Exponentialgleichungen, Anwendungen

Beispiel 1 (Zinseszinsrechnung):

Nach wie vielen Jahren hat sich ein Kapital verdoppelt, wenn man es zu 3 % fest anlegt und die Zinsen jährlich dem Kapital zugeschlagen werden?

Es handelt sich um eine Aufgabe zur Zinseszinsrechnung. Die geeignete Formel lautet:
$K_n=K_0\cdot q^n$
Dabei bedeuten $K_0$ das Anfangskapital, n die Anzahl der Jahre, $K_n$ das Kapital nach n Jahren und $q=1+\frac{p}{100}$ mit dem Prozentsatz (Zinssatz) p. Gesucht ist die Anzahl der Jahre n.
Gegeben:
$\begin{array}{c}{K}_n=2\cdot K_0\\ p=\mathrm{3,}alsoq=\mathrm{1,03}\end{array}$

Lösung:
$\begin{array}{c}2={\mathrm{1,03}}^{n}Logarithmieren\\ \lg 2=n\cdot \lg \mathrm{1,03}\\ n=\frac{\lg 2}{\lg \mathrm{1,03}}=\frac{\mathrm{0,3010}}{\mathrm{0,01284}}\end{array}$

Da n eine natürliche Zahl sein muss, kommt als Lösung nur $n=24$ in Betracht. Für $n=23$ erhält man $K_{23}=\mathrm{1,97}\cdot K_0$ und für $n=24$ ergibt sich $K_{24}=\mathrm{2,03}\cdot K_0.$ Eine genaue Verdopplung des Kapitals ist unter den angegebenen Bedingungen nicht möglich.

Beispiel 2 (atmosphärischer Luftdruck):
Der atmosphärische Luftdruck kann näherungsweise nach der Formel $p_H=p_0\cdot e^{-kH}$ berechnet werden. In dieser Formel ist $p_0$ der Luftdruck in der Höhe NN (Normalnull, Meeresspiegelhöhe) und k eine für den Luftdruckabfall spezifische Konstante mit $k=\mathrm{1,25}\cdot {10}^{-4}{m}^{-1}.$

In welcher Höhe H befindet sich ein Flugzeug, wenn als äußerer Luftdruck $p_H=500hPa$ gemessen wurden und der für den Überflugort (per Funk übermittelte) Wert $p_0=1000hPa$ beträgt.

Gegeben sind $p_0=1000hPa$, $p_H=500hPa$ und $k=\mathrm{1,25}\cdot {10}^{-4}{m}^{-1}.$ Gesucht ist die Höhe H.

Lösung:
Es ist $p_H=p_0\cdot e^{-kH}$. Logarithmieren zur Basis e (da diese in der Gleichung vorkommt) ergibt:

$\begin{array}{c}\ln p_H=\ln \left(p_0\cdot e^{-kH}\right)=\ln p_0+\ln e^{-kH}\\ =\ln p_0-kH(wegen\ln e=1)\end{array}$

Hieraus folgt:

$\begin{array}{c}H=\frac{\ln p_0-\ln p_H}{k}=\frac{\ln 1000-\ln 500}{\mathrm{1,25}}\cdot 10000m\\ \approx 5545m\end{array}$
Anmerkung: Bei den gegeben Werten ist nur eine Angabe von H mit $H\approx 5500m$ sinnvoll, wobei außerdem noch die Höhe des Überflugortes abzuziehen ist.

Beispiel 3 (Entladen eines Kondensators):

Ein elektrischer Kondensator mit der Kapazität $C=30\mu F$ wurde mit einer Gleichspannung U geladen. Er wird über einen Stromkreis mit einem Widerstand von $R=50k\Omega$ entladen. Nach welcher Zeit ist die Kondensatorspannung auf die Hälfte abgesunken?

Die Berechnung erfolgt mit folgender Formel:
$U_C=U\cdot e^{-\frac{t}{RC}}$

Gegeben: $U=2U_C;R=50k\Omega =;C=30\mu F=3\cdot {10}^{-5}F$
Gesucht ist die Zeit t (es gilt $1F=1As{V}^{-1}und1\Omega =1V{A}^{-1},$ also erhält man t in s).

Lösung:
$\frac{1}{2}=e^{-\frac{t}{\mathrm{1,5}s}}$
Logarithmieren zur Basis e ergibt:
$\begin{array}{c}\ln \frac{1}{2}=-\frac{t}{\mathrm{1,5}s}\\ t=-\mathrm{1,5}\cdot \ln \frac{1}{2}s\approx \mathrm{1,04}s\end{array}$