Proportionalzirkel

Proportionalzirkel und Proportionalwinkel waren vielseitig einsetzbare Rechengeräte des 17. und 18. Jahrhunderts. Berechnungen mit ihnen beruhten auf dem Rechnen mit Streckenlängen und Streckenverhältnissen.

Obwohl beide klar zu unterscheiden sind, werden die Begriffe Proportionalzirkel und Proportionalwinkel oft synonym verwendet. Der Proportionalwinkel besteht aus zwei flachen Schenkeln, die sich um einen festen Drehpunkt an einem Ende der Schenkel öffnen oder schließen lassen. Dieser Typ geht auf GALILEO GALLILEI (1564 bis 1642) zurück und wird deshalb auch als der galileische Typ des Proportionalzirkels bezeichnet.

Ein zweiter Typ soll auf JOBST BÜRGI (1552 bis 1632) zurückgehen. Bei diesem bürgischen Typ befindet sich der Drehpunkt zwischen den Schenkelenden, bei fortgeschrittenen Ausführungen sind Drehpunkt und Schenkellänge verstellbar. Da diese Proportionalzirkel oftmals für maßstabsgerechte Verkleinerungen verwendet wurden, nannte man sie auch Reduktionszirkel („compasso di reduzione“). Einfache Reduktionszirkel mit festen Schenkellängen und ohne Rechenskalen gab es schon vor dem Proportionalzirkel. Sie gestatteten lediglich, Strecken in einem durch ihre Schenkellängen vorherbestimmten Verhältnis ineinander umzuwandeln.
Je nach Verwendungszweck waren auf den Schenkeln der meisten Proportionalzirkel verschiedene Funktionsskalen (z. B. lineare oder logarithmische Skalen, Skalen für Quadratzahlen oder Quadratwurzeln oder auch Skalen für Kreis-, Flächen- oder Volumenberechnungen) aufgetragen.

Mathematische Grundlagen

Durch die Kenntnis der Strahlensätze war man frühzeitig in der Lage, Verhältnisgleichungen zu lösen. Im Normalfall muss dazu die Gleichung nach einem Strahlenabschnitt oder Parallelenabschnitt umgeformt werden, z. B.:

$\begin{array}{l}\frac{\overline{AB}}{\overline{CD}}=\frac{\overline{SB}}{\overline{SD}}\\ \\ \overline{CD}=\frac{\overline{AB}\cdot \overline{SD}}{\overline{SB}}\end{array}$

Betrachtet man die Skalen auf den Schenkeln eines geöffneten Proportionalzirkels als Strahlen mit einem gemeinsamen Anfangspunkt, so kann man mithilfe eines Stechzirkels Strahlen- und Parallelenabschnitte als Streckenlängen abgreifen (s. nebenstehendes Bild ).

Da sich auf beiden Schenkeln Skalen gleicher Einteilung befinden, gilt:
$\frac{\overline{SA}}{\overline{SB}}=\frac{\overline{SC}}{SD}=1$

Nach dem 2. Strahlensatz kann nun aus drei bekannten Strecken mithilfe des Stechzirkels am Proportionalzirkel die vierte Strecke und somit die gesuchte Zahl oder Größe bestimmt werden.

Beispiel 1:
$\begin{array}{l}Geg.:\overline{AB}=\mathrm{3,5}cm\\ \overline{SB}=5cm\\ \overline{SD}=7cm\\ Ges.:\overline{CD}\\ \end{array}$
Lösung:

• Strecke SB wird mit dem Stechzirkel abgegriffen und auf den
  anderen Schenkel von S aus abgetragen, es entsteht Punkt A.
• Strecke SD wird mit dem Stechzirkel abgegriffen und ebenfalls auf den anderen Schenkel von S aus abgetragen, es entsteht Punkt C.
• Strecke AB wird in den Stechzirkel genommen und der Proportionalzirkel so weit geöffnet, dass die Zirkelspanne mit dem Abstand der Punkte A und B übereinstimmt.
• Die gesuchte Strecke CD kann nun mit dem Stechzirkel am geöffneten Proportionalzirkel abgegriffen werden.
• Ergebnis: $\overline{CD}=\mathrm{4,9}cm$

Beispiel 2:
Mithilfe logarithmischer Skalen konnte multipliziert und dividiert werden. Durch Anwenden der Logarithmengesetze wurde die Multiplikation auf die Addition von Strecken und die Division auf die Subtraktion von Strecken zurückgeführt. Die Strecken wurden dazu mit einem Stechzirkel abgegriffen und addiert bzw. subtrahiert (s. Bild unten). Proportionalzirkel mit logarithmischen Skalen entsprachen somit den ersten Rechenstäben.

Diese Beispiele stellen nur einen kleinen Ausschnitt aus der Vielfalt der möglichen Berechnungen dar.