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Winkelhalbierende im Dreieck

Die Winkelhalbierenden halbieren die drei Innenwinkel des Dreiecks. Die drei Winkelhalbierenden schneiden einander in genau einem Punkt. Dieser Punkt ist Mittelpunkt des Kreises, der die drei Dreiecksseiten von innen berührt. Man nennt deshalb diesen Kreis den Inkreis des Dreiecks.

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Sätze über Dreiecke

Zwischen den Winkeln und Seiten in einem Dreieck gelten zahlreiche Zusammenhänge.
So besteht zwischen den Winkeln eines Dreiecks folgende Beziehung:
Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180° (Innenwinkelsummensatz).

Für die Seiten eines Dreiecks gilt folgende Beziehung:
Die Summe der Längen zweier Seiten ist stets größer als die Länge der dritten Seite (Dreiecksungleichung).

Zwischen den Seiten und Winkeln in einem Dreieck gilt folgende Beziehung:
Der längeren von zwei Seiten liegt stets der größere der entsprechenden Innenwinkel gegenüber.

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Eulersche Gerade

In jedem Dreieck liegen der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten M (Umkreismittelpunkt), der Höhenschnittpunkt H und der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden S (Schwerpunkt des Dreiecks) auf einer Geraden. Diese Gerade wird nach dem Schweizer Mathematiker LEONARD EULER (1707 bis 1783) eulersche Gerade genannt.

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andere einwertige Alkohole

In diesem Artikel werden die Eigenschaften und Verwendungszwecke unterschiedlicher einwertiger Alkohole (außer Methanol und Ethanol) beschrieben. Ab dem Propanol können erste Konstitutionsisomere auftreten. Bis zum Hexanol werden derartige Isomere dargestellt.

Schon an diesen wenigen Beispielen sind grundsätzliche Gemeinsamkeiten, aber auch wesentliche Unterschiede in Eigenschaften und Verwendung erkennbar.

Außerdem lassen sich Kenntnisse über homologe Reihen anwenden. An dem Beispiel der Alkanole mit endständiger Hydroxylgruppe wird darauf genauer eingegangen.

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Winkelfunktionen, Graphen und Eigenschaften

Graphen von Winkelfunktionen kann man auf die bekannte Weise unter Verwendung einer Wertetabelle zeichnen.
Es ist allerdings auch möglich, ausgehend von der Definition dieser Funktionen am Einheitskreis die zu einem Winkel als Abszisse eines Graphenpunktes gehörende Ordinate sofort aus der Zeichnung zu entnehmen. Gestützt auf diesen Weg der Konstruktion der Funktionsgraphen lassen sich einige wichtige Eigenschaften der Winkelfunktionen ermitteln.

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Halbwertszeit


Eine wichtige Größe in der chemischen Kinetik ist die Halbwertszeit. Diese gibt an, nach welcher Zeit sich die Anfangskonzentration eines Ausgangsstoffes genau um die Hälfte verringert hat.

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Stromstärken in Stromkreisen

Die elektrische Stromstärke gibt an, wie viel elektrische Ladung sich in jeder Sekunde durch den Querschnitt eines elektrischen Leiters bewegt. Sie wird in der Einheit Ampere (1 A) gemessen.
Befinden sich in einem Stromkreis mit einer elektrischen Quelle mehrere Bauelemente (Widerstände, Glühlampen, Spulen, ...), so können diese in Reihe oder parallel zueinander geschaltet sein. Die Stromstärke, die durch das einzelne Bauelement fließt, hängt von der Art der Schaltung und vom elektrischen Widerstand des betreffenden Bauelements ab.

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Widerstände in Stromkreisen

Der elektrische Widerstand eines Bauelementes oder Gerätes gibt an, welche Spannung für einen elektrischen Strom der Stärke 1 A erforderlich ist. Er wird in der Einheit Ohm ( 1   Ω ) gemessen.
Befinden sich in einem Stromkreis mit einer elektrischen Quelle mehrere Bauelemente (Widerstände, Glühlampen, Spulen, ...), so können diese in Reihe oder parallel zueinander geschaltet sein. Der Gesamtwiderstand der Schaltung hängt von der Art der Schaltung und vom elektrischen Widerstand der betreffenden Bauelemente ab.

