Georg Cantor

Zu einigen Lebensdaten

GEORG CANTOR wurde am 3. März 1845 in St. Petersburg geboren und besuchte dort auch die Schule. Sein Vater war Kaufmann und durch seine Geschäftstüchtigkeit wohlhabend geworden. 1856 übersiedelte die Familie nach Mainz, wo GEORG CANTOR an der Höheren Gewerbeschule in Darmstadt sein Abitur ablegte. Er zeigte besonderes Interesse für das Fach Mathematik und erzielte darin hervorragende Leistungen. So gab der Vater nach anfänglichem Zögern seine Einwilligung zu einem Mathematikstudium, das der Sohn in Zürich begann und später in Berlin fortsetzte. 1867 promovierte CANTOR mit einer Arbeit über Zahlentheorie und erreichte 1868 den Abschluss als Lehrer für höhere Lehranstalten. Kurzzeitig unterrichtete er an einem Berliner Gymnasium, doch strebte er von vornherein eine Professur an einer Universität an. 1869 erreichte er wiederum mit einer Arbeit über Zahlentheorie seine Habilitation an der Universität von Halle und wurde dort 1879 Ordinarius für Mathematik.

CANTORs Beitrag zur Entwicklung der Mengenlehre

Seine Beschäftigung mit trigonometrischen Reihen führte CANTOR zu dem Problem des Unendlichen. 1874 veröffentlichte er eine erste Abhandlung über die von ihm begründete Mengenlehre. Dabei schuf er die dazu gehörigen Begriffe wie z. B. Element, Teilmenge oder Mächtigkeit so wie auch die Symbole wie z. B. $\left\{\right\},\in ,\varnothing ,\cap$. Für den Begriff M enge selbst entschied er sich in einer 1895 erschienenen Abhandlung für folgende Erklärung:

Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (...) zu einem Ganzen.

Da damit als Element von Mengen nicht nur Zahlen sondern auch andere mathematische Objekte (z. B. Punkte, Flächen und die Menge selbst) in Frage kamen, bildete die Mengenlehre gleichsam ein gemeinsames Dach über den verschiedenen Teildisziplinen.

CANTOR legte dabei auch Operationen mit Mengen fest (z. B. Vereinigung und Durchschnitt von Mengen) und suchte nach Maßstäben für den Vergleich von Mengen. Dafür schuf er den Begriff der Mächtigkeit. Dieser bereitet bei endlichen Mengen keine Schwierigkeit. Von zwei solchen Mengen hat diejenige die größere Mächtigkeit, die mehr Elemente enthält, und Mengen mit gleich vielen Elementen sind gleichmächtig. Unendliche Mengen, legte CANTOR fest, sollten gleichmächtig sein, wenn es zwischen ihnen eine eindeutige Zuordnung der jeweiligen Elemente gäbe. Das führte zu überraschenden Folgerungen. Eine solche Zuordnung besteht ja z. B. zwischen der Menge der natürlichen Zahlen und der Menge der geraden Zahlen (kürzbare Brüche sind weggelassen):

Somit waren diese Mengen gleichmächtig, obwohl die eine eine echte Teilmenge der anderen war. CANTOR nannte solche Mengen (also die zur Menge der natürlichen Zahlen gleichmächtigen) abzählbar unendlich.

Er konnte nun zeigen, dass die echten Brüche zwischen 0 und 1 (einschließlich 0) abzählbar sind:

Anschließend schuf CANTOR sein berühmtes Diagonalverfahren, mit dem er zeigte, dass auch alle positiven rationalen Zahlen abzählbar sind. Anderseits bewies er, dass die Menge der reellen Zahlen nicht abzählbar ist, und nannte deren Mächtigkeit das Kontinuum. So schuf er gewissermaßen Stufen des Unendlichen. Es ergab sich die Frage, ob noch weitere Stufen festzulegen wären. Da nämlich die Menge aller Teilmengen, die man aus einer Menge M bilden kann, eine höhere Mächtigkeit besitzt als die Menge M selbst, ergab sich erneut ein unendlicher Prozess.

Auch im geometrischen Bereich gab es verblüffende Resultate. So zeigte CANTOR zum Beispiel, dass die Menge aller Punkte einer Strecke AB gleichmächtig ist zur Menge der Punkte der Trägergeraden.

Zur Wertschätzung der wissenschaftlichen Leistungen CANTORs

CANTOR selbst war von den Ergebnissen seines Denkens überrascht. Ich sehe es, aber ich glaube es nicht! Das schrieb er 1877 seinem Freund DEDEKIND. So war es auch nicht verwunderlich, dass andere seiner Betrachtungsweise nicht folgen konnten und er von vielen Seiten angezweifelt wurde. Besonders der Berliner Mathematiker KRONECKER griff ihn an und wusste auch zu verhindern, dass CANTORs Bestreben, eine Professur in Berlin zu erhalten, scheiterte. So war CANTOR, da ihm in Halle gleichrangige Gesprächspartner fehlten, auf brieflichen Erfahrungsaustausch angewiesen und begegnete vielerorts Unverständnis, musste seine Forschungsergebnisse immer wieder verteidigen. Diese Isolation förderte die Labilität seines Nervensystems, und er erlitt 1884 einen Nervenzusammenbruch, dem nach Phasen der Besserung wieder Depressionen folgten. Erst 1913 wurde er von seiner Lehrtätigkeit entlastet. Zu dieser Zeit hatten sich allerdings im In- und Ausland seine Gedanken schon durchgesetzt und Anerkennung gefunden. Zu seinem 70. Geburtstag 1915 versammelten sich ungeachtet des herrschenden Krieges viele Fachkollegen in Halle und würdigten sein Werk. Am 6. Januar 1918 starb CANTOR in Halle und wurde dort beigesetzt. An ihn erinnert eine Marmorbüste in der Hallenser Universität, und sein Wirken hat HILBERT mit dem Satz gewürdigt: Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen hat, soll uns niemand wieder vertreiben können.