Differenzierbarkeit von Funktionen

Der Begriff der Differenzierbarkeit einer Funktion lässt sich folgendermaßen definieren:

  • Definition:Es sei I ein offenes Intervall und x 0 Ι . Eine Funktion f : Ι heißt im Punkt x 0 differenzierbar, wenn folgender Grenzwert existiert:
    lim x x 0 f ( x ) f ( x 0 ) x x 0 = : f ' ( x 0 )
    Dieser Grenzwert f ' ( x 0 ) heißt Ableitung von f in x 0 .

Äquivalent zu dieser Definition ist die folgende:

  • Definition: Es sei I ein offenes Intervall und x 0 Ι . Eine Funktion f : Ι heißt im Punkt x 0 differenzierbar, wenn es eine Zahl f ' ( x 0 ) gibt, sodass gilt:
    lim x x 0 f ( x ) f ( x 0 ) f ' ( x 0 ) ( x x 0 ) x x 0 = 0
    Die Zahl f ' ( x 0 ) heißt Ableitung von f in x 0 .

Im Folgenden geben wir eine geometrische Deutung der Differenzierbarkeit.
Die Gleichung y = f ( x 0 ) + f ' ( x 0 ) ( x x 0 ) bestimmt eine Gerade mit der Steigung f ' ( x 0 ) durch den Punkt ( x 0 ; f ( x 0 ) ) . Sie heißt Tangente an den Graphen von f in x 0 oder in ( x 0 ; f ( x 0 ) ) . Differenzierbarkeit einer Funktion in x 0 bedeutet, dass der Graph dieser Funktion in x 0 eine nicht zur y-Achse parallele Tangente besitzt.

  • Definition: Es sei I ein offenes Intervall und f : Ι . Die Funktion f heißt in I differenzierbar, wenn sie in jedem Punkt von I differenzierbar ist.
    Die Funktion y ' = f ' ( x ) die jedem x 0 Ι die Ableitung f ' ( x ) zugeordnet, heißt (erste) Ableitung von f.

Differenzierbarkeit und Stetigkeit

Eine Funktion kann an einer Stelle stetig, aber nicht differenzierbar sein.

  • Beispiel: 1 Ein „klassisches“ Beispiel ist die Betragsfunktion f ( x ) = | x | , die an der Stelle x 0 = 0 stetig (sie ist überall in stetig), aber nicht differenzierbar ist.
    Die Nicht-Differenzierbarkeit bei 0 ist anschaulich klar: Der Graph ändert im Punkt ( 0 ; 0 ) plötzlich seine Richtung, und es gibt keine Tangente.

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  • Beispiel 2: Eine ähnliche plötzliche Änderung der Richtung können wir beim Graphen der folgenden Funktion im Punkt ( 1 ; 1 ) sehen:
    f ( x ) = { x 3 f ü r x 1 x + 2 f ü r x > 1
    Wieder ist f überall stetig, aber bei x 0 = 1 nicht differenzierbar

Bild

Anmerkung (Tangente in Analysis und Geometrie):
Die Wurzelfunktion w mit w ( x ) = x ( m i t x 0 ) ist in x 0 = 0 nicht differenzierbar, die Analysis liefert daher in P ( 0 ; 0 ) keine Tangente an das Schaubild von w. Aus der Anschauung (Geometrie) entnehmen wir, dass man die y-Achse in diesem Punkt als Tangente auffassen könnte. Weil die y-Achse nicht Schaubild einer linearen Funktion ist, kann sie aber nicht als Schaubild einer Tangentenfunktion gewonnen werden.

Obwohl nicht jede stetige Funktion differenzierbar ist, ist jede differenzierbare Funktion stetig.

  • Satz: Wenn die Funktion f in x 0 differenzierbar ist, dann ist sie in x 0 stetig.

Der Begriff der Differenzierbarkeit ist hier nur für offene Intervalle erklärt worden, er lässt sich z.B. auf abgeschlossene Intervalle verallgemeinern. Man untersucht dann in den Randpunkte die rechts- bzw. linksseitigen Grenzwerte und spricht von rechts- bzw. linksseitigen Halbtangenten.

  • Beispiel 3: Man differenziere g ( x ) = x ( 5 x ) 3 in x 0 = 0 u n d x 1 = 5.

Wegen x ( 5 x ) 3 0 ist der Definitionsbereich dieser Funktion [ 0 ; 5 ] , d.h., g ist nur für 0 x 5 definiert, 0 und 5 sind folglich Randpunkte. Es ist:

lim x 0 + g ( x ) g ( 0 ) x 0 = lim x 0 + x ( 5 x ) 3 x = lim x 0 + ( 5 x ) 3 x = lim x 5 g ( x ) g ( 5 ) x 5 = lim x 5 x ( 5 x ) 3 x 5 = lim x 5 ( x ( 5 x ) 3 ( 5 x ) 2 ) = lim x 5 ( x 5 x ) = 0

Die Funktion g ist also in 0 nicht (rechtsseitig) differenzierbar und hat dort keine Halbtangente (zumindest keine, die sich als Funktion von x schreiben lässt). In 5 ist g linksseitig differenzierbar, die Halbtangente hat die Steigung 0.

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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