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Induktiver Widerstand

In jeder Spule wird aufgrund der Selbstinduktion eine Spannung induziert, die nach dem lenzschen Gesetz der Ursache ihrer Entstehung - also dem Stromfluss durch die Spule - entgegen wirkt. Dadurch erfolgt eine Verringerung der Stromstärke. Somit besitzt jede Spule neben dem ohmschen Widerstand ihrer Wicklungen einen zusätzlichen Widerstand, der durch ihre Induktivität zustande kommt. Man nennt diesen Widerstand induktiven Widerstand.

Formelzeichen:
Einheit:

X L
1 Ohm ( 1   Ω )

 

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Kapazitiver Widerstand

Ein Kondensator setzt dem Stromfluss aufgrund seiner begrenzten Kapazität immer einen Widerstand entgegen. Dieser Widerstand wird kapazitiver Widerstand genannt.

Formelzeichen:
Einheit:

X C
1 Ohm ( 1   Ω )

 

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Ohmscher Widerstand

Widerstände, deren elektrischer Widerstand im Gleichstromkreis genauso groß ist wie im Wechselstromkreis, nennt man ohmsche Widerstände. Bei ihnen verlaufen im Unterschied zu induktiven und kapazitiven Widerständen Spannung und Stromstärke zeitlich gleich. Bei Stromfluss wird elektrische Energie in thermische Energie umgewandelt.

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Abbildungsgleichung und Abbildungsmaßstab

Der Zusammenhang zwischen der Brennweite, der Gegenstandsweite und der Bildweite bei Linsen wird durch die Abbildungsgleichung erfasst.
Der Zusammenhang zwischen Gegenstandsgröße, Bildgröße, Gegenstandsweite und Bildweite wird durch die Gleichung für den Abbildungsmaßstab beschrieben.
Mithilfe beider Gleichungen ist es möglich, unterschiedliche Größe zu berechnen.

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Bildentstehung durch Sammellinsen

Durch Sammellinsen kann man von Gegenständen Bilder erzeugen. In Abhängigkeit von der Entfernung des Gegenstandes von der Linse sowie von ihrer Brennweite entstehen unterschiedliche Arten von Bildern.

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Brechungsgesetz

Für die Brechung von Licht an einer Grenzfläche zwischen zwei lichtdurchlässigen Stoffen gilt das Brechungsgesetz. Es lautet:

Geht Licht von einem Stoff in einen anderen über, so gilt:

sin   α sin   β = c 1 c 2      oder      sin   α sin   β = n                             α      Einfallswinkel                              β     Brechungswinkel                         c 1 ,   c 2    Lichtgeschwindigkeiten in den                                    Stoffen 1 und 2                              n      Brechzahl

Einfallender Strahl, Einfallslot und gebrochener Strahl liegen in einer Ebene.

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Brechung von Licht

Fällt Licht geneigt auf die Grenzfläche zwischen zwei verschiedenen Stoffen, dann wird es in der Regel aus seiner ursprünglichen Ausbreitungsrichtung abgelenkt. Diesen Vorgang bezeichnet man als Brechung.
Die wesentliche Voraussetzung für das Zustandekommen der Brechung ist eine unterschiedliche Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes in den Stoffen, die aneinander grenzen.

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Urnenmodell

Viele Probleme der klassischen Wahrscheinlichkeitsrechnung lassen sich mithilfe des Urnenmodells veranschaulichen (simulieren). Dazu wird angenommen, dass sich in einem Gefäß (der Urne) eine bestimmte Anzahl (unterscheidbarer) Kugeln befinden und dass aus diesem Gefäß eine entsprechende Anzahl von Kugeln nacheinander bzw. auf einen Griff gezogen werden.

