Folgen, Allgemeines

Unter einer Zahlenfolge versteht man eine Menge von (reellen) Zahlen, die so geordnet ist, dass feststeht, welches die erste, zweite, dritte ... Zahl ist. Man schreibt dafür
$\left(a_n\right)=\left\{a_1;a_2;a_3\mathrm{...}\right\}$
bzw. kurz
$\left(a_n\right)=a_1;a_2;a_3\mathrm{...}$
und nennt $a_1,a_2,a_3\mathrm{...}$die Glieder der Zahlenfolge.

Im Folgenden sind einige Beispiele für Zahlenfolgen angegeben.
$\begin{array}{l}\left(1\right)1;5;9;13;17;21;25\mathrm{...}\\ \left(2\right)20;18;16;14;12;10\mathrm{...}\\ \left(3\right)3;6;12;24;48;96;192\mathrm{...}\\ \left(4\right)1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};\frac{1}{16};\frac{1}{32};\frac{1}{64}\mathrm{...}\\ \left(5\right)2;2;2;2;2;2;2\mathrm{...}\\ \left(6\right)1;-2;4;-8;16;-32;64\mathrm{...}\\ \left(7\right)1;4;9;16;25;36;49\mathrm{...}\\ \left(8\right)1;1;2;3;5;8;13\mathrm{...}\end{array}$

Anmerkung: Beispiel (8) ist die sogenannte Fibonacci-Folge, benannt nach dem italienischen Mathematiker LEONARDO FIBONACCI VON PISA (etwa 1180 bis etwa 1250; Bild 1).

Bei einer Zahlenfolge sind alle Glieder eindeutig den natürlichen Zahlen zugeordnet. Damit handelt es sich um eine Funktion, deren Definitionsbereich die Menge der natürlichen Zahlen (bzw. eine bei 1 beginnenden Teilmenge davon) und deren Wertebereich eine Teilmenge der reellen Zahlen ist.

Eine Zahlenfolge heißt endlich, wenn sie nur endlich viele Glieder besitzt. Wesentlich interessanter sind aber unendliche Zahlenfolgen, bei denen durch eine Bildungsvorschrift anzugeben ist, wie man die Glieder der Folge erhält. Das kann entweder durch Angabe des n-ten (allgemeinen) Gliedes (explizite Bildungsvorschrift) erfolgen oder dadurch, dass beschrieben wird, wie sich das n-te Glied aus den vorhergehenden Gliedern entsteht (rekursive Bildungsvorschrift). Im zweiten Fall ist allerdings die Angabe des Anfangsgliedes (bzw. der Anfangsglieder) notwendig.

In der folgenden Tabelle sind Bildungsvorschriften für die obigen Folgen (1) bis (8) angegeben.

Da Zahlenfolgen (wie oben angegeben) Funktionen sind, lassen sie sich auch grafisch darstellen. Da der Definitionsbereich aber die Menge der natürlichen Zahlen (oder eine bei 1 beginnende Teilmenge davon) ist, besteht der Graph aus einer Reihe von diskreten Punkten (interaktives Rechenbeispiel).
Die folgende Abbildung zeigt ein Beispiel.

Betrachtet man die (oben angebenenen) Beispiele weiter, so lässt sich Folgendes feststellen:

• In Beispiel (1) ist jedes Glied (um 4) größer als das vorhergehende, man sagt die Folge wächst.
  In Beispiel (2) ist jedes Glied (um 2) kleiner als das vorhergehende, man sagt die Folge fällt.
• In Beispiel (5) ist jedes Glied gleich dem vorhergehenden, man sagt die Folge ist konstant.
• In Beispiel (6) hat jedes Glied ein anderes Vorzeichen als das vorhergehende, man sagt die Folge alterniert.

Diese und weitere Eigenschaften von Zahlenfolgen kann man wie folgt definieren:
Wenn für alle Glieder einer Zahlenfolge $\left(a_n\right)$, also für alle n, gilt

• $a_{n+1}\ge a_n$, so ist die Folge monoton wachsend;
• $a_{n+1}\le a_n$, so ist die Folge monoton fallend;
  (Anmerkung: Lässt man die Gleichheit zweier benachbarter Glieder nicht zu, so spricht man von strenger Monotonie.)
• $a_{n+1}\cdot a_n<0$, so ist die Folge alternierend;
• $a_{n+1}=a_n$, so ist die Folge konstant.

Aus den obigen Beispielen sind die Folgen (1), (3) und (7) streng monoton wachsend, die Folgen (2) und (4) streng monoton fallend.

Von Interesse sind auch die sogenannten Partialsummen von Zahlenfolgen. Die n-te Partialsumme $s_n$ einer Zahlenfolge $\left(a_n\right)$ ist die Summe der Glieder von $a_1$ bis $a_n$ bzw. (anders geschrieben) $s_n={\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a{}_i}$.
Für einige (der von uns betrachteten) Folgen lassen sich Formeln zum Berechnen der Partialsummen angeben:

• In Beispiel (1) werden die Partialsummen mit zunehmendem n immer größer und wachsen schließlich über alle Grenzen:
  $\begin{array}{l}{s}_1=a_1=1\\ s_2=a_1+a_2=s_1+a_2=1+5=6\\ s_3=a_1+a_2+a_3=s_2+a_3=6+9=15\\ \mathrm{...}\\ s_n=a_1+a_2+\mathrm{...}+a_n=\frac{n}{2}\left(1+(4n-3)\right)=2n^2-n\end{array}$
• In Beispiel (4) werden die Partialsummen mit zunehmendem n zwar auch immer größer, bleiben aber (wie folgende Formel zeigt) stets unter dem Wert 2:
  $\begin{array}{l}{s}_1=1;s_2=\frac{3}{2}=\mathrm{1,5};s_3=\frac{7}{4}=\mathrm{1,75};s_4=\frac{15}{8}\mathrm{...}\\ s_n=2-\frac{1}{2^{n-1}}\end{array}$

Ist $a_n$ eine Zahlenfolge, so nennt man $\left(s_n\right)$ mit $s_n=a_1+a_2+\mathrm{...}+a_n$ (unendliche) Reihe.