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Parallelogramm

Ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten parallel sind, heißt Parallelogramm. Die gegenüberliegenden Seiten sind demzufolge gleich lang. Die Diagonalen in einem Parallelogramm halbieren einander. Die gegenüberliegenden Winkel sind gleich groß.

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Ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten parallel sind, heißt Parallelogramm (Bild 1).
Die gegenüberliegenden Seiten sind demzufolge gleich lang. Die Diagonalen in einem Parallelogramm halbieren einander.
Die gegenüberliegenden Innenwinkel sind gleich groß.

  • Parallelogramm

Im Parallelogramm ergänzen sich je zwei benachbarte Innenwinkel zu 180 ° (Bild 2).

Ein Parallelogramm ist ein Rechteck, wenn benachbarte Seiten einen rechten Winkel bilden oder die Diagonalen gleich lang sind.
Ein Parallelogramm ist eine Raute (ein Rhombus), wenn die Seiten gleich lang oder die Diagonalen senkrecht zueinander sind.

  • Winkel im Parallelogramm

Ein Parallelogramm lässt sich durch Spiegelung eines beliebigen Dreiecks am Mittelpunkt einer Dreiecksseite konstruieren (Bild 3).

Ein Parallelogramm ist punktsymmetrisch bezüglich des Diagonalenschnittpunkts M.

  • Spiegelung eines Dreiecks

Der Abstand zweier paralleler Seiten heißt Höhe h des Parallelogramms. Jedes Parallelogramm besitzt zwei Höhen. Die Seite, zu der die Höhe senkrecht steht, heißt Grundseite g des Parallelogramms (Bild 4).

Jedes Parallelogramm kann durch Zerlegen in ein flächeninhaltsgleiches Rechteck umgewandelt werden.
Der Flächeninhalt des Rechtecks lässt sich mit der Gleichung A = a ⋅ h a berechnen. Da das Parallelogramm den gleichen Flächeninhalt besitzt, kann dieser aus der Grundseite a und der Höhe h a berechnet werden.
Es gilt also auch hier:
A = a ⋅ h a bzw. A = b ⋅ h b
Allgemein gilt dann:
A = g ⋅ h

Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt aus einer Seitenlänge und der Länge der zugehörigen Höhe.

Da im Parallelogramm die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind, wird der Umfang des Parallelogramms wie beim Rechteck berechnet:
u = a + b + c + d
bzw. mit a = c und b = d
u = 2(a + b)

  • Höhen im Parallelogramm

Für die Konstruktion eines Parallelogramm sind drei voneinander unabhängige Angaben notwendig (Bild 5).

Beispiel:
Gegeben sind die Längen der beiden Seiten a und b sowie der Höhe h a .

  1. Auf einer Geraden wird die Strecke AB mit A B ¯ = a abgetragen.
  2. Zur Geraden AB wird eine Parallele im Abstand h a gezeichnet.
  3. Um A und um B werden Kreisbogen mit dem Radius b gezeichnet. Es entstehen jeweils zwei Schnittpunkte der Kreisbogen mit der Parallelen.
  4. Verbindet man die entsprechenden Punkte, so entstehen zwei Parallelogramme A B C 1   D 1     u n d     A B C 2   D 2 .

Diese Konstruktion ist nicht eindeutig ausführbar.

  • Konstruktion eines Parallelogramms
Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Parallelogramm." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/parallelogramm (Abgerufen: 20. May 2025, 07:38 UTC)

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Verwandte Artikel

Rechteck


Ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel ist ein Rechteck.
Für das Rechteck gilt demzufolge:

  • Die gegenüberliegenden Seiten sind gleich lang und zueinander parallel.
  • Benachbarte Seiten sind rechtwinklig zueinander.
  • Alle vier Innenwinkel sind gleich groß. Sie betragen 90°.
  • Die Diagonalen sind gleich lang und halbieren einander.

Symmetrie

Eine Figur heißt symmetrisch genau dann, wenn sie bei einer von der identischen Abbildung verschiedenen Bewegung auf sich selbst abgebildet werden kann.

Trapez

Ein Viereck mit einem Paar paralleler Seiten heißt Trapez.
Die parallelen Seiten sind die Grundseiten, die beiden anderen Seiten die Schenkel des Trapezes.
Der Abstand der Grundseiten ist die Höhe h des Trapezes.
Die Verbindungsstrecke der Mitten der Schenkel heißt Mittellinie m.
Sind in einem Trapez die Schenkel gleich lang, so heißt es gleichschenklig. Hat das Trapez einen rechten Innenwinkel, so heißt es rechtwinkliges Trapez.

Viereck, allgemein

Eine ebene, von vier Strecken eingeschlossene Figur heißt Viereck.
Die vier Strecken sind die Seiten des Vierecks. Je zwei benachbarte Seiten haben einen Eckpunkt gemeinsam.
Haben zwei Strecken außer den Endpunkten einen weiteren Punkt gemeinsam, so heißt das Viereck überschlagen.
Ein Viereck heißt konvex, wenn für je zwei Punkte im Inneren des Vierecks auch deren Verbindungsstrecke vollständig im Inneren des Vierecks liegt.

Vierecke, Klassifizierung

Ausgehend vom allgemeinen Viereck lassen sich Quadrat, Rechteck, Raute (Rhombus), Trapez, Parallelogramm und Drachenviereck aufgrund ihrer speziellen Eigenschaften in einer Übersicht (dem sogenannten Haus der Vierecke) darstellen.

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