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Goldener Schnitt

Ein besonderes Teilungsverhältnis einer Strecke heißt Goldener Schnitt bzw. stetige Teilung bei folgender Eigenschaft:
Trägt man den kürzeren auf den längeren Abschnitt ab, so wird dieser im gleichen Verhältnis geteilt wie die Ausgangsstrecke. Dies kann man nun beliebig fortsetzen, wobei das Teilungsverhältnis konstant, eben stetig, erhalten bleibt.

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Pseudozufallszahlen

Die Simulation zufälliger Vorgänge aus der Praxis ist oft sehr mühsam und zeitaufwendig. Das gilt besonders auch für das Erzeugen von Zufallszahlen und das Arbeiten mit diesen Zahlen (ggf. unter Verwendung entsprechender Tabellen).
Heute ist es möglich, von Computern erzeugte Zufallszahlen, sogenannte Pseudozufallszahlen, zu nutzen. Grundlage für deren Erzeugung ist ein Algorithmus, der Ziffernfolgen liefert, die annähernd dieselben Eigenschaften haben wie echte Zufallszahlen.

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Simulation, Zufallsexperimente

Tabellenkalkulationen und Computeralgebrasysteme (CAS) eignen sich auch als Hilfsmittel zur Simulation realer Vorgänge. Mithilfe eines integrierten Zufallszahlengenarators ist es möglich, verschiedene Zufallsexperimente zu simulieren und mathematisch auszuwerten.

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Zentrische Streckung

Die zentrische Streckung ist eine Abbildung. Durch eine zentrische Streckung mit dem Streckungszentrum Z und dem Streckungsfaktor (Ähnlichkeitsfaktor) k wird eine Figur F in eine ähnliche überführt. Das Streckungszentrum Z ist dabei Fixpunkt, und jede Gerade durch Z ist eine Fixgerade der Abbildung.

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Tangentenvieleck

Ein Vieleck, das einen Inkreis besitzen, heißt Tangentenvieleck.
Ein solches Vieleck nennt man auch umbeschriebenes Vieleck. Alle Dreiecke und alle regelmäßigen Vielecke besitzen einen Inkreis und sind Tangentenvielecke.

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Regelmäßige Vielecke

Alle regelmäßigen Vielecke (n-Ecke) besitzen gleich lange Seiten und gleich große Innenwinkel und sind damit konvex.
Die Winkelsumme im n-Eck beträgt (n – 2) · 180°.
Im regelmäßigen n-Eck ist diese Winkelsumme gleichmäßig auf alle n Innenwinkel des n-Ecks verteilt.

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Eigenleitung

In Halbleitermaterialien, die völlig von Verunreinigungen frei sind, basiert der elektrische Leitungsvorgang ausschließlich auf der Eigenleitung. Die Eigenleitung setzt sich aus zwei Anteilen zusammen - der Leitung durch freie Elektronen und der Leitung durch Defektelektronen (Löcher).

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Generator

Generatoren dienen der Umwandlung von mechanischer Energie in elektrische Energie. Fast alle Generatoren arbeiten nach dem Rotationsprinzip, ihr Antrieb erfolgt durch eine Drehbewegung. Physikalische Grundlage aller Generatoren ist die elektromagnetische Induktion und das Induktionsgesetz.

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Gleichstrommotor

Ein Gleichstrommotor dient der Umwandlung von elektrischer Energie in mechanische Energie, mit der mechanische Arbeit verrichtet wird. Dabei wird eine Drehbewegung erzeugt, die man zum Antrieb von Geräten und Anlagen verwendet. Genutzt wird das Prinzip, dass auf einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld eine Kraft wirkt.
Die wesentlichen Bauteile eines Gleichstrommotors sind der Feldmagnet (Stator), der drehbar gelagerte Anker (Rotor), der Kollektor und die Kohlebürsten.

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