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In Analogie zu Geradenbüscheln und Geradenbündeln in der Ebene bzw. Ebenenbüscheln im Raum kann man auch die Menge aller Geraden des Raumes durch einen festen Punkt $P_0$ betrachten.

• Definition: Die Menge der Ebenen des Raumes, die eine feste Gerade $g_0$ enthalten, heißt Ebenenbüschel.

Eine Ebene ist durch drei Punkte bzw. einen Punkt und zwei (linear unabhängige) Richtungsvektoren eindeutig bestimmt.
Hieraus resultieren die analytischen Beschreibungsmöglichkeiten durch entsprechende Ebenengleichungen in parameterfreier Form (Koordinatengleichung, Achsenabschnittsgleichung) und in vektorieller Form (Dreipunktegleichung, Punktrichtungsgleichung).

Ausgehend von der parameterfreien Gleichung einer Ebene erhält man über die Spezialisierung der Koeffizienten a, b, c und d spezielle Lagen der Ebene im Raum.
Speziell für d = 0 verläuft die Ebene durch den Koordinatenursprung.

Unsere Erde hat annähernd Kugelgestalt, sie wird in der Regel als Kugel betrachtet. Will man geometrische Probleme lösen, welche die Erdoberfläche betreffen, also die Kugelgestalt der Erde berücksichtigen, muss man eine spezielle Geometrie und Trigonometrie haben. Denn schon die Entfernung zweier Orte auf der Erdkugel, die nicht gerade nahe beieinander liegen, ist mit den Mitteln der ebenen Geometrie nicht mehr exakt zu bestimmen.
Die mathematische Geografie gehört deshalb zu den wichtigsten Anwendungsbereichen der sphärischen Trigonometrie, der Trigonometrie der Kugeloberfläche. Die Erdoberfläche wird dabei hinreichend genau als Oberfläche einer Kugel mit dem Radius 6370 km angenommen.

Die sphärische Geometrie ist die Geometrie auf der Kugel, die sphärische Trigonometrie ist die Trigonometrie der Kugeloberfläche. Dass beide von der Geometrie und der Trigonometrie der Ebene verschieden sein müssen, erkennt man schon daran, dass es auf der Kugel keine Geraden im Sinne der klassischen ebenen Geometrie und Trigonometrie gibt.
Braucht man eine solche Geometrie und Trigonometrie der Kugeloberfläche überhaupt? Eine einfache Antwort ist: Unsere Erde hat annähernd Kugelgestalt, sie wird in der Regel als Kugel betrachtet. Will man geometrische Probleme lösen, welche die Erdoberfläche betreffen, also die Kugelgestalt der Erde berücksichtigen, muss man eine spezielle Geometrie und Trigonometrie haben. Denn schon die Entfernung zweier Orte auf der Erdkugel, die nicht gerade nahe beieinander liegen, ist mit den Mitteln der ebenen Geometrie nicht mehr exakt zu bestimmen.

In Analogie zu Geradenbüscheln in der Ebene bzw. Ebenenbüscheln und Ebenenbündeln im Raum kann man auch die Menge aller Geraden des Raumes durch einen festen Punkt $P_0$ betrachten.

• Definition: Die Menge der Geraden der Ebene, die durch einen festen Punkt $P_0$ geht, heißt Geradenbüschel.

Hier kannst du dich selbst testen. So kannst du dich gezielt auf Prüfungen und Klausuren vorbereiten oder deine Lernerfolge kontrollieren.

Multiple-Choice-Test zum Thema "Mathematik - Lagebeziehungen von Geraden".

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WISSENSTEST

Die Betrachtung eines Anwendungsbeispiels führt zur Punktrichtungsgleichung einer Geraden in der Ebene. Aus der Parameterform der Punktrichtungsgleichung einer Geraden wird anschließend eine parameterfreie Gleichung ermittelt.

Als einziger Kegelschnitt besitzt die Hyperbel ein Paar Asymptoten. Deren Gleichungen lassen sich wie im Folgenden skizziert bestimmen.

Als Kegelschnitte bezeichnet man Kurven, die beim Schnitt eines geraden Doppelkreiskegels (Rotationskegels) mit einer Ebene $\epsilon$ entstehen.

Die Definition der Kegelschnitte lässt neben den regulären Formen (Kreis, Ellipse, Parabel, Hyperbel) noch die sogenannten entarteten Kegelschnitte zu.

