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Taylor-Entwicklung einiger trigonometrischer Funktionen

Ist f eine nichtrationale Funktion mit der Gleichung y = f(x), dann ist es nicht möglich, zur Annäherung von y = f(x) ein Polynom n-ter Ordnung zu verwenden, dessen Koeffizienten mit den Ableitungen von y = f(x) an der Stelle $x_{0}$ in derselben Weise gebildet werden, wie die Koeffizienten der TAYLOR-Entwicklung einer ganzrationalen Funktion.

Dies ergibt sich bereits daraus, dass – im Unterschied zu ganzrationalen Funktionen n-ten Grades – die (n + 1)-te Ableitung und alle weiteren Ableitungen einer nichtrationalen Funktion im Allgemeinen nicht identisch gleich null sind.

Das heißt: Die Entwicklung einer solchen Funktion an einer Stelle $x_{0}$ „bricht nicht ab“, sondern würde zu einer Summe mit unendlich vielen Summanden (Reihe) führen. Man spricht deshalb auch von der Entwicklung einer Funktion in eine TAYLOR-Reihe.
An zwei Beispielen wird gezeigt, dass sich die Sinus- und auch die Kosinusfunktion in eine TAYLOR-Reihe entwickeln lassen.

Taylor-Polynome

Wie aus der Differenzialrechnung bekannt ist, liefert für eine differenzierbare Funktion f die Tangentenfunktion $f_{t}$ gute Näherungen der Funktionswerte von f. Im Folgenden wird der der Zusammenhang zwischen den Koeffizienten des Näherungspolynoms und den Ableitungen der gegebenen Funktion untersucht.

Newtonsches und lagrangesches Interpolationsverfahren

Aufgabe der (allgemeinen) Interpolation ist es, zu n + 1 Punkten $P_{0}, P_{1}, P_{2}, ..., P_{n}$ ein Polynom (möglichst kleinen Grades) mit der Eigenschaft $p (x_{i}) = y_{i} (m i t i = 0, 1, 2, ..., n)$ zu finden.
Dies ist mit dem newtonschen sowie dem lagrangeschen Interpolationsverfahren möglich, wobei das erstere Verfahren die größere praktische Bedeutung hat.

Der carnotsche Kreisprozess

Als Beispiel für die Anwendung der Integralrechnung wird im Folgenden die mechanische Arbeit einer Wärmekraftmaschine im Allgemeinen und die vom Kolben eines Viertakt-Ottomotors verrichtete Arbeit im Besonderen betrachtet.

Archimedes von Syrakus

* etwa 287 v.Chr.
† 212 v.Chr.

ARCHIMEDES VON SYRAKUS zählt zu den bedeutendsten Mathematikern nicht nur der Antike. Viele seiner Ideen waren Ausgangspunkt für wissenschaftliche Arbeiten von Mathematikern verschiedenster Epochen.
ARCHIMEDES entwickelte Methoden zur Bestimmung des Schwerpunktes und des Inhalts von Flächen und Körpern. Er schrieb über Arithmetik und Astronomie. Des Weiteren beschäftigte er sich intensiv mit mathematischen Grundlagen physikalischer Prozesse.

Die Begründung der Quantentheorie durch MAX PLANCK im Original

Im Jahre 1900 begründete der deutsche Physiker MAX PLANCK die Quantentheorie. Als Geburtstunde dieser Theorie gilt ein Vortrag, den er auf der Sitzung der Berliner Physikalischen Gesellschaft am 14. Dezember 1900 gehalten hat und der den Titel „Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspektrum“ trug.
Nachfolgend sind Auszüge aus diesem Vortrag sowie aus einem Beitrag angegeben, den er etwa zwei Monate vorher vor dem gleichen Gremium gehalten und in dem er erstmals seine Strahlungsformel vorgestellt hat.

