Produktregel der Differenzialrechnung

Die Produktregel der Differenzialrechnung besagt das Folgende:

  • Sind zwei Funktionen u und v in x 0 differenzierbar, so ist an dieser Stelle auch die Funktion p mit p ( x ) = u ( x ) v ( x ) differenzierbar. Es gilt:
    p ' ( x 0 ) = u ' ( x 0 ) v ( x 0 ) + u ( x 0 ) v ' ( x 0 )

Da diese Aussage für ein beliebiges x 0 aus dem Bereich gilt, in dem sowohl u als auch v differenzierbar sind, kann man vereinfacht schreiben: p ' = u ' v + u v '

Beweis der Produktregel

Voraussetzung: Die zwei Funktionen u mit u = u ( x ) u n d v = v ( x ) sind an der Stelle x 0 differenzierbar.

Behauptung: p ( x ) = u ( x ) v ( x ) ist an der Stelle x 0 differenzierbar und es gilt:
p ' ( x 0 ) = u ' ( x 0 ) v ( x 0 ) + u ( x 0 ) v ' ( x 0 )

Beweis:
d ( h ) = p ( x 0 + h ) p ( x 0 ) h = u ( x 0 + h ) v ( x 0 + h ) u ( x 0 ) v ( x 0 ) h = u ( x 0 + h ) v ( x 0 + h ) u ( x 0 ) v ( x 0 ) + u ( x 0 ) v ( x 0 + h ) u ( x 0 ) v ( x 0 + h ) h = ( u ( x 0 + h ) u ( x 0 ) ) v ( x 0 + h ) + u ( x 0 ) ( v ( x 0 + h ) v ( x 0 ) ) h = u ( x 0 + h ) u ( x 0 ) h v ( x 0 + h ) + u ( x 0 ) v ( x 0 + h ) v ( x 0 ) h

Die Summanden in der zuletzt aufgeführten Summe enthalten als Faktoren die Differenzenquotienten von u bzw. v, deren Grenzwerte für h gegen 0 laut Voraussetzung existieren. Damit ist (bei Verwendung der Grenzwertsätze für Funktionen):

lim h 0 d ( h ) = p ' ( x 0 ) = lim h 0 [ u ( x 0 + h ) u ( x 0 ) h v ( x 0 + h ) + u ( x 0 ) v ( x 0 + h ) v ( x 0 ) h ] = u ' ( x 0 ) v ( x 0 ) + u ( x 0 ) v ' ( x 0 ) w . z . b . w .

Beispiele

  • Beispiel 1: Es ist die Ableitung der Funktion f ( x ) = x 3 ( x 3 2 x 2 + 3 x 7 ) zu bestimmen.

Für u ( x ) = x 3 und v ( x ) = x 3 2 x 2 + 3 x 7 gilt nach der (erweiterten) Potenzregel bzw. der Summenregel u ' ( x ) = 1 3 x 2 3 und v ' ( x ) = 3 x 2 4 x + 3
und damit
f ' ( x ) = 1 3 x 2 3 ( x 3 2 x 2 + 3 x 7 ) + x 3 ( 3 x 2 4 x + 3 ) = 10 x 3 14 x 2 + 12 x 7 3 x 2 3

  • Beispiel 2: Ist y = f ( x ) eine über D f differenzierbare Funktion, so hat die Funktion g mit g ( x ) = [ f ( x ) ] 2 die Ableitung g ' ( x ) = 2 f ( x ) f ' ( x ) .

Wegen g ( x ) = [ f ( x ) ] 2 = f ( x ) f ( x ) gilt nach der Produktregel g ' ( x ) = f ' ( x ) f ( x ) + f ( x ) f ' ( x ) und damit g ' ( x ) = 2 f ( x ) f ' ( x ) .
Die Funktion h ( x ) = ( 2 x 4 3 x 2 + 5 ) 2 hat demzufolge die folgende Ableitung:
h ' ( x ) = 2 ( 2 x 4 3 x 2 + 5 ) ( 8 x 3 6 x ) = 4 x ( 4 x 2 3 ) ( 2 x 4 3 x 2 + 5 )

Erweiterung der Produktregel

Die Produktregel lässt sich auch auf endlich viele differenzierbare Faktoren erweitern.

  • Für Produkte p = u v w aus drei Faktoren u, v und w gilt (in Kurzform):

    p ' = ( u v ) ' w + ( u v ) w ' = ( u ' v + u v ' ) w + u v w ' = u ' v w + u v ' w + u v w '

Man sieht: Es wird die Summe aus den Produkten der Ableitung jeweils eines der Faktoren mit dem Produkt aller anderen Faktoren gebildet.

 

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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