Bogenmaß

Zwischen der Größe des Winkels α eines Kreissektors und der Länge b des zugehörigen Bogens besteht eine umkehrbar eindeutige Beziehung. Bezeichnet u die Länge des Umfangs des gesamten Kreises (mit dem Radius r), so gilt:
b : u = α : 360 °
Mit u = 2 π r folgt hieraus:
b : 2 π r = α : 360 °
bzw.
b = π 180 ° r α
Bildet man nun das Verhältnis b r , so ist dies wegen b r = π 180 ° α nur von der Größe des Winkels α abhängig. Zu jedem Winkel α , dessen Größe in Gradmaß angegeben ist, gehört also ein eindeutig bestimmter Wert des Verhältnisses b r , der sich mittels π 180 ° α berechnen lässt. Das gilt auch für Winkel, die kleiner als 0° oder größer als 360° sind. Wegen dieser eindeutigen Beziehung kann man die reelle Zahl α π 180 ° als ein weiteres Maß für die Größe eines Winkels α verwenden. Man nennt es das Bogenmaß des Winkels α .

Das Bogenmaß eines Winkels α ist das Verhältnis (der Länge) des zu diesem Winkel gehörenden Kreisbogens b und (der Länge) des Kreisradius r. Es wird mit arc α (gesprochen: arkus alpha) oder α bezeichnet (arcus (lat.) – Bogen):
a r c α = b r = π 180 ° α

Kreisbogen und Zentri- oder Mittelpunktswinkel am Kreis mit beliebigem Radius

Kreisbogen und Zentri- oder Mittelpunktswinkel am Kreis mit beliebigem Radius

Am Einheitskreis ist wegen r = 1 (Längeneinheit)
a r c α = b . Deshalb kann man auch in folgender Weise formulieren:

Das Bogenmaß eines Winkels α ist die Maßzahl der Länge des zu diesem Winkel gehörenden Kreisbogens b auf dem Einheitskreis.

Die Einheit des Bogenmaßes beim Messen der Größe von Winkeln ist 1 Radiant (1 rad).
1 rad ist also die Größe des Winkels, für den der Bogen auf dem Einheitskreis die Länge 1 (LE) besitzt. Aus 1 r a d = π 180 ° α folgt:
α = 1 180 ° π 57,295 78 ° ( b z w . 57 ° 17 45") .
Umgekehrt gilt:
1 ° = π 180 ° r a d 0,01 745 3 r a d

Bei der Angabe von Winkelgrößen in Bogenmaß wird auf die Einheit rad meist verzichtet und lediglich die entsprechende reelle (Maß-)Zahl angegeben – also z. B. 1 ° = 0,01 745 3 .
Häufig gibt man das Bogenmaß als ganzzahliges oder gebrochenes Vielfaches von π an.

Bild

Kreisbogen und Zentri- oder Mittelpunktswinkel am Einheitskreis

Kreisbogen und Zentri- oder Mittelpunktswinkel am Einheitskreis

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