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  6. Funktionsgleichung, Ermitteln

Funktionsgleichung, Ermitteln

Eine lineare Funktion ist durch zwei ihrer Wertepaare bzw. durch zwei Punkte ihres Graphen eindeutig bestimmt.
Ist eines des gegebenen Wertepaare das Paar (0; 0), verläuft der Graph der Funktion also durch den Koordinatenursprung, so ist das Ermitteln der Gleichung besonders einfach.

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Eine lineare Funktion ist durch zwei ihrer Wertepaare bzw. durch zwei Punkte ihres Graphen eindeutig bestimmt.

Ist eines des gegebenen Wertepaare das Paar (0; 0), verläuft der Graph der Funktion also durch den Koordinatenursprung, so ist das Ermitteln der Gleichung besonders einfach.

1. Weg:
Da der Graph die y-Achse an der Stelle 0 schneidet, hat der Parameter n in der Gleichung y = f ( x ) = m x + n den Wert null. Es gilt also y = m x und damit m = y x . Mithilfe der Koordinaten (x; y) eines zweiten gegebenen Punktes des Graphen lässt sich damit m berechnen, da diese Koordinaten die Gleichung y = f ( x ) = m x + n erfüllen müssen.

Beispiele:
Der Graph einer lineare Funktion verlaufe
a) durch den Koordinatenursprung und den Punkt P 1 ( 2 ;   4 ) ;
b) durch den Koordinatenursprung und den Punkt P 2 ( 3 ;   − 4 ) .
Es ist jeweils die Gle ichung der Funktion aufzustellen (Bild 1).

a) Aus m = y x folgt m = 4 2 = 2 . Damit gilt:
y = f ( x ) = 2 x
b) Aus m = y x folgt m = − 4 3 = − 4 3 . Damit gilt:
y = f ( x ) = − 4 3 x

  • Graphen durch den Koordinatenursprung

2. Weg:
Wir tragen in den durch die zwei Punkte gegebenen Graphen der Funktion ein Anstiegsdreieck ein und berechnen aus dessen Kathetenlängen (zumindest näherungsweise) das Verhältnis m = y x .
Bezogen auf obige Beispiele ergibt sich somit aus dem Bild 1:
a) m = 4 2 = − 6 − 3 = 2,  also  y = f ( x ) = 2 x
b) m = 4 − 3 = − 4 3 = − 4 3 ,  also  y = f ( x ) = − 4 3 x

Der durch zwei Punkte eindeutig bestimmte Graph einer linearen Funktion verlaufe nicht durch den Koordinatenursprung.

Beispiel:
P 1 ( 2 ;   5 ) und P 2 ( − 2 ;   − 1 ) seien zwei Punkte des Graphen der linearen Funktion y = f(x) = mx + n. Es ist die Gleichung der Funktion aufzustellen.

1. Weg:
Aus dem Bild 2 ist zu entnehmen, dass die Gerade die y-Achse an der Stelle 2 schneidet. Also ist n = 2 und damit y = f ( x ) = m x + 2 . Der Wert von m kann wiederum unter Verwendung der Kathetenlängen eines Anstiegsdreiecks ermittelt werden. In unserem Fall gilt:
m = 3 : 2 = 3 2
Auch eine andere Überlegung ist möglich: Die Koordinaten von P 1 (und auch von P 2 ) müssen die Gleichung von f erfüllen. Es gilt also 5 = m ⋅ 2 + 2 , woraus man ebenfalls m = 3 2 erhält.
Die Gleichung der Funktion f lautet somit y = f(x) = x + 2.

  • y=23x+  2

2. Weg:
Die Koordinaten von P 1 und von P 2 müssen die Gleichung
y = mx + n erfüllen.
P 1 ( 2 ;   5 ) in y = mx + n eingesetzt liefert:
I. 5 = 2m + n
P 2 ( − 2 ;   − 1 ) in y = mx + n eingesetzt liefert:
II. –1 = –2m + n
Man erhält ein lineares Gleichungssystem, das z. B. durch das Additionsverfahren gelöst werden kann:
I .                         5 = 2 m + n I I .                       − 1 = − 2 m + n ¯ I .     +     I I .               4 = 2 n                                             i n  I .       5     =     2   m     +     2                               2 = n                                                                 3     =   2 m                                                                                                         3 2   =       m

