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  6. Differenzierbarkeit von Funktionen

Differenzierbarkeit von Funktionen

Die Definitionen von Differenzierbarkeit und Stetigkeit führen zu der Folgerung, eine Funktion f kann an einer Stelle x 0 stetig, aber nicht differenzierbar sein.
Ist f in x 0 allerdings differenzierbar, dann ist sie in x 0 auch stetig.

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Der Begriff der Differenzierbarkeit einer Funktion lässt sich folgendermaßen definieren:

  • Definition:Es sei I ein offenes Intervall und x 0 ∈ Ι . Eine Funktion f :       Ι → ℝ heißt im Punkt x 0 differenzierbar, wenn folgender Grenzwert existiert:
      lim x   →   x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 = :     f ' ( x 0 )
    Dieser Grenzwert f ' ( x 0 ) heißt Ableitung von f in x 0 .

Äquivalent zu dieser Definition ist die folgende:

  • Definition: Es sei I ein offenes Intervall und x 0 ∈ Ι . Eine Funktion f :       Ι → ℝ heißt im Punkt x 0 differenzierbar, wenn es eine Zahl f ' ( x 0 ) gibt, sodass gilt:
    lim x   →   x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) − f ' ( x 0 ) ( x − x 0 ) x − x 0 = 0
    Die Zahl f ' ( x 0 ) heißt Ableitung von f in x 0 .

Im Folgenden geben wir eine geometrische Deutung der Differenzierbarkeit.
Die Gleichung y = f ( x 0 ) + f ' ( x 0 ) ( x − x 0 ) bestimmt eine Gerade mit der Steigung f ' ( x 0 ) durch den Punkt ( x 0 ;   f ( x 0 ) ) . Sie heißt Tangente an den Graphen von f in x 0 oder in ( x 0 ;   f ( x 0 ) ) . Differenzierbarkeit einer Funktion in x 0 bedeutet, dass der Graph dieser Funktion in x 0 eine nicht zur y-Achse parallele Tangente besitzt.

  • Definition: Es sei I ein offenes Intervall und f :       Ι → ℝ . Die Funktion f heißt in I differenzierbar, wenn sie in jedem Punkt von I differenzierbar ist.
    Die Funktion y ' = f ' ( x ) die jedem x 0 ∈ Ι die Ableitung f ' ( x ) zugeordnet, heißt (erste) Ableitung von f.

Differenzierbarkeit und Stetigkeit

Eine Funktion kann an einer Stelle stetig, aber nicht differenzierbar sein.

  • Beispiel: 1 Ein „klassisches“ Beispiel ist die Betragsfunktion f ( x ) = |   x   | , die an der Stelle x 0 = 0 stetig (sie ist überall in ℝ stetig), aber nicht differenzierbar ist.
    Die Nicht-Differenzierbarkeit bei 0 ist anschaulich klar: Der Graph ändert im Punkt ( 0 ;   0 ) plötzlich seine Richtung, und es gibt keine Tangente.

Bild

  • Beispiel 2: Eine ähnliche plötzliche Änderung der Richtung können wir beim Graphen der folgenden Funktion im Punkt ( 1 ;   1 ) sehen:
      f ( x ) = { x 3 f ü r       x ≤ 1 −   x + 2 f ü r       x > 1
    Wieder ist f überall stetig, aber bei x 0 = 1 nicht differenzierbar

Bild

Anmerkung (Tangente in Analysis und Geometrie):
Die Wurzelfunktion w mit w ( x ) = x         ( m i t       x ≥ 0 ) ist in x 0 = 0 nicht differenzierbar, die Analysis liefert daher in P ( 0 ;   0 ) keine Tangente an das Schaubild von w. Aus der Anschauung (Geometrie) entnehmen wir, dass man die y-Achse in diesem Punkt als Tangente auffassen könnte. Weil die y-Achse nicht Schaubild einer linearen Funktion ist, kann sie aber nicht als Schaubild einer Tangentenfunktion gewonnen werden.

Obwohl nicht jede stetige Funktion differenzierbar ist, ist jede differenzierbare Funktion stetig.

  • Satz: Wenn die Funktion f in x 0 differenzierbar ist, dann ist sie in x 0 stetig.

Der Begriff der Differenzierbarkeit ist hier nur für offene Intervalle erklärt worden, er lässt sich z.B. auf abgeschlossene Intervalle verallgemeinern. Man untersucht dann in den Randpunkte die rechts- bzw. linksseitigen Grenzwerte und spricht von rechts- bzw. linksseitigen Halbtangenten.