Quantitative Beschreibung der Komplementarität

Die Komplementarität, also den Sachverhalt, dass sich die Beobachtung eines Interferenzmusters und eine Information über den Spalt, durch den ein Quantenobjekt hindurchgeht, ausschließen, kann man auch quantitativ beschreiben. Das kann mithilfe der Wahrscheinlichkeit P(x) geschehen. Diese Wahrscheinlichkeit kann man mit dem Zeigermodell ermitteln, wobei das Quadrat des Summenzeigers im Unterschied zur Optik – dort ist das ein Maß für die Intensität – als Maß für die Wahrscheinlichkeit P(x) zu interpretieren ist.

Röntgenstrahlung - Entstehung, Eigenschaften, Anwendungen

Röntgenstrahlung besteht aus sehr energiereichen elektromagnetischen Wellen, deren Frequenz in etwa zwischen $3 \cdot 10^{16} Hz und 3 \cdot 10^{21} Hz$ liegt. Sie entsteht, wenn Elektronen hoher kinetischer Energie schlagartig abgebremst werden oder ihre Bewegungsrichtung ändern. Darüber hinaus entstehen Röntgenlinien, ähnlich wie beim Linienspektrum im sichtbaren Bereich des Lichtes, in den Hüllen der Atome. Entdeckt wurde diese Art von Strahlung 1895 von dem deutschen Physiker WILHELM CONRAD RÖNTGEN. In englischsprachigen Ländern werden sie als X-rays bezeichnet.

Wilhelm Conrad Röntgen

* 27.03.1845 in Lennep
† 10.02.1923 in München

Er war ein bedeutender deutscher Physiker, Professor für Physik in Straßburg, Gießen, Würzburg und München. 1895 entdeckte er die nach ihm benannten Röntgenstrahlen und wurde damit in kürzester Zeit weltberühmt.

Heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation

An der Entwicklung und der Interpretation der Quantenphysik waren viele bedeutende Physiker beteiligt. Entscheidende Schritte wurden in den zwanziger Jahren des 20. Jahrhundert gegangen. 1927 veröffentlichte NIELS BOHR sein Komplementaritätsprinzip. Im gleichen Jahr formulierte WERNER HEISENBERG die Unbestimmtheitsrelation. Sie besagt, dass der Ort und der Impuls eines Quantenobjektes nicht gleichzeitig genau bestimmt werden können und wird häufig folgender mathematischen Beziehung angegeben:
$Δ x \cdot Δ p \geq \frac{h}{4 π}$

Das ist eine, aber nicht die einzige Möglichkeit, die heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation zu formulieren.

Interpretation der Quantenphysik mit verborgenen Parametern

Die Quantentheorie erlaubt verschiedene Interpretationen. Die in dem gedruckten Material dargestellte Interpretation ist die sogenannte Standardinterpretation. In dieser ist es z.B. unbestimmt, ob ein Quantenobjekt beim Doppelspalt-Experiment durch den linken oder den rechten Spalt geht. Bei den Interpretationen mit verborgenen Parametern nimmt man an, dass das Quantenobjekt stets durch einen der Spalte geht, dass man nur nicht feststellen kann, durch welchen. Deshalb muss die Tatsache, dass sich beim Interferenzbild nicht die Summe der Einzelspaltmuster ergibt, anders erklärt werden. Dies ist nur über eine sogenannte stark nichtlokale Wirkung möglich.

Welcher-Weg-Messung im Photonen-Interferometer

Bei Interferenzexperimenten ist es unbestimmt, welchen der klassisch denkbaren Wege die Quantenobjekte gehen. So gehen sie beim Doppelspaltexperiment nicht durch genau einen der Spalte, beim Interferometer-Experiment gehen sie nicht auf einem der zwei klassisch denkbaren Wege. Dies ist allerdings nur der Fall, solange man nicht misst, welchen „Weg“ das Quantenobjekt nimmt. Eine solche Messung kann man beim Interferometer mit der Methode der Photonenverdopplung machen.

