Eulersche Zahl

Die eulersche Zahl e mit
e=2,718281828459045235360287471352...
ist eine für die Wissenschaft und insbesondere für die Mathematik wichtige Zahl. Sie liegt vielen Wachstums- bzw. Zerfallsprozessen in der Natur zugrunde. Beispiele dafür sind etwa die Vermehrung einer Bakterienkolonie bzw. der radioaktive Zerfall. Die Zahl e ist „Basis des natürlichen Logarithmus“.

Die Bezeichnung mit dem Buchstaben e geht auf LEONHARD EULER (1707 bis 1783) zurück.

Unter allen möglichen Basen für Exponentialfunktionen spielt die mit dem Buchstaben e (der eulerschen Zahl) bezeichnete eine besondere Rolle. Da jeder Taschenrechner eine Funktionstaste für diese Basis enthält, soll diese merkwürdige Zahl kurz erläutert werden:
e ist die Zahl, die sich (näherungsweise) ergibt, wenn man die Terme (1+1n)n bzw. (1+1n)n+1 für zunehmend größer werdende Werte von n berechnet (man sagt auch: „wenn n gegen unendlich geht“).

Bereits mit dem Taschenrechner kann man sich den Prozess der „Annäherung“ klarmachen, wie folgende Tabelle zeigt:


n
(n-te Näherung)
(1+1n)n (1+1n)n+1
1 2,00000000 4,00000000
5 2,48832000 2,98598400
10 2,59374246 2,85311671
50 2,69158803 2,74541979
100 2,70481383 2,73186197
500 2,71556852 2,72099966
1000 2,71692393 2,71964086
5000 2,71801005 2,71855365
10000 2,71814593 2,71841774


Die eulersche Zahl ist wie π eine transzendente Zahl. Auf dem Taschenrechner kann man sich diese Zahl anzeigen lassen, indem man die erste Potenz von e angeben lässt:

1 - Funktionsumschalttaste (F bzw. SHIFT) – Taste ln – Taste 1 – Taste =

Eine schnelle Iteration (Näherung) ist durch folgende Summation möglich:
e=1+11+112+1123+11234+112345+...

Analog wie es eine Zahl a gibt, um eine positive Zahl z durch 10adarzustellen, nämlich den dekadischen Logarithmus von a, so gibt es auch eine Zahl b, den natürlichen Logarithmus von b, um z durch eb darzustellen. Diese Exponenten sind ebenfalls tabelliert. Heute kann man sie auf jedem Taschenrechner ablesen. Für wissenschaftliche Arbeiten bringt es – auch wenn es ein Anfänger in der Mathematik kaum glauben kann – Vorteile, die Basis e statt der Basis 10 zu verwenden.

Anmerkung: Wer tiefer in die Mathematik eindringen will, der steuere das Verständnis folgender schon LEONHARD EULER bekannter Beziehung an:
e2π1=e2πi=1

Leonhard Euler (1707 bis 1783)
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