  • Beispiel 3: Man differenziere g ( x ) = x ( 5 − x ) 3 in x 0 = 0       u n d       x 1 = 5.

Wegen x ( 5 − x ) 3 ≥ 0 ist der Definitionsbereich dieser Funktion [ 0 ;   5 ] , d.h., g ist nur für 0 ≤ x ≤ 5 definiert, 0 und 5 sind folglich Randpunkte. Es ist:

  lim x   →   0   + g ( x ) − g ( 0 ) x − 0 = lim x   →   0   + x ( 5 − x ) 3 x = lim x   →   0   + ( 5 − x ) 3 x = ∞ lim x   →   5   − g ( x ) − g ( 5 ) x − 5 = lim x   →   5   − x ( 5 − x ) 3 x − 5 = lim x   →   5   − ( −   x ⋅ ( 5 − x ) 3 ( 5 − x ) 2 ) = lim x   →   5   − ( −   x ⋅ 5 − x ) = 0

Die Funktion g ist also in 0 nicht (rechtsseitig) differenzierbar und hat dort keine Halbtangente (zumindest keine, die sich als Funktion von x schreiben lässt). In 5 ist g linksseitig differenzierbar, die Halbtangente hat die Steigung 0.

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Differenzierbarkeit von Funktionen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/differenzierbarkeit-von-funktionen (Abgerufen: 13. May 2025, 09:08 UTC)

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Verwandte Artikel

Ableitung einer Funktion

Existiert an der Stelle x 0 des Definitionsbereiches einer Funktion f der Grenzwert
  lim h → 0 f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h ,
so wird dieser als Ableitung oder Differenzialquotient von f an der Stelle x 0 bezeichnet.
Die Ableitung gibt den Anstieg des Funktionsgraphen an der Stelle x 0 an.

Ableitungen höherer Ordnung

Höhere Ableitungen einer Funktion f gestatten Rückschlüsse auf den Verlauf des Funktionsgraphen.
Ein Beispiel praktischer Anwendung höherer Ableitungen stellt die Untersuchung von Bewegungsabläufen in der Physik (etwa der Anfahrfunktion eines Kraftfahrzeuges) dar. Geschwindigkeit und Beschleunigung sind hier als erste bzw. zweite Ableitung des Weges nach der Zeit definiert.

Partielle Ableitungen

Für eine Funktion mit einer Gleichung y = f ( x ) , also für eine Funktion mit genau einer unabhängigen Variablen x, ist die erste Ableitung y ' = f ' ( x 0 ) an einer Stelle x 0 erklärt durch den Grenzwert des Differenzenquotienten an dieser Stelle:
f ' ( x 0 ) = lim h   →   0 f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h

Interpretiert man diesen Grenzwert geometrisch, so gibt er den Anstieg der Tangente an den Graphen von f im Punkte P 0 ( x 0 ;     f ( x 0 ) ) an.

Es sei nun z = f ( x ,     y ) die Gleichung einer Funktion f mit zwei unabhängigen Variablen x und y. Betrachtet man diese Funktion für ein konstantes y = y 0 , so erhält man eine Funktion z = f ( x ,     y 0 ) mit nunmehr nur einer unabhängigen Variablen x, für die man wie oben angegeben den Grenzwert des Differenzenquotienten an einer Stelle x 0 aufstellen kann. Existiert dieser Grenzwert, so nennt man ihn die partielle Ableitung erster Ordnung der Ausgangsfunktion z = f ( x ,     y ) nach x an der Stelle ( x 0 ;     y 0 ) und schreibt:
f x ( x 0 ;     y 0 ) = lim h   →   0 f ( x 0 + h ,     y 0 ) − f ( x 0 ,     y 0 ) h

Grafisches Differenzieren

Die Ableitung einer Funktion f an einer Stelle x 0 gibt bekanntermaßen den Anstieg der Tangente an den Graphen der Funktion im Punkt P 0 ( x 0 ;   f ( x 0 ) ) an.
Ebenso spricht man vom Anstieg des Graphen im Punkt P 0 .
Im Folgenden wird ein Verfahren zur Bestimmung der Ableitung an einer Stelle x 0 mittels zeichnerischen oder grafischen Differenzierens vorgestellt.

Ermitteln lokaler Extrema

Im Folgenden wird ein Anwendungsbeispiel zu lokalen Extrema betrachtet.

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