Wissenstest, Eigenschaften von Quantenobjekten

Die Eigenschaften von Quantenobjekten unterscheiden sich deutlich von denen makroskopischer Objekte. So bewegen sie sich z. B. nicht auf Bahnen. Ein Experiment kann durch eine Messung vollständig verändert werden. Der Test zeigt Ihnen, wie Ihr Grundverständnis für die Quantentheorie ausgeprägt ist.

Multiple-Choice-Test zum Thema "Physik - Eigenschaften von Quantenobjekten".

Viel Spaß beim Beantworten der Fragen!

Wissenstest, Photonen und Elektronen als Quantenobjekte

Photonen und Elektronen gehören zu den Quantenobjekte. Diese haben Eigenschaften, die sich von denen makroskopischer Objekte unterscheiden. mit dem Test können Sie prüfen, wie Sie grundlegende Zusammenhänge der Quantenphysik beherrschen.

Der Test zur Strahlenoptik bietet die Möglichkeit zu prüfen, inwieweit wichtige Kenntnisse vorhanden sind und auch genutzt werden können.

Multiple-Choice-Test zum Thema "Physik - Photonen und Elektronen als Quantenobjekte".

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Zeigerformalismus nach FEYNMAN

Die Photonenoptik behandelt die Lehre des Lichts unter Berücksichtigung der Annahme, dass dieses aus Teilchen, den sogenannten Photonen, besteht. Sie erklärt alle uns bekannten Phänomene der Strahlen- und der Wellenoptik, z.B. das fermatsche Prinzip, die Brechung des Lichts, die Lichtbeugung oder auch das Zustandekommen der Farben an dünnen Schichten. RICHARD P. FEYNMAN hat einen Weg gefunden, dieses Teilgebiet der Quantenelektrodynamik fast ganz ohne Mathematik darzustellen. Um obige Phänomene beschreiben zu können, müssen lediglich viele kleine Pfeile gezeichnet und zu einem resultierenden Pfeil zusammengesetzt werden. Daher spricht man vom Zeigerformalismus nach FEYNMAN.

Altersbestimmung

Radioaktive Altersbestimmung, auch radioaktive Zeitmessung genannt, bedeutet die Bestimmung des Alters von Mineralien, Gesteinen, archäologischen Funden oder anderen Objekten auf der Grundlage der in ihnen enthaltenen Radionuklide, deren Zerfallsprodukte oder der Isotopenzusammensetzung.
Bei organischen Stoffen kann die C-14-Methode angewendet werden.

Anwendung von Radionukliden in Medizin und Technik

Radionuklide werden in verschiedenen Bereichen der Technik und der Medizin eingesetzt. Bei aller Vielfalt der Nutzungsmöglichkeiten lassen sich die meisten Anwendungen auf drei grundlegende Verfahren zurückführen: das Bestrahlungsverfahren, das Durchstrahlungsverfahren und das Markierungsverfahren. Diese drei grundlegenden Verfahren sind in dem Beitrag beschrieben.

Atombau im Original

1911 veröffentlichte der britische Physiker ERNEST RUTHERFORD (1871-1937) eine bedeutsame Arbeit zur Streuung von $α - und β -Teilchen$ an Atomen. Er leitete aus diesen Untersuchungen Vorstellungen über den Aufbau von Atomen ab, die heute als rutherfordsches Atommodell bezeichnet werden. Dieses Atommodell von RUTHERFORD war ein wichtiger Schritt in der Theorie vom Atombau.
Den nächsten wichtigen Schritt ging zwei Jahre später der dänische Atomphysiker NIELS BOHR (1885-1962), der mit seinem bohrschen Atommodell Elemente der Quantenphysik in die Atomphysik einbrachte.
Es sind Auszüge aus diesen beiden Originalarbeiten angegeben.

