Geneigte Ebenen

Geneigte Ebenen, manchmal auch schiefe Ebenen genannt, sind kraftumformende Einrichtungen. Sie dienen dazu, mit einer kleinen Zugkraft schwere Körper zu bewegen und damit zu heben. Geneigte Ebenen werden bei Schrägaufzügen, Rolltreppen oder Transportbändern genutzt.

Kräfte an einer geneigten Ebene

Eine geneigte Ebene hat eine bestimmte Länge, eine Höhe und eine Basis (Bild 2). Auf einen Körper, der sich auf einer solchen Ebene befindet, wirkt die Gewichtskraft. Diese kann in zwei Komponenten zerlegt werden. Die eine Komponente verläuft in Richtung der geneigten Ebene und wird als Hangabtriebskraft $F_H$ bezeichnet. Die andere steht senkrecht zur geneigten Ebene und wird Normalkraft $F_N$genannt.
Die Beträge von Normalkraft und Hangabtriebskraft hängen von der Gewichtskraft des Körpers und von der Neigung der Ebene ab:

$\begin{array}{l}{F}_H=F_G\cdot \sin \alpha \\ F_N=F_G\cdot \cos \alpha \\ F_G\text{ Gewichtskraft}\\ \alpha \text{ Neigung der Ebene}\end{array}$

Die Kräfte lassen sich auch aus Höhe, Länge und Basis der geneigten Ebene berechnen. Es gelten die folgenden Gleichungen:

$\frac{F_H}{F_G}=\frac{h}{l}\frac{F_N}{F_G}=\frac{b}{l}\frac{F_H}{F_N}=\frac{h}{b}$

Mechanische Arbeit an geneigten Ebenen

Für geneigte Ebenen gilt wie für alle kraftumformende Einrichtungen die Goldene Regel der Mechanik:

Was man an Kraft spart, muss man an Weg zusetzen.

Wird die Reibung vernachlässigt, dann gilt:
Die zum Bewegen einer Last aufzuwendende Arbeit ist genauso groß wie die Arbeit, die zum Heben der Last erforderlich ist.

$\begin{array}{l}{W}_{Hub}=W_{Zug}\\ F_G\cdot h=F_Z\cdot l\\ W_{Hub}\text{Hubarbeit}\\ W_{Zug}\text{Arbeit längs der geneigten Ebene}\\ F_G\text{Gewichtskraft des Körpers}\\ h\text{Höhe der geneigten Ebene}\\ F_Z\text{Zugkraft (= Hangabtriebskraft)}\\ l\text{Länge der geneigten Ebene}\end{array}$

In der Praxis wirkt aber ständig Reibung. Deshalb ist die tatsächlich aufzuwendende Arbeit stets größer als die Arbeit, die zum Heben der Last erforderlich ist.

Straßen als geneigte Ebenen

Ansteigende oder abfallende Straßen sind geneigte Ebenen. Bei stärkeren Steigungen oder bei Gefälle wird manchmal die Steigung der Straße in Prozent angegeben. Unter der einer Straße versteht man das Verhältnis des Höhenunterschiedes zu der betreffenden Länge der Strecke. 8% Steigung bedeutet: Auf einer Strecke von 100 m beträgt der Höhenunterschied 8 m.
Bezieht man die Strecke von 100 m auf die Basis der geneigten Ebene, so ergibt sich für den Neigungswinkel:

$\tan \alpha =\frac{8\text{m}}{\text{100 m}}\alpha =\mathrm{4,57}°$

Bezieht man die Strecke von 100 m dagegen auf die Länge der Ebene, also auf die tatsächlich gefahrene Strecke, dann ergibt sich:

$\sin \alpha =\frac{8\text{m}}{\text{100 m}}\alpha =\mathrm{4,59}°$

Die Winkel unterscheiden sich nur minimal. Bei der Deutschen Bahn ist es üblich, die Steigung auf 1000 m Streckenlänge zu beziehen, sie also in Promille anzugeben. Eine Steigung von 7°/°° bedeutet dann, dass der Höhenunterschied auf 1.000 m Streckenlänge 7 m beträgt.