Binomialverteilung

Wir betrachten eine Bernoulli-Kette der Länge n und der Erfolgswahrscheinlichkeit p. Die Anzahl der Erfolge ist dann eine Zufallsgröße, die die Werte 0, 1, 2 ... n annehmen kann. Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung wird Binomialverteilung oder auch bernoullische bzw. newtonsche Verteilung genannt.

Ein Zufallsgröße X mit den Werten 0, 1, 2 ... n heißt binomial verteilt mit den Parametern n und p, wenn gilt:

P ( X = k ) = ( n k ) p k ( 1 p ) n k ( k = 0 ; 1 ... n )

Diese Verteilung wird Binomialverteilung mit den Parametern n und p genannt.

Beispiel:
Es wird das 10-malige Werfen einer idealen Münze betrachtet, wobei Wappen als Erfolg und Zahl als Misserfolg gewertet wird.

Mit n = 10 und p = 0,5 erhalten wir für die Anzahl k der Erfolge:

P ( X = k ) = ( 10 k ) 0,5 k 0,5 10 k = ( 10 k ) 0,5 10 ( k = 0 ; 1 ... 10 )

Es ergibt sich folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung:

Anzahl k der ErfolgeWahrscheinlichkeit
00,000976562 0,1%
10,009765625 1,0%
20,043945312 4,4%
30,1171875 11,7%
40,205078125 20,5%
50,24609375 24,6%
60,205078125 20,5%
70,1171875 11,7%
80,043945312 4,4%
90,009765625 1,0%
100,000976562 0,1%
Wahrscheinlichkeitsverteilung beim 10-maligen Werfen einer idealen Münze

Wahrscheinlichkeitsverteilung beim 10-maligen Werfen einer idealen Münze

Das zugehörige Diagramm in Bild 1 zeigt den typischen Verlauf einer Binomialverteilung. Bis zu einem bestimmten Wert steigen die Wahrscheinlichkeiten an, dann fallen sie wieder. Für p = 0,5 sind die Diagramme symmetrisch.

Eine Veranschaulichung der Binomialverteilung ist mithilfe des sogenannten Galton-Brett möglich. In vielen Tafelwerken findet man auch Tabellen der Binomialverteilung für bestimmte Parameterwerte von n und p.

Der Erwartungswert einer binomial verteilten Zufallsgröße X berechnet sich wie folgt:

E ( X ) = n p

Im Fall des oben betrachten 10-maligen Münzwurfs ergibt sich E ( X ) = 10 0,5 = 5 .

Für das Beispiel des fünfmaligen Würfelns mit Sechs als Erfolg (s. Beispiel im Thema „Bernoulli-Ketten“) erhielte man
E ( X ) = 5 1 6 = 5 6 .

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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