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Bei Rechenoperationen mit Matrizen sind aufgrund der Entstehungsweise der Matrix als Ergebnis einer Abstraktion inhaltliche und formale Bedingungen einzuhalten.

Eine Addition (bzw. Subtraktion) von Matrizen ist nur für Matrizen gleichen Typs erklärt. Sie erfolgt elementeweise. Die Addition von Matrizen ist kommutativ, assoziativ und umkehrbar. Das skalare Vielfache einer Matrix erhält man, indem jedes Element der Matrix mit dem betreffenden Skalar multipliziert wird.

Zur Veranschaulichung komplexer Zahlen wurde von CARL FRIEDRICH GAUSS eine Ebene gewählt, deren x-Achse als Einheit den reellen Wert 1 und deren y-Achse als Einheit den imaginären Wert i verwendet. Jeder komplexen Zahl $a+bi\left(mita,b\in ℝ\right)$ wird in dieser Ebene umkehrbar eindeutig ein Punkt zugeordnet.

Beim Vergleichen und beim Verknüpfen von Vektoren muss darauf geachtet werden, dass die Koordinatenanzahl, d.h. die Anzahl der Zeilen bei Darstellung als Spaltenvektor, übereinstimmt.
Für beliebige (n-dimensionale) Vektoren sind eine Addition sowie eine Vervielfachung mit reellen Zahlen definiert. Spezielle Produkte von Vektoren sind das Skalarprodukt sowie im dreidimensionalen Raum das Vektorprodukt und das Spatprodukt. Die Ergebnisse dieser Verknüpfungen können mithilfe der Koordinaten der zu verknüpfenden Vektoren berechnet werden.

Funktionen mit einem gemeinsamen Definitionsbereich können addiert, subtrahiert und multipliziert werden, d.h., es gilt:
$\begin{array}{c}\left(f+g\right)\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)\\ \left(f-g\right)\left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right)\\ \left(f\cdot g\right)\left(x\right)=f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\end{array}$

Wenn $g\left(x\right)\ne 0$ ist, dann lässt sich auch der Kehrwert $\left(\frac{1}{g}\right)\left(x\right)=\frac{1}{g\left(x\right)}$ und der Quotient $\left(\frac{f}{g}\right)\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ bilden.