Winkelfunktionen am Kreis

Jedem spitzen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck sind umkehrbar eindeutig Seitenverhältnisse zugeordnet, die man als Sinus, Kosinus, Tangens bzw. Kotangens des betreffenden Winkels bezeichnet.
Es handelt sich hierbei also um Funktionen mit der Menge der Winkel $0<x<\frac{\pi }{2}$ als Definitionsbereich und der Menge der Seitenverhältnisse als Wertebereich. Damit eine Zahl-Zahl-Beziehung entsteht, verwenden wir das Bogenmaß der Winkel.

Die am rechtwinkligen Dreieck erklärten Beziehungen lassen sich nun so erweitern, dass sie für Winkel bis $2\pi$ gelten.
Man betrachtet dazu am Kreis einen veränderlichen Winkel, dessen erster Schenkel die positive x-Achse ist und dessen zweiter Schenkel durch einen von O(0; 0) ausgehenden und in mathematisch positivem Sinn (also entgegen dem Uhrzeigersinn) gedrehten Strahl gebildet wird.
Dieser Strahl schneidet den Kreis im Punkt P(u; v). Im Bild 1 wird dies für spitze, stumpfe und überstumpfe Winkel verdeutlicht.

Die Definitionen der Sinus-, der Kosinus-, der Tangens- und der Kotangensfunktion können nun für einen beliebigen Kreis oder für den Einheitskreis (also einen Kreis mit dem Radius r = 1 Längeneinheit) formuliert werden.

Bezüglich des Einheitskreises gelten folgende (zu den Definitionen an einem beliebigen Kreis äquivalente) Festlegungen (Bild 1):

Die Ordinate v des zum Winkel x gehörenden Punktes
P(u; v) auf dem Einheitskreis heißt Sinus des Winkels x:
$\sin x=\frac{\overline{PQ}}{\overline{OP}}=\frac{v}{1}=v\left(x\in \left[0;2\pi \right]\right)$
Die Abszisse u des zum Winkel x gehörenden Punktes P auf dem Einheitskreis heißt Kosinus des Winkels x:
$\cos x=\frac{\overline{OQ}}{\overline{OP}}=\frac{u}{1}=u\left(x\in \left[0;2\pi \right]\right)$
Die eindeutige Zuordnung $\text{x}\to \text{sin}\text{x}$ nennt man Sinusfunktion, die eindeutige Zuordnung $\text{x}\to \text{cos}\text{x}$ entsprechend Kosinusfunktion.

Geht man von der Auffassung aus, dass der zweite Schenkel des Winkels x beliebig oft und zudem im mathematisch positiven wie im mathematisch negativen Drehsinn um den Ursprung gedreht werden kann, so lässt sich der Winkelbegriff erweitern:
Jede weitere volle Umdrehung vergrößert den Winkel um $2\pi$ bzw. 360° (bei Drehung entgegen dem Uhrzeigersinn) bzw. –$2\pi$ bzw. –360° (bei Drehung im Uhrzeigersinn).
Als Definitionsbereich der Sinus- und der Kosinusfunktion kann damit die gesamte Menge $ℝ$ der reellen Zahlen verwendet werden.

Es gilt also zum Beispiel:

Die Definition des Tangens eines Winkels x kann sofort unter Verwendung des Sinus und des Kosinus dieses Winkels, aber auch mit Bezug auf den Einheitskreis und der Tangente an diesen im Punkt (1; 0) erfolgen (Bild 2).

Für beliebige Winkel x $\left(x\in ℝ\text{ und }x\ne \left(2k+1\right)\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right)$ heißt der Quotient aus dem Sinus und dem Kosinus dieses Winkels der Tangens des Winkels x.
Die eindeutige Zuordnung $x\to \tan x$ nennt man Tangensfunktion.
Entsprechend heißt der Quotient aus dem Kosinus und dem Sinus eines Winkels x $\left(x\in ℝ\text{ und }x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right)$ der Kotangens von x und die eindeutige Zuordnung $x\to \cot x$ die Kotangensfunktion.

Sinus-, Kosinus-, Tangens- und Kotangensfunktion sind spezielle Winkelfunktionen oder trigonometrische Funktionen.