Antwort: y = 3 2 x + 2 ist die Funktionsgleichung.
Das im Beispiel dargestellte Verfahren, allgemein auf zwei Punkte
P 1 ( x 1 ;   y 1 ) und P 2 ( x 2 ;   y 2 ) angewandt, führt zu:
I .       y 1 = m x 1 + n I I .     y 2 = m x 2 + n
Subtrahiert man die zweite Gleichung von der ersten, um n zu eliminieren, so ergibt sich:
y 1 − y 2 = m     x 1 − m     x 2 = m ( x 1 − x 2 )

Allgemein: Ist f eine lineare Funktion mit dem Anstieg m, so gilt für
x 1 ≠ x 2 : m = ( y 1 − y 2 ) ( x 1 − x 2 ) = f ( x 1 ) − f ( x 2 ) x 1 − x 2

Mit diesem Satz kann der Anstieg m einer Funktion sofort ermittelt werden und lässt sich dann n errechnen.

  • BWS-MAT1-0515-06.xls (21.5 KB)

Beispiel:
Gesucht: Funktionsgleichung
Gegeben: P 1 ( 3 ;   5 ) ; P 2 ( 6 ;   7 ) als Punkte des Graphen einer linearen Funktion mit y = mx + n (Bild 3)
Lösung: m = ( 5 − 7 ) ( 3 − 6 ) = − 2 − 3 = 2 3 ⇒ y = 2 3 x + n
Werte z. B. von P 1 ( 3 ;   5 ) eingesetzt:
5 = 2 3 ⋅ 3 + n 5 = 2 + n 3 = n
Antwort: y = 2 3 x + 3 ist die Funktionsgleichung.

  • y=23x+3
Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Funktionsgleichung, Ermitteln." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/funktionsgleichung-ermitteln (Abgerufen: 20. May 2025, 15:08 UTC)

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Funktionsbegriff

Der Funktionsbegriff ist von zentraler Bedeutung für die gesamte Mathematik und spielt auch bei Anwendungen der Mathematik in Naturwissenschaft und Technik sowie in Wirtschaft und Gesellschaft eine wichtige Rolle. Seine Entwicklung zur heute gebräuchlichen Form hat Jahrhunderte gedauert. Die Namen bekannter Mathematiker sind mit diesem Prozess eng verbunden.
Unter einer Funktion f versteht man eine eindeutige Zuordnung (Abbildung), die jedem Element x aus einer Menge D f eindeutig ein Element y aus einer Menge W f zuordnet. D f heißt der Definitionsbereich, W f der Wertebereich der Funktion f. Man nennt x ∈ D f ein Argument, das zugeordnete Element y ∈ W f den Funktionswert von x bei der Funktion f. Als Kurzschreibweise gibt man die Funktionsgleichung u.a. in der Form y = f ( x ) an.

Quadratische Funktionen

Eine Funktion mit einer Gleichung der Form
  y = f ( x ) = a x 2 + b x + c   ( mit  a ≠ 0,       x ∈ ℝ )
oder einer Gleichung, die durch äquivalentes Umformen in diese Form überführt werden kann, heißt quadratische Funktion.
Dabei nennt man a x 2 das quadratische Glied, bx das lineare Glied und c das absolute Glied der Funktionsgleichung.
Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.

Funktionen mit der Gleichung y = f(x) = mx + n

Eine Funktion f mit einer Gleichung der Form
  y = f ( x ) = m x + n   ( m ,   n ∈ ℝ )
oder einer Gleichung, die durch äquivalentes Umformen in diese Form überführt werden kann, heißt lineare Funktion.
Für lineare Funktionen ist der Definitionsbereich im Allgemeinen die Menge der reellen Zahlen (so nicht das mathematische oder das entsprechenden Anwendungsproblem einen Einschränkung verlangt), was dann auch für den Wertebereich ( m ,   n ≠ 0 ) gilt. Die Zahlen m und n sind Parameter.

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Hier kannst du dich selbst testen. So kannst du dich gezielt auf Prüfungen und Klausuren vorbereiten oder deine Lernerfolge kontrollieren.

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WISSENSTEST

Funktionen mit der Gleichung y = mx

Jeder direkt proportionale Zusammenhang zwischen zwei Größen x und y kann durch eine spezielle lineare Funktion mit der Gleichung
  y = f ( x ) = m x   ( m x ≠ 0 )
beschrieben werden.
Definitonsbereich und Wertevorrat (Wertebereich) von f ist die Menge der reellen Zahlen ℝ . Der Graph von f ist eine Gerade, die durch den Koordinatenursprung O verläuft.

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