Bewegungen, Nacheinanderausführen

Die Nacheinanderausführung zweier Bewegungen ist wieder eine Bewegung.

Die Nacheinanderausführung zweier Verschiebungen ist wieder eine Verschiebung. Der zugehörige Verschiebungspfeil ergibt sich durch Aneinanderabtragen aus den beiden Verschiebungspfeilen.

Die Nacheinanderausführung zweier Drehungen um das gleiche Drehzentrum ist wieder eine Drehung um dieses Drehzentrum. Der zugehörige Drehwinkel ist dabei die Summe der Drehwinkel der Einzeldrehungen.

Die Nacheinanderausführung zweier Spiegelungen an einander im Punkt S schneidenden Geraden g und h ist eine Drehung um S. Der Drehwinkel beträgt das Doppelte des Winkels, unter dem beide Geraden einander schneiden.

Die Nacheinanderausführung zweier Spiegelungen an zueinander parallelen Geraden g und h ist eine Verschiebung senkrecht zu den beiden Geraden.
Die Verschiebungsweite beträgt das Doppelte des Abstandes der beiden Geraden.
Die Nacheinanderausführung einer Spiegelung an einer Geraden g und einer Verschiebung längs der Geraden g nennt man auch Schub- oder Gleitspiegelung.

Jede Verschiebung, jede Drehung und jede Punktspiegelung lässt sich als Nacheinanderausführung von zwei geeignet gewählten Geradenspiegelungen darstellen (Zweispiegelungssatz).

Allgemein kann jede Bewegung als eine beliebige Folge von Drehungen, Spiegelungen und Verschiebungen angesehen werden.

Weil jede Verschiebung und jede Drehung auf die Nacheinanderausführung zweier Spiegelungen zurückgeführt werden kann, ist es möglich, jede Bewegung als Nacheinanderausführung mehrerer Geradenspiegelungen darzustellen:

Jede beliebige Bewegung lässt sich als Nacheinanderausführung von höchstens drei Geradenspiegelungen darstellen (Dreispiegelungssatz).