Quadratische Funktionen, Graphen

Der Graph einer quadratischen Funktion mit der Gleichung y = f ( x ) = a x 2 + b x + c ist für a = 1 eine (ggf. verschobene) Normalparabel.

Für a 1 erhalten wir als Graphen im Vergleich zum Graphen von y = f ( x ) = x 2 + b x + c eine (in y-Richtung) gestreckte bzw. gestauchte und gegebenenfalls an der x-Achse gespiegelte Parabel:
 

a > 1 Parabel ist gestreckt.
0 < a < 1 Parabel ist gestaucht.
1 < a < 1 Parabel ist gestaucht und an der x-Achse gespiegelt.
a < 1 Parabel ist gestreckt und an der x-Achse gespiegelt.


Die Parabel mit der Gleichung y = f ( x ) = a x 2 besitzt wie die Normalparabel den Scheitelpunkt S ( 0 ; 0 ) .
Um die Scheitelpunktskoordinaten einer Parabel mit der Gleichung y = f ( x ) = a x 2 + b x + c mit a 1 zu ermitteln, formen wir folgendermaßen um:
a x 2 + b x + c = a ( x 2 + b a x + c a ) = a [ ( x 2 + b a x + ( b 2 a ) 2 ) + ( ( b 2 a ) 2 + c a ) ] = a [ ( x + b 2 a ) 2 b 2 4 a 2 + c a ] = a ( x + b 2 a ) 2 b 2 4 a + c = a ( x 2 + b 2 a ) 2 + 4 a c b 2 4 a

Der Scheitelpunkt hat also die folgenden Koordinaten:
     S ( b 2 a ; 4 a c b 2 4 a )

Beispiel 1: Graphen von y = f ( x ) = a x 2 für verschiedene Werte von a (Bild 1).
 

x– 2–1012
y = f 1 ( x ) = x 2 41014
y = f 2 ( x ) = 2 x 2 82028
y = f 3 ( x ) = 1 2 x 2 2 1 2 0 1 2 2
y = f 4 ( x ) = 1 2 x 2 – 2 1 2 0 1 2 – 2
y = f 5 ( x ) = 2 x 2 – 8– 10– 1– 8
Graphen quadratischer Funktionen durch den Koordinatenursprung

Graphen quadratischer Funktionen durch den Koordinatenursprung

Beispiel 2: Graphen von y = f ( x ) = a x 2 + b x + c für verschiedene Werte von a (Bild 2).

y = f 1 ( x ) = 2 x 2 4 x = 2 [ ( x 1 ) 2 1 ] = 2 ( x 1 ) 2 2 S ( 1 ; 2 )
y = f 2 ( x ) = 2 x 2 + 4 x = 2 [ ( x 1 ) 2 1 ] = 2 ( x 1 ) 2 + 2 S ( 1 ; 2 )
y = f 3 ( x ) = 1 2 x 2 x = 1 2 [ ( x 1 ) 2 1 ] = 1 2 ( x 1 ) 2 1 2 S ( 1 ; 1 2 )

Streckung, Stauchung bzw. Spiegelung von Graphen quadratischer Funktionen

Streckung, Stauchung bzw. Spiegelung von Graphen quadratischer Funktionen

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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