Grundbegriffe der euklidischen Geometrie

Im Axiomensystem der ebenen euklidischen Geometrie ist es gebräuchlich, die Kongruenzaxiome durch Axiome der Bewegung zu ersetzen. Bei der Betrachtung der Begriffe Bewegung und Kongruenz sind prinzipiell zwei Wege möglich:

(1) Geht man vom Begriff der Kongruenz aus, wird die Relation „… ist kongruent zu …“ als Grundrelation im Einklang mit der anschaulich gegebenen Relation „… ist deckungsgleich zu …“ vorausgesetzt. Zueinander kongruente Figuren werden untersucht und es werden jene Abbildungen betrachtet, die eine Figur in eine andere zu ihr kongruente Figur überführen. Dabei soll das Bild einer ebenen Figur immer die gleiche Form und außerdem die gleiche Größe wie die Figur selbst haben. Bewegungen (Kongruenzabbildungen) werden dann als Abbildungen definiert, bei denen jede ebene Figur auf eine zu ihr kongruente Figur abgebildet wird.

(2) Wird der Begriff Bewegung als Grundbegriff verwendet, werden Eigenschaften von Bewegungen mit Axiomen vorausgesetzt. Spiegelung, Drehung, Verschiebung werden als spezielle Bewegungen definiert. Figuren werden danach untersucht, ob sie sich mit einer Bewegung ineinander überführen lassen. Die Relation „… ist kongruent zu …“ kann so definiert werden, dass zwei Figuren genau dann kongruent sind, wenn es eine Bewegung gibt, die die eine Figur auf die andere abbildet (kongruent lat., von congruentia – Übereinstimmung). Die Betrachtung von Klassen kongruenter Figuren führt zu Begriffen wie Streckenlänge, Winkelgröße ….

Beide Vorgehensweisen sind möglich. In jedem Falle aber muss einer der Begriffe „Kongruenz“ oder „Bewegung“ als Grundbegriff vorausgesetzt werden.

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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