Höhere Ableitungen einer Funktion f gestatten Rückschlüsse auf den Verlauf des Funktionsgraphen.Ein Beispiel praktischer Anwendung höherer Ableitungen stellt die Untersuchung von Bewegungsabläufen in der Physik (etwa der Anfahrfunktion eines Kraftfahrzeuges) dar.

Im Folgenden soll die Produktregel der Differenzialrechnung bewiesen werden.Die Produktregel lässt sich auch auf endlich viele Faktoren erweitern. 

* 21. April 1652 Ambert, Basse-Auvergne† 8. November 1719 ParisMICHEL ROLLE ist vor allem durch den nach ihm benannten Satz der Analysis bekannt. Vorrangig arbeitete er jedoch auf den Gebieten der Geometrie und der Algebra.

Die Definitionen von Differenzierbarkeit und Stetigkeit führen zu der Folgerung, eine Funktion f kann an einer Stelle x 0 stetig, aber nicht differenzierbar sein.Ist f in x 0 allerdings differenzierbar, dann ist sie in x 0 auch stetig.

Für eine Funktion mit einer Gleichung y = f ( x ) , also für eine Funktion mit genau einer unabhängigen Variablen x, ist die erste Ableitung y ' = f ' ( x 0 ) an einer Stelle x 0 erklärt durch den Grenzwert des Differenzenquotienten an dieser Stelle: f ' ( x 0 ) ...