französischer Mathematiker und Astronom
* 28. März 1749 Beaumont-en-Auge
† 5. März 1827 Paris

PIERRE SIMON DE LAPLACE lieferte bedeutende Beiträge auf den Gebieten der höheren Analysis, der Wahrscheinlichkeitsrechnung sowie der Himmelsmechanik. So fasste er beispielsweise in seinem 1812 erschienenen Werk „Théorie analytique des probabilités“ das damalige Wissen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung zusammen.

Pfadregeln

Die Pfadregeln gestatten, (anhand des entsprechenden Baumdiagramms) die Wahrscheinlichkeit von Ergebnissen bzw. Ereignissen bei mehrstufigen Zufallsversuchen zu berechnen.

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