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  6. Differenzierbarkeit von Funktionen

Differenzierbarkeit von Funktionen

Die Definitionen von Differenzierbarkeit und Stetigkeit führen zu der Folgerung, eine Funktion f kann an einer Stelle x 0 stetig, aber nicht differenzierbar sein.
Ist f in x 0 allerdings differenzierbar, dann ist sie in x 0 auch stetig.

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Der Begriff der Differenzierbarkeit einer Funktion lässt sich folgendermaßen definieren:

  • Definition:Es sei I ein offenes Intervall und x 0 ∈ Ι . Eine Funktion f :       Ι → ℝ heißt im Punkt x 0 differenzierbar, wenn folgender Grenzwert existiert:
      lim x   →   x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 = :     f ' ( x 0 )
    Dieser Grenzwert f ' ( x 0 ) heißt Ableitung von f in x 0 .

Äquivalent zu dieser Definition ist die folgende:

  • Definition: Es sei I ein offenes Intervall und x 0 ∈ Ι . Eine Funktion f :       Ι → ℝ heißt im Punkt x 0 differenzierbar, wenn es eine Zahl f ' ( x 0 ) gibt, sodass gilt:
    lim x   →   x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) − f ' ( x 0 ) ( x − x 0 ) x − x 0 = 0
    Die Zahl f ' ( x 0 ) heißt Ableitung von f in x 0 .

Im Folgenden geben wir eine geometrische Deutung der Differenzierbarkeit.
Die Gleichung y = f ( x 0 ) + f ' ( x 0 ) ( x − x 0 ) bestimmt eine Gerade mit der Steigung f ' ( x 0 ) durch den Punkt ( x 0 ;   f ( x 0 ) ) . Sie heißt Tangente an den Graphen von f in x 0 oder in ( x 0 ;   f ( x 0 ) ) . Differenzierbarkeit einer Funktion in x 0 bedeutet, dass der Graph dieser Funktion in x 0 eine nicht zur y-Achse parallele Tangente besitzt.

  • Definition: Es sei I ein offenes Intervall und f :       Ι → ℝ . Die Funktion f heißt in I differenzierbar, wenn sie in jedem Punkt von I differenzierbar ist.
    Die Funktion y ' = f ' ( x ) die jedem x 0 ∈ Ι die Ableitung f ' ( x ) zugeordnet, heißt (erste) Ableitung von f.

Differenzierbarkeit und Stetigkeit

Eine Funktion kann an einer Stelle stetig, aber nicht differenzierbar sein.

  • Beispiel: 1 Ein „klassisches“ Beispiel ist die Betragsfunktion f ( x ) = |   x   | , die an der Stelle x 0 = 0 stetig (sie ist überall in ℝ stetig), aber nicht differenzierbar ist.
    Die Nicht-Differenzierbarkeit bei 0 ist anschaulich klar: Der Graph ändert im Punkt ( 0 ;   0 ) plötzlich seine Richtung, und es gibt keine Tangente.

Bild

  • Beispiel 2: Eine ähnliche plötzliche Änderung der Richtung können wir beim Graphen der folgenden Funktion im Punkt ( 1 ;   1 ) sehen:
      f ( x ) = { x 3 f ü r       x ≤ 1 −   x + 2 f ü r       x > 1
    Wieder ist f überall stetig, aber bei x 0 = 1 nicht differenzierbar

Bild

Anmerkung (Tangente in Analysis und Geometrie):
Die Wurzelfunktion w mit w ( x ) = x         ( m i t       x ≥ 0 ) ist in x 0 = 0 nicht differenzierbar, die Analysis liefert daher in P ( 0 ;   0 ) keine Tangente an das Schaubild von w. Aus der Anschauung (Geometrie) entnehmen wir, dass man die y-Achse in diesem Punkt als Tangente auffassen könnte. Weil die y-Achse nicht Schaubild einer linearen Funktion ist, kann sie aber nicht als Schaubild einer Tangentenfunktion gewonnen werden.

Obwohl nicht jede stetige Funktion differenzierbar ist, ist jede differenzierbare Funktion stetig.

  • Satz: Wenn die Funktion f in x 0 differenzierbar ist, dann ist sie in x 0 stetig.

Der Begriff der Differenzierbarkeit ist hier nur für offene Intervalle erklärt worden, er lässt sich z.B. auf abgeschlossene Intervalle verallgemeinern. Man untersucht dann in den Randpunkte die rechts- bzw. linksseitigen Grenzwerte und spricht von rechts- bzw. linksseitigen Halbtangenten.

  • Beispiel 3: Man differenziere g ( x ) = x ( 5 − x ) 3 in x 0 = 0       u n d       x 1 = 5.

Wegen x ( 5 − x ) 3 ≥ 0 ist der Definitionsbereich dieser Funktion [ 0 ;   5 ] , d.h., g ist nur für 0 ≤ x ≤ 5 definiert, 0 und 5 sind folglich Randpunkte. Es ist:

  lim x   →   0   + g ( x ) − g ( 0 ) x − 0 = lim x   →   0   + x ( 5 − x ) 3 x = lim x   →   0   + ( 5 − x ) 3 x = ∞ lim x   →   5   − g ( x ) − g ( 5 ) x − 5 = lim x   →   5   − x ( 5 − x ) 3 x − 5 = lim x   →   5   − ( −   x ⋅ ( 5 − x ) 3 ( 5 − x ) 2 ) = lim x   →   5   − ( −   x ⋅ 5 − x ) = 0

Die Funktion g ist also in 0 nicht (rechtsseitig) differenzierbar und hat dort keine Halbtangente (zumindest keine, die sich als Funktion von x schreiben lässt). In 5 ist g linksseitig differenzierbar, die Halbtangente hat die Steigung 0.

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Differenzierbarkeit von Funktionen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/differenzierbarkeit-von-funktionen (Abgerufen: 20. May 2025, 09:42 UTC)

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f ' ( x 0 ) = lim h   →   0 f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h

Interpretiert man diesen Grenzwert geometrisch, so gibt er den Anstieg der Tangente an den Graphen von f im Punkte P 0 ( x 0 ;     f ( x 0 ) ) an.

Es sei nun z = f ( x ,     y ) die Gleichung einer Funktion f mit zwei unabhängigen Variablen x und y. Betrachtet man diese Funktion für ein konstantes y = y 0 , so erhält man eine Funktion z = f ( x ,     y 0 ) mit nunmehr nur einer unabhängigen Variablen x, für die man wie oben angegeben den Grenzwert des Differenzenquotienten an einer Stelle x 0 aufstellen kann. Existiert dieser Grenzwert, so nennt man ihn die partielle Ableitung erster Ordnung der Ausgangsfunktion z = f ( x ,     y ) nach x an der Stelle ( x 0 ;     y 0 ) und schreibt:
f x ( x 0 ;     y 0 ) = lim h   →   0 f ( x 0 + h ,     y 0 ) − f ( x 0 ,     y 0 ) h

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