Parallelschaltung von Wechselstromwiderständen

Reale und reine Wechselstromwiderstände

Unter Wechselstromwiderständen versteht man ohmsche, induktive und kapazitive Widerstände. Für die Parallelschaltung solcher Widerstände (Bild 1) gelten im Wechselstromkreis andere Gesetze als für Widerstände im Gleichstromkreis. Wir betrachten dabei reine Widerstände der jeweiligen Art. Das bedeutet beispielsweise für eine Spule: Eine reale Spule hat sowohl einen induktiven als auch einen ohmschen Widerstand und kann damit als Reihenschaltung eines rein induktiven und eines rein ohmschen Widerstandes angesehen werden. Wir betrachten nur den induktiven Anteil des Widerstandes, also die Spule als rein induktiven Widerstand. Analog wird beim ohmschen Widerstand und kapazitiven Widerstand verfahren, denn auch ein ohmscher Widerstand kann einen induktiven Anteil haben. Während man im Fall des Drahtwiderstandes unmittelbar die spulenartigen Drahtwindungen sieht, bleibt das bei Schichtwiderständen meist verborgen. Tatsächlich wird auf einem Träger eine leitende Schicht aufgetragen, aus der durch einen spiralig umlaufenden Fräsvorgang leitendes Material abgetragen wird, so dass eine wendelartig umlaufende Schicht übrig bleibt. Auf diese Weise wird der geforderte Widerstandswert erzeugt. Es ist unmittelbar einzusehen, dass dieser spulenartige Aufbau zu einem induktiven Anteil führt. Dieser ist allerdings in der Regel so klein, dass man ihn vernachlässigen kann. Trotzdem gilt:

Die allgemeine Behandlung der Zusammenschaltung beliebiger Wechselstromwiderstände ist mit den in der Schule zur Verfügung stehenden mathematischen Kenntnisse nicht möglich und auch nicht erforderlich.

Nachfolgend ist der vereinfachte Fall der Parallelschaltung von einem rein ohmschen, induktiven und kapazitiven Widerstand dargestellt.

Parallelschaltung von Wechselstromwiderständen

Es werden ein ohmscher Widerstand R (Wirkwiderstand), ein induktiver Widerstand $X_{\text{L}}$ und ein kapazitiver Widerstand $X_{\text{C}}$ parallel geschaltet, so wie es Bild 1 zeigt. Induktiver und kapazitiver Widerstand werden auch als Blindwiderstand bezeichnet. Den Gesamtwiderstand im Wechselstromkreis nennt man Scheinwiderstand Z.
Für eine solche Parallelschaltung gilt zunächst wie im Gleichstromkreis, dass die Spannung im Stromkreis überall den gleichen Wert hat.

Um die Verhältnisse bei den Widerständen zu klären, stellt man sie in einem Zeigerdiagramm dar (Bild 2).
Als Scheinwiderstand (Gesamtwiderstand) Z ergibt sich:

$\begin{array}{l}\frac{1}{Z}=\sqrt{\frac{1}{R^2}+{\left(\frac{1}{X_{\text{C}}}-\frac{1}{X_{\text{L}}}\right)}^2}\text{oder}Z=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{R^2}+{\left(\frac{1}{X_{\text{C}}}-\frac{1}{X_{\text{L}}}\right)}^2}}\\ \text{Mit}{X}_{\text{L}}=\omega \cdot L{\text{und X}}_{\text{C}}=\frac{1}{\omega \cdot C}\text{lautet die Gleichung}\\ \text{für den Scheinwiderstand:}\\ \frac{1}{Z}=\sqrt{\frac{1}{R^2}+{\left(\omega \cdot C-\frac{1}{\omega \cdot L}\right)}^2}\\ \text{Setzt man}\frac{\text{1}}{X_{\text{C}}}-\frac{1}{X_{\text{L}}}=\frac{1}{X},\text{so erhält man:}\\ \frac{1}{Z}=\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{X^2}}\end{array}$

Aus den Gleichungen ergibt sich auch:

Der frequenzabhängige Verlauf des Gesamtwiderstandes ist in Bild 3 dargestellt. Das Maximum des Widerstandes und damit das Minimum der Gesamtstromstärke wird unter folgender Bedingung erreicht:

$\begin{array}{l}\frac{1}{X_{\text{C}}}=\frac{1}{X_{\text{L}}}\text{oder}{X}_{\text{L}}=X_{\text{C}}\\ \text{Setzt man die betreffenden Widerstände ein}\text{, so erhält man:}\\ \omega \cdot L=\frac{1}{\omega \cdot C}\\ \text{Mit}\omega =2\pi \cdot f\text{ergibt sich:}\\ 2\pi \cdot f\cdot L=\frac{1}{2\pi \cdot f\cdot C}\\ \text{Die Umstellung der Gleichung nach}f\text{ergibt:}\\ f=\frac{1}{2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C}}\text{oder mit}f=\frac{1}{T}:\\ T=2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C}\end{array}$

Der letzte Ausdruck ist nicht anderes als die thomsonsche Schwingungsgleichung. Im Resonanzfall hat der Scheinwiderstand ein Maximum und damit die Gesamtstromstärke in Minimum. Die Teilströme durch die Blindwiderstände sind in diesem Fall größer als der Gesamtstrom. Man spricht dann von Stromresonanz.

Aus dem Zeigerdiagramm der Widerstände (Bild 2) ergibt sich auch unmittelbar die Phasenverschiebung $\varphi$ zwischen Stromstärke und Spannung:

$\tan \varphi =R\left(\frac{1}{X_{\text{C}}}-\frac{1}{X_{\text{L}}}\right)=R\left(\omega \cdot C-\frac{1}{\omega \cdot L}\right)$

Je nach dem Verhältnis der Blindwiderstände eilt die Spannung der Stromstärke voraus oder bleibt hinter ihr zurück. Das liefert unterschiedliche Vorzeichen für die Phasenverschiebung.