Funktionsgleichung, Ermitteln

Eine lineare Funktion ist durch zwei ihrer Wertepaare bzw. durch zwei Punkte ihres Graphen eindeutig bestimmt.

Ist eines des gegebenen Wertepaare das Paar (0; 0), verläuft der Graph der Funktion also durch den Koordinatenursprung, so ist das Ermitteln der Gleichung besonders einfach.

1. Weg:
Da der Graph die y-Achse an der Stelle 0 schneidet, hat der Parameter n in der Gleichung $y=f\left(x\right)=mx+n$ den Wert null. Es gilt also $y=mx$ und damit $m=\frac{y}{x}$. Mithilfe der Koordinaten (x; y) eines zweiten gegebenen Punktes des Graphen lässt sich damit m berechnen, da diese Koordinaten die Gleichung $y=f\left(x\right)=mx+n$ erfüllen müssen.

Beispiele:
Der Graph einer lineare Funktion verlaufe
a) durch den Koordinatenursprung und den Punkt $P_1\left(2;4\right)$;
b) durch den Koordinatenursprung und den Punkt $P_2\left(3;-4\right)$.
Es ist jeweils die Gle ichung der Funktion aufzustellen (Bild 1).

a) Aus $m=\frac{y}{x}$ folgt $m=\frac{4}{2}=2$ . Damit gilt:
$y=f\left(x\right)=2x$
b) Aus $m=\frac{y}{x}$ folgt $m=\frac{-4}{3}=-\frac{4}{3}$ . Damit gilt:
$y=f\left(x\right)=-\frac{4}{3}x$

2. Weg:
Wir tragen in den durch die zwei Punkte gegebenen Graphen der Funktion ein Anstiegsdreieck ein und berechnen aus dessen Kathetenlängen (zumindest näherungsweise) das Verhältnis $m=\frac{y}{x}$.
Bezogen auf obige Beispiele ergibt sich somit aus dem Bild 1:
a) $m=\frac{4}{2}=\frac{-6}{-3}=\mathrm{2,}\text{ also }y=f\left(x\right)=2x$
b) $m=\frac{4}{-3}=\frac{-4}{3}=-\frac{4}{3},\text{ also }y=f\left(x\right)=-\frac{4}{3}x$

Der durch zwei Punkte eindeutig bestimmte Graph einer linearen Funktion verlaufe nicht durch den Koordinatenursprung.

Beispiel:
$P_1\left(2;5\right)$und $P_2\left(-2;-1\right)$ seien zwei Punkte des Graphen der linearen Funktion y = f(x) = mx + n. Es ist die Gleichung der Funktion aufzustellen.

1. Weg:
Aus dem Bild 2 ist zu entnehmen, dass die Gerade die y-Achse an der Stelle 2 schneidet. Also ist n = 2 und damit $y=f\left(x\right)=mx+2$. Der Wert von m kann wiederum unter Verwendung der Kathetenlängen eines Anstiegsdreiecks ermittelt werden. In unserem Fall gilt:
$m=3:2=\frac{3}{2}$
Auch eine andere Überlegung ist möglich: Die Koordinaten von $P_1$(und auch von $P_2$) müssen die Gleichung von f erfüllen. Es gilt also $5=m\cdot 2+2$, woraus man ebenfalls $m=\frac{3}{2}$ erhält.
Die Gleichung der Funktion f lautet somit y = f(x) = x + 2.

2. Weg:
Die Koordinaten von $P_1$ und von $P_2$ müssen die Gleichung
y = mx + n erfüllen.
$P_1\left(2;5\right)$ in y = mx + n eingesetzt liefert:
I. 5 = 2m + n
$P_2\left(-2;-1\right)$ in y = mx + n eingesetzt liefert:
II. –1 = –2m + n
Man erhält ein lineares Gleichungssystem, das z. B. durch das Additionsverfahren gelöst werden kann:
$\begin{array}{l}I.5=2m+n\\ \underset{¯}{II.-1=-2m+n}\\ I.+II.4=2nin\text{ I}\text{.}\text{5}\text{=}\text{2}\text{m}\text{+}\text{2}\\ 2=n3\text{=}2m\\ \frac{3}{2}\text{=}m\end{array}$

Antwort:$y=\frac{3}{2}x+2$ ist die Funktionsgleichung.
Das im Beispiel dargestellte Verfahren, allgemein auf zwei Punkte
$P_1\left(x_1;y_1\right)$ und $P_2\left(x_2;y_2\right)$ angewandt, führt zu:
$\begin{array}{l}I.y_1=m{x}_1+n\\ II.y_2=m{x}_2+n\end{array}$
Subtrahiert man die zweite Gleichung von der ersten, um n zu eliminieren, so ergibt sich:
$y_1-y_2=m{x}_1-m{x}_2=m\left(x_1-x_2\right)$

Allgemein: Ist f eine lineare Funktion mit dem Anstieg m, so gilt für
$\begin{array}{l}{x}_1\ne x_2:\\ m=\frac{\left(y_1-y_2\right)}{\left(x_1-x_2\right)}=\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}\end{array}$

Mit diesem Satz kann der Anstieg m einer Funktion sofort ermittelt werden und lässt sich dann n errechnen.

Beispiel:
Gesucht: Funktionsgleichung
Gegeben:$P_1\left(3;5\right)$; $P_2\left(6;7\right)$ als Punkte des Graphen einer linearen Funktion mit y = mx + n (Bild 3)
Lösung: $m=\frac{\left(5-7\right)}{\left(3-6\right)}=\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3}\Rightarrow y=\frac{2}{3}x+n$
Werte z. B. von $P_1\left(3;5\right)$ eingesetzt:
$\begin{array}{l}5=\frac{2}{3}\cdot 3+n\\ 5=2+n\\ 3=n\end{array}$
Antwort: $y=\frac{2}{3}x+3$ ist die Funktionsgleichung.