Wechselspannung und Wechselstrom

Gleichstrom und Wechselstrom

sodass man definieren kann:

Strom, der seine Flussrichtung periodisch ändert, wird als Wechselstrom bezeichnet.

In der Technik spielen auch nichtsinusförmige Verläufe (Bild 2) eine wichtige Rolle, z.B. der sägezahnfömige Verlauf (wird bei Oszillografen zur horizontalen Ablenkung genutzt) oder rechteckige Verläufe, die insbesondere in der Digitaltechnik verwendet werden, da mit ihnen zwei Zustände (ein - aus, high - low) dargestellt werden können.
Wir beschränken uns nachfolgend auf die genauere Kennzeichnung von sinusförmigem Wechselstrom.

Sinusförmiger Wechselstrom

Sinusförmiger Wechselstrom kann als harmonische Schwingung aufgefasst werden. Man kann ihn damit mit den gleichen Größen wie andere harmonische Schwingungen beschreiben. Die sich periodisch ändernden Größen sind die Spannung und die Stromstärke.
Der Verlauf von Spannung und Stromstärke erfolgt nach der Sinus- oder Kosinusfunktion und kann mit folgenden Gleichungen beschrieben werden:

u=umax.sinωti=imax.sinωtumax Maximalwert der Wechselspannungimax Maximalwert der Wechselstromstärkeω Kreisfrequenz

Die Kreisfrequenz ω hängt unmittelbar mit der Frequenz zusammen. Es gilt:
ω=2πf=2πTf Frequenz des WechselstromesT Schwingungsdauer
Für Netzwechselstrom beträgt die Frequenz 50 Hz und damit die Schwingungsdauer 0,02 s. Das in den Gleichungen stehende Produkt aus Kreisfrequenz und Zeit ergibt einen Winkel in Bogenmaß. Es gilt also:
ωt=2πft=ϕ
Das ist bei der Darstellung von Wechselspannung und Wechselstromstärke in Diagrammen von Bedeutung. So ist es üblich, die Spannung bzw. die Stromstärke gegen den Winkel in Bogen- oder Gradmaß oder gegen die Zeit aufzutragen. In Bild 3 ist der Winkel gewählt.

Spannung und Stromstärke können die gleiche Phase haben, d.h. zu den gleichen Zeiten Maxima oder Minima erreichen, so wie das in Bild 3 dargestellt ist. Befinden sich induktive oder kapazitive Widerstände im Wechselstromkreis, so tritt zwischen Spannung und Stromstärke eine Phasenverschiebung auf, die manchmal als Δϕ und manchmal einfach als ϕ bezeichnet wird. Für den in Bild 4 dargestellten Fall, dass die Spannung später das Maximum erreicht als die Stromstärke, würden die Gleichungen für Wechselstromstärke und Wechselspannung lauten:
i=imaxsinωt und u=umaxsin(ωtϕ)Zum Zeitpunkt t=0 wäre dann:u=umaxsin(ϕ)u=umaxsinϕBei 0>ϕ>π2 wäre damit u negativ.

Mittelwerte von Stromstärke und Spannung

Stromstärke und Spannung schwanken ständig zwischen den positiven und dem negativen Maximalwert, den wir als
imax bzw. als umax bezeichnen, für die aber auch die Bezeichnungen i^ oder u^ üblich sind.
Die mittlere Stromstärke entspricht im i-t-Diagramm der Fläche unter dem Graphen (Bild 5). Diese Fläche ergibt sich für Wechselstrom durch Integration:
Q=0T/2imaxsinωtdtMit sinωtdt=1ωcosωt erhält manQ=[imaxωcosωt]0T/2Mit ω=2πT und Einsetzen der Grenzen ergibt sich:Q=imaxωcos2πTT2imaxωcos0Q=imaxωcosπ(imaxωcos0)Mit cosπ=1 und cos0=1 erhält man:Q=2imaxωWendet man die Beziehung I=Qt für eine Halbschwingungan, so erhält man:i¯=QT/2=2imax2ωT=4imaxT2πTi¯=2imaxπ0,64imaxEntsprechend ergibt sich für den Mittelwert der Spannung:u¯=2umaxπ0,64umax

Die angegebene mittlere Stromstärke entspricht der Stromstärke von gleichgerichtetem Wechselstrom. Man bezeichnet den Mittelwert daher auch als Gleichrichtwert.

Effektivwerte von Stromstärke und Spannung

Für die Praxis von größerem Interesse sind die sogenannten Effektivwerte. Es sind diejenigen Werte für Stromstärke und Spannung im Wechselstromkreis, bei denen die gleiche Leistungsabgabe erfolgt wie bei eben diesen Werten im Gleichstromkreis.
Der Effektivwert eines sinusförmigen Größe y ist allgemein definiert als:

yeff=1Ttt+Ty2(t)dtMit y=ymaxsinωt erhält man:yeff=1Tymax2tt+Tsin2ωtdt=1Tymax2T2yeff=ymax2

Damit erhält man für die Effektivwerte von Wechselstromstärke und Wechselspannung die Gleichungen:

ieff=I=imax20,7imaxueff=U=umax20,7umax

Physikalisch ergibt sich der Effektivwert von Stromstärke und Spannung auch durch die folgende Überlegung: Die momentane Leistung an einem ohmschen Widerstand im Wechselstromkreis ergibt sich als:
P=ui=umaximaxsin2ωt
Nun interessiert in der Regel nicht die momentane Leistungsabgabe, sondern der ihr zeitlicher Mittelwert. Dieser mittlere Wert beträgt, wie aus Bild 6 erkennbar ist,
P¯=12imaxumax oder P¯=imax2umax2

Dieser Mittelwert der Leistung ist gleich der tatsächlich abgegebenen Leistung. Aus der Gleichung lassen sich direkt die Effektivwerte ablesen.

Der Effektivwert der Spannung betrug bis 1989 in Deutschland und vielen anderen Ländern 220 V. Danach erfolgt die allmähliche Umstellung auf 230 V. Bis zum Jahre 2003 gilt dafür eine Spannungsdifferenz von + 6% (243 V) bis - 10% (207 V). Grundlage dafür ist die DIN IEC 38. Nach 2003 soll die Spannungsdifferenz endgültig festgelegt werden.

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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