Diskriminante

Die Lösungsformel für die Normalform der quadratischen Gleichung ${\text{x}}^{\text{2}}+\text{p}\text{x}+\text{q}=\text{0}$ lautet:
${\text{x}}_{\text{1;}\text{2}}=-\frac{\text{p}}{\text{2}}\pm \sqrt{{\left(\frac{\text{p}}{\text{2}}\right)}^{\text{2}}-\text{q}}$
Der Radikand ${\left(\frac{\text{p}}{\text{2}}\right)}^{\text{2}}-\text{q}$ heißt Diskriminante und wird mit D abgekürzt.

Vom Wert des Radikanden in der Lösungsformel hängt es ab, ob die quadratische Gleichung zwei, eine oder keine reelle Lösung hat:

• Ist D > 0, so gibt es zwei Lösungen: ${\text{x}}_{\text{1}}=-\frac{\text{p}}{\text{2}}+\text{D}\text{und}{\text{x}}_{\text{2}}=-\frac{\text{p}}{\text{2}}-\text{D}$
• Ist D = 0, so gibt es genau eine Lösung:
  $\text{x}=-\frac{\text{p}}{\text{2}}$
• Ist D < 0, so gibt es keine Lösung, da $\sqrt{D}$ keine reelle Zahl ist.

Beispiel 1:

       $\begin{array}{l}{\text{x}}^{\text{2}}+\text{12}\text{x}-\text{45}=\text{0}\\ {\text{x}}_{\text{1;}\text{2}}=-\frac{\text{12}}{\text{2}}\pm \sqrt{{\left(\frac{\text{12}}{\text{2}}\right)}^{\text{2}}+\text{45}}\\ {\text{x}}_{\text{1;}\text{2}}=-6\pm \sqrt{36+45}\\ {\text{x}}_{\text{1;}\text{2}}=-\text{6}\pm \sqrt{\text{81}}\text{D}>\text{0}\Rightarrow \text{zwei}\text{Lösungen}\\ {\text{x}}_{\text{1}}=-\text{6}+\text{9}=\text{3}\\ {\text{x}}_{\text{2}}=-\text{6}-\text{9}=–1\text{5}\\ \text{L}=\left\{\text{3;}–\text{15}\right\}\end{array}$

Beispiel 2:

        $\begin{array}{l}{\text{x}}^{\text{2}}-\text{8}\text{x}+\text{16}=\text{0}\\ {\text{x}}_{\text{1;}\text{2}}=-\frac{–\text{8}}{\text{2}}\pm \sqrt{{\left(\frac{–\text{8}}{\text{2}}\right)}^{\text{2}}-16}\\ {\text{x}}_{\text{1;}\text{2}}=+4\pm \sqrt{16-16}\\ {\text{x}}_{\text{1;}\text{2}}=+\text{4}\pm \sqrt{\text{0}}\text{D}=\text{0}\Rightarrow \text{eine}\text{Lösung}\\ {\text{x}}_{\text{1}}={\text{x}}_{\text{2}}=\text{4}\\ \text{L}=\left\{\text{4}\right\}\end{array}$

Beispiel 3:

         $\begin{array}{l}{\text{x}}^{\text{2}}+\text{20}\text{x}+\text{144}=\text{0}\\ {\text{x}}_{\text{1;}\text{2}}=-\frac{\text{20}}{\text{2}}\pm \sqrt{{\left(\frac{\text{20}}{\text{2}}\right)}^{\text{2}}-144}\\ {\text{x}}_{\text{1;}\text{2}}=–10\pm \sqrt{100-144}\\ {\text{x}}_{\text{1;}\text{2}}=–10\pm \sqrt{–44}\text{D}<\text{0}\Rightarrow \text{keine}\text{reelle}\text{Lösung}\\ \text{L}=\left\{\right\}\end{array}$

Für den Fall D < 0 hat die quadratische Gleichung zwei Lösungen im Bereich der komplexen Zahlen.

Für die quadratische Gleichung in allgemeiner Form
$\text{a}{\text{x}}^{\text{2}}+\text{b}\text{x}+\text{c}=\text{0}$ lässt sich für $\text{D}={\text{b}}^{\text{2}}-\text{4}\text{a}\text{c}$ eine analoge Fallunterscheidung durchführen.