Atomkerne und Kernbestandteile

Atome bestehen aus der Atomhülle mit den negativ geladenen Elektronen und dem Atomkern, der positiv geladen ist und in dem sich die Masse des Atoms konzentriert. Der Kernradius liegt in einer Größenordnung von $10^{- 15} m$ , die Dichte der Kernmaterie in einer Größenordnung von $2 \cdot 10^{14} g \cdot {cm}^{-3}$ .
Kernbausteine (Nukleonen) sind die positiv geladenen Protonen und die elektrisch neutralen Neutronen.

Johann Jakob Balmer

* 01.05.1825 in Lausen/Kanton Basel
† 12.03.1898 in Basel

Er war ein Schweizer Mathematiker und Physiker, der empirisch eine erste Serienformel für Spektrallinien des Wasserstoffs aufstellte, die sich für die moderne Atomphysik richtungsweisend war. Insbesondere war es eine wichtige Grundlage für die Ausarbeitung des bohrschen Atommodells.

Henri Antoine Becquerel

* 15.12.1852 in Paris
† 25.08.1908 in Le Croisic

Er war ein französischer Physiker und Professor für Physik in Paris.
BECQUEREL entdeckte 1896 die natürliche Radioaktivität am Uran, fand den physikalischen Charakter von Betastrahlung heraus und erhielt 1903 gemeinsam mit dem Ehepaar MARIE und PIERRE CURIE für die Entdeckung der Radioaktivität den Nobelpreis für Physik.

Niels Bohr

* 07.10.1885 in Kopenhagen
† 18.11.1962 in Kopenhagen

Er war ein bedeutender dänischer Physiker, Professor in Kopenhagen und zeitweise in den USA tätig. BOHR schuf mit seinem Atommodell wichtige theoretischen Grundlagen für die Atomphysik. Mit dem Korrespondenzprinzip und dem Komplementaritätsprinzip entwickelte er wesentliche erkenntnistheoretische Positionen der modernen Physik.

Bohrsches Atommodell

Der dänische Physiker NIELS BOHR (1885-1962) entwickelte 1913 das von dem britischen Physiker ERNEST RUTHERFORD (1871-1937) im Jahre 1911 angegebene Atommodell weiter, wobei er das Kern-Hülle-Modell mit Quantenvorstellungen verband. Bohr formulierte für sein Atommodell, das man als bohrsches Atommodell bezeichnet, einige grundlegende Postulate. Ein Vorteil dieses Atommodells war, dass man mit ihm die Emission und Absorption von Strahlung erklären konnte. Für Wasserstoff konnten auch die Spektrallinien berechnet werden. Entscheidende Nachteile waren, dass es bei anderen Atomen als Wasserstoff versagt und im Widerspruch zu quantenphysikalischen Erkenntnissen von der Vorstellung bestimmter Bahnen der Elektronen ausgeht.

James Chadwick

* 20.10.1891 in Manchester
† 23.07.1974 in Pinehurst bei Cambridge

JAMES CHADWICK war ein englischer Physiker. Er forschte gemeinsam mit RUTHERFORD über Radioaktivität und Kernumwandlung. 1932 entdeckte er das von RUTHERFORD bereits 1921 vorhergesagte Neutron. 1935 erhielt er dafür Nobelpreis für Physik. CHADWICK war an der Entwicklung der amerikanischen Atombombe beteiligt.

Marie und Pierre Curie

Curie, Marie, geb. Marya Sklodowska
* 07.11.1867 in Warschau
† 04.07.1934 in Sancellemoz (Frankreich)

Sie war eine französische Physikerin polnischer Herkunft, entdeckte zusammen mit ihrem Mann die Radioaktivität und einige radioaktive Elemente und untersuchte sie intensiv.

Curie, Pierre
* 15.05.1859 in Paris
† 19.04.1906 in Paris

Er war ein französischer Physiker, der zusammen mit seiner Frau die Radioaktivität und einige radioaktive Elemente untersuchte.