Im Allgemeinen werden (nur) Kegelschnitte in sogenannter achsenparalleler Lage betrachtet. Dann lassen sich relativ einfache Mittelpunktsgleichungen für Kreis, Ellipse und Hyperbel sowie eine allgemeine Scheitelgleichung für alle Kegelschnitte angegeben.

Zur Darstellung von Kegelschnitten in Polarkoordinaten werden die folgenden Umrechnungsformeln (von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten) benutzt:
$\begin{array}{c}x=r\cdot \cos \varphi \\ y=r\cdot \sin \varphi \end{array}(\ast )$

Durch Einsetzen in die Mittelpunkts- oder Scheitelgleichungen des entsprechenden Kegelschnittes und anschließendes Umformen ergeben sich die gewünschten Darstellungen.

* 27. Dezember 1571 Weil der Stadt
† 15. November 1630 Regensburg

JOHANNES KEPLER war einer der bedeutendsten Astronomen der frühen Neuzeit und entdeckte die nach ihm benannten Gesetze der Planetenbewegung. Damit gehört er neben NIKOLAUS KOPERNIKUS, GALILEO GALILEI und ISAAC NEWTON zu den Wegbereitern eines neuen wissenschaftlichen Weltbildes, mit dem religiöse Auffassungen überwunden und naturwissenschaftliche Erkenntnisse Grundlage der Vorstellungen wurden.
KEPLER entwickelte aus der Antike stammende Methoden zur Volumenberechnung weiter, so geht u.a. eine Näherungsformel für das Volumen von Rotationskörpern (die sogenannte keplersche Fassregel) auf ihn zurück.

Zwei Kreise können keinen Punkt gemein haben, sich in genau einem Punkt berühren oder sich in genau zwei Punkten schneiden.
Die möglichen Schnittgebilde erhält man analytisch, indem die entsprechenden Kreisgleichungen auf gemeinsame Lösungen untersucht werden.

Hier kannst du dich selbst testen. So kannst du dich gezielt auf Prüfungen und Klausuren vorbereiten oder deine Lernerfolge kontrollieren.

Multiple-Choice-Test zum Thema "Mathematik - Kreise und Kugeln".

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WISSENSTEST

Mithilfe des Kreises ist eine eineindeutige Abbildung (Zuordnung) zwischen der Menge aller Punkte (außer dem Kreismittelpunkt M) und der Menge aller Geraden (außer den Geraden durch M) definiert. Diese wird Polarität am Kreis genannt.

Die sphärische Geometrie ist die Geometrie auf der Kugel, die sphärische Trigonometrie die Trigonometrie der Kugeloberfläche. Dass beide von der Geometrie und der Trigonometrie der Ebene verschieden sein müssen, erkennt man schon daran, dass es auf der Kugel keine Geraden im Sinne der klassischen ebenen Geometrie und Trigonometrie gibt.
Im Weiteren werden Kugeldreiecke definiert und insbesondere eulersche Dreiecke betrachtet. Zur Berechnung sphärischer Dreiecke werden u.a. der sphärische Sinussatz, der Winkelkosinussatz und der Seitenkosinussatz verwendet.

Eine Kugel und eine Ebene können keinen Punkt (Fall 1), genau einen Punkt (Fall 2) oder unendlich viele Punkte, die auf einem Kreis (dem Schnittkreis) liegen (Fall 3), gemeinsam haben.

Für die Lage einer Kugel bezüglich einer Geraden gibt es die folgenden Möglichkeiten:

1. Kugel und Gerade haben keinen Punkt gemeinsam (Fall 1);
2. Kugel und Gerade haben genau einen Punkt gemeinsam (Fall 2);
3. Kugel und Gerade haben genau zwei Punkte gemeinsam (Fall 3)

Im Fall 1 nennt man die Gerade eine Passante, im Fall 2 eine Tangente und im Fall 3 eine Sekante.

Ausgehend vom Begriff der Kugel lassen sich mithilfe eines kartesischen Koordinatensystems Gleichungen (in vektorieller Form und als Koordinatengleichungen) entwickeln. Eine Kugel kann auch durch eine Parametergleichung beschrieben werden.

Zwei Kugeln im Raum können – abgesehen von dem Fall, dass beide Kugeln identisch sind – verschiedene Positionen zueinander einnehmen.