Bogenmaß

Zwischen der Größe des Winkels α eines Kreissektors und der Länge b des zugehörigen Bogens besteht eine umkehrbar eindeutige Beziehung. Bezeichnet u die Länge des Umfangs des gesamten Kreises (mit dem Radius r), so gilt:
b:u=α:360°
Mit u=2πr folgt hieraus:
b:2πr=α:360°
bzw.
b=π180°rα
Bildet man nun das Verhältnis br, so ist dies wegen br=π180°α nur von der Größe des Winkels α abhängig. Zu jedem Winkel α, dessen Größe in Gradmaß angegeben ist, gehört also ein eindeutig bestimmter Wert des Verhältnisses br, der sich mittels π180°α berechnen lässt. Das gilt auch für Winkel, die kleiner als 0° oder größer als 360° sind. Wegen dieser eindeutigen Beziehung kann man die reelle Zahl απ180° als ein weiteres Maß für die Größe eines Winkels α verwenden. Man nennt es das Bogenmaß des Winkels α.

Das Bogenmaß eines Winkels α ist das Verhältnis (der Länge) des zu diesem Winkel gehörenden Kreisbogens b und (der Länge) des Kreisradius r. Es wird mit arc α (gesprochen: arkus alpha) oder α bezeichnet (arcus (lat.) – Bogen):
arcα=br=π180°α

Kreisbogen und Zentri- oder Mittelpunktswinkel am Kreis mit beliebigem Radius

Am Einheitskreis ist wegen r = 1 (Längeneinheit)
arcα=b. Deshalb kann man auch in folgender Weise formulieren:

Das Bogenmaß eines Winkels α ist die Maßzahl der Länge des zu diesem Winkel gehörenden Kreisbogens b auf dem Einheitskreis.

Die Einheit des Bogenmaßes beim Messen der Größe von Winkeln ist 1 Radiant (1 rad).
1 rad ist also die Größe des Winkels, für den der Bogen auf dem Einheitskreis die Länge 1 (LE) besitzt. Aus 1rad=π180°α folgt:
α=1180°π57,29578°(bzw.57°1745").
Umgekehrt gilt:
1°=π180°rad0,017453rad

Bei der Angabe von Winkelgrößen in Bogenmaß wird auf die Einheit rad meist verzichtet und lediglich die entsprechende reelle (Maß-)Zahl angegeben – also z. B. 1°=0,017453.
Häufig gibt man das Bogenmaß als ganzzahliges oder gebrochenes Vielfaches von π an.

Bild

Kreisbogen und Zentri- oder Mittelpunktswinkel am Einheitskreis
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