Quadratische Funktionen, Graphen

Der Graph einer quadratischen Funktion mit der Gleichung $y = f (x) = a x^{2} + b x + c$ ist für a = 1 eine (ggf. verschobene) Normalparabel.
Für $a \neq 1$ erhalten wir als Graph im Vergleich zum Graphen von $y = f (x) = x^{2} + b x + c$ eine (in y-Richtung) gestreckte bzw. gestauchte und gegebenenfalls an der x-Achse gespiegelte Parabel.

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Der Graph einer quadratischen Funktion mit der Gleichung $y = f (x) = a x^{2} + b x + c$ ist für a = 1 eine (ggf. verschobene) Normalparabel.

Für $a \neq 1$ erhalten wir als Graphen im Vergleich zum Graphen von $y = f (x) = x^{2} + b x + c$ eine (in y-Richtung) gestreckte bzw. gestauchte und gegebenenfalls an der x-Achse gespiegelte Parabel:

$a > 1$	Parabel ist gestreckt.
$0 < a < 1$	Parabel ist gestaucht.
$- 1 < a < 1$	Parabel ist gestaucht und an der x-Achse gespiegelt.
$a < - 1$	Parabel ist gestreckt und an der x-Achse gespiegelt.

Die Parabel mit der Gleichung $y = f (x) = a x^{2}$ besitzt wie die Normalparabel den Scheitelpunkt $S (0; 0)$ .
Um die Scheitelpunktskoordinaten einer Parabel mit der Gleichung $y = f (x) = a x^{2} + b x + c$ mit $a \neq 1$ zu ermitteln, formen wir folgendermaßen um:
$\begin{matrix} a x^{2} + b x + c = a (x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}) \\ = a [(x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2}) + (- {(\frac{b}{2 a})}^{2} + \frac{c}{a})] \\ = a [{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a^{2}} + \frac{c}{a}] \\ = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a} + c \\ = a {(x^{2} + \frac{b}{2 a})}^{2} + \frac{4 a c - b^{2}}{4 a} \end{matrix}$

Der Scheitelpunkt hat also die folgenden Koordinaten:
$S (- \frac{b}{2 a}; \frac{4 a c - b^{2}}{4 a})$

Beispiel 1: Graphen von $y = f (x) = a x^{2}$ für verschiedene Werte von a (Bild 1).

x	– 2	–1	1	2
$y = f_{1} (x) = x^{2}$	4	1	1	4
$y = f_{2} (x) = 2 x^{2}$	8	2	2	8
$y = f_{3} (x) = \frac{1}{2} x^{2}$	2	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	2
$y = f_{4} (x) = - \frac{1}{2} x^{2}$	– 2	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{1}{2}$	– 2
$y = f_{5} (x) = - 2 x^{2}$	– 8	– 1	– 1	– 8

Beispiel 2: Graphen von $y = f (x) = a x^{2} + b x + c$ für verschiedene Werte von a (Bild 2).

$\begin{array}{l} • y = f_{1} (x) = 2 x^{2} - 4 x = 2 [{(x - 1)}^{2} - 1] = 2 {(x - 1)}^{2} - 2 \\ \Rightarrow S (1; - 2) \end{array}$
$\begin{array}{l} • y = f_{2} (x) = - 2 x^{2} + 4 x = - 2 [{(x - 1)}^{2} - 1] = - 2 {(x - 1)}^{2} + 2 \\ \Rightarrow S (1; 2) \end{array}$
$\begin{array}{l} • y = f_{3} (x) = \frac{1}{2} x^{2} - x = \frac{1}{2} [{(x - 1)}^{2} - 1] = \frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} - \frac{1}{2} \\ \Rightarrow S (1; - \frac{1}{2}) \end{array}$

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Quadratische Funktionen, Graphen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/quadratische-funktionen-graphen (Abgerufen: 24. October 2025, 22:02 UTC)

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