Produktregel der Differenzialrechnung

Die Produktregel der Differenzialrechnung besagt das Folgende:

• Sind zwei Funktionen u und v in $x_0$ differenzierbar, so ist an dieser Stelle auch die Funktion p mit $p\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)$ differenzierbar. Es gilt:
  $p\text{'}\left(x_0\right)=u\text{'}\left(x_0\right)\cdot v\left(x_0\right)+u\left(x_0\right)\cdot v\text{'}\left(x_0\right)$

Da diese Aussage für ein beliebiges $x_0$ aus dem Bereich gilt, in dem sowohl u als auch v differenzierbar sind, kann man vereinfacht schreiben: $p\text{'}=u\text{'}\cdot v+u\cdot v\text{'}$

Beweis der Produktregel

Voraussetzung: Die zwei Funktionen u mit $u=u\left(x\right)undv=v\left(x\right)$sind an der Stelle $x_0$ differenzierbar.

Behauptung: $p\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)$ ist an der Stelle $x_0$ differenzierbar und es gilt:
$p\text{'}\left(x_0\right)=u\text{'}\left(x_0\right)\cdot v\left(x_0\right)+u\left(x_0\right)\cdot v\text{'}\left(x_0\right)$

Beweis:
$\begin{array}{c}\text{‌}d\left(h\right)=\frac{p\left(x_0+h\right)-p\left(x_0\right)}{h}=\frac{u\left(x_0+h\right)\cdot v\left(x_0+h\right)-u\left(x_0\right)\cdot v\left(x_0\right)}{h}\\ =\frac{u\left(x_0+h\right)\cdot v\left(x_0+h\right)-u\left(x_0\right)\cdot v\left(x_0\right)+u\left(x_0\right)\cdot v\left(x_0+h\right)-u\left(x_0\right)\cdot v\left(x_0+h\right)}{h}\\ =\frac{\left(u\left(x_0+h\right)-u\left(x_0\right)\right)\cdot v\left(x_0+h\right)+u\left(x_0\right)\cdot \left(v\left(x_0+h\right)-v\left(x_0\right)\right)}{h}\\ =\frac{u\left(x_0+h\right)-u\left(x_0\right)}{h}\cdot v\left(x_0+h\right)+u\left(x_0\right)\cdot \frac{v\left(x_0+h\right)-v\left(x_0\right)}{h}\end{array}$

Die Summanden in der zuletzt aufgeführten Summe enthalten als Faktoren die Differenzenquotienten von u bzw. v, deren Grenzwerte für h gegen 0 laut Voraussetzung existieren. Damit ist (bei Verwendung der Grenzwertsätze für Funktionen):

$\begin{array}{c}\underset{h\to 0}{\lim }d\left(h\right)=p\text{'}\left(x_0\right)\\ =\underset{h\to 0}{\lim }\left[\frac{u\left(x_0+h\right)-u\left(x_0\right)}{h}\cdot v\left(x_0+h\right)+u\left(x_0\right)\cdot \frac{v\left(x_0+h\right)-v\left(x_0\right)}{h}\right]\\ =u\text{'}\left(x_0\right)\cdot v\left(x_0\right)+u\left(x_0\right)\cdot v\text{'}\left(x_0\right)w.z.b.w.\end{array}$

Beispiele

• Beispiel 1: Es ist die Ableitung der Funktion $f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}\cdot \left(x^3-2x^2+3x-7\right)$ zu bestimmen.

Für $u\left(x\right)=\sqrt[3]{x}$ und $v\left(x\right)=x^3-2x^2+3x-7$ gilt nach der (erweiterten) Potenzregel bzw. der Summenregel $u\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{3\cdot \sqrt[3]{x^2}}$ und $v\text{'}\left(x\right)=3x^2-4x+3$
und damit
$\begin{array}{c}f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{3\cdot \sqrt[3]{x^2}}\cdot \left(x^3-2x^2+3x-7\right)+\sqrt[3]{x}\cdot \left(3x^2-4x+3\right)\\ =\frac{10x^3-14x^2+12x-7}{3\cdot \sqrt[3]{x^2}}\end{array}$

• Beispiel 2: Ist $y=f\left(x\right)$ eine über $D_f$ differenzierbare Funktion, so hat die Funktion g mit $g\left(x\right)={\left[f\left(x\right)\right]}^2$ die Ableitung $g\text{'}\left(x\right)=2\cdot f\left(x\right)\cdot f\text{'}\left(x\right).$

Wegen $g\left(x\right)={\left[f\left(x\right)\right]}^2=f\left(x\right)\cdot f\left(x\right)$ gilt nach der Produktregel $g\text{'}\left(x\right)=f\text{'}\left(x\right)\cdot f\left(x\right)+f\left(x\right)\cdot f\text{'}\left(x\right)$ und damit $g\text{'}\left(x\right)=2\cdot f\left(x\right)\cdot f\text{'}\left(x\right).$
Die Funktion $h\left(x\right)={\left(2x^4-3x^2+5\right)}^2$ hat demzufolge die folgende Ableitung:
$\begin{array}{c}h\text{'}\left(x\right)=2\left(2x^4-3x^2+5\right)\left(8x^3-6x\right)\\ =4x\left(4x^2-3\right)\left(2x^4-3x^2+5\right)\end{array}$

Erweiterung der Produktregel

Die Produktregel lässt sich auch auf endlich viele differenzierbare Faktoren erweitern.

• Für Produkte $p=u\cdot v\cdot w$ aus drei Faktoren u, v und w gilt (in Kurzform):
  
  $\begin{array}{c}p\text{'}=\left(u\cdot v\right)\text{'}\cdot w+\left(u\cdot v\right)\cdot w\text{'}\\ =\left(u\text{'}\cdot v+u\cdot v\text{'}\right)\cdot w+u\cdot v\cdot w\text{'}\\ =u\text{'}\cdot v\cdot w+u\cdot v\text{'}\cdot w+u\cdot v\cdot w\text{'}\end{array}$

Man sieht: Es wird die Summe aus den Produkten der Ableitung jeweils eines der Faktoren mit dem Produkt aller anderen Faktoren gebildet.