Quadratische Funktionen, Graphen

Der Graph einer quadratischen Funktion mit der Gleichung y = f   ( x ) = a x 2 + b x + c ist für a = 1 eine (ggf. verschobene) Normalparabel.
Für a ≠ 1 erhalten wir als Graph im Vergleich zum Graphen von y = f   ( x ) = x 2 + b x + c eine (in y-Richtung) gestreckte bzw. gestauchte und gegebenenfalls an der x-Achse gespiegelte Parabel.

Der Graph einer quadratischen Funktion mit der Gleichung y = f   ( x ) = a x 2 + b x + c ist für a = 1 eine (ggf. verschobene) Normalparabel.

Für a ≠ 1 erhalten wir als Graphen im Vergleich zum Graphen von y = f   ( x ) = x 2 + b x + c eine (in y-Richtung) gestreckte bzw. gestauchte und gegebenenfalls an der x-Achse gespiegelte Parabel:
 

a > 1 Parabel ist gestreckt.
0 < a < 1 Parabel ist gestaucht.
−   1 < a < 1 Parabel ist gestaucht und an der x-Achse gespiegelt.
a < −   1 Parabel ist gestreckt und an der x-Achse gespiegelt.


Die Parabel mit der Gleichung y = f   ( x ) = a x 2 besitzt wie die Normalparabel den Scheitelpunkt S   ( 0 ;   0 ) .
Um die Scheitelpunktskoordinaten einer Parabel mit der Gleichung y = f   ( x ) = a x 2 + b x + c mit a ≠ 1 zu ermitteln, formen wir folgendermaßen um:
  a x 2 + b x + c = a   ( x 2 + b a x + c a ) = a   [ ( x 2 + b a x + ( b 2 a ) 2 ) + ( −   ( b 2 a ) 2 + c a ) ] = a   [ ( x + b 2 a ) 2 − b 2 4 a 2 + c a ] = a   ( x + b 2 a ) 2 − b 2 4 a + c = a   ( x 2 + b 2 a ) 2 + 4 a c − b 2 4 a

Der Scheitelpunkt hat also die folgenden Koordinaten:
     S   ( − b 2 a ;   4 a c − b 2 4 a )

Beispiel 1: Graphen von y = f   ( x ) = a x 2 für verschiedene Werte von a (Bild 1).
 

x– 2–1012
y = f 1   ( x ) = x 2 41014
y = f 2   ( x ) = 2 x 2 82028
y = f 3   ( x ) = 1 2 x 2 2 1 2 0 1 2 2
y = f 4   ( x ) = −     1 2 x 2 – 2 −   1 2 0 −   1 2 – 2
y = f 5   ( x ) = −     2 x 2 – 8– 10– 1– 8
Graphen quadratischer Funktionen durch den Koordinatenursprung

Graphen quadratischer Funktionen durch den Koordinatenursprung

Beispiel 2: Graphen von y = f   ( x ) = a x 2 + b x + c für verschiedene Werte von a (Bild 2).

•     y = f 1   ( x ) = 2 x 2 − 4 x = 2 [ ( x − 1 ) 2 − 1 ] = 2   ( x − 1 ) 2 − 2   ⇒   S ( 1 ;   − 2 )
•     y = f 2   ( x ) = −   2 x 2 + 4 x = −   2 [ ( x − 1 ) 2 − 1 ] = −   2   ( x − 1 ) 2 + 2   ⇒   S ( 1 ;   2 )
•     y = f 3   ( x ) = 1 2 x 2 − x = 1 2 [ ( x − 1 ) 2 − 1 ] = 1 2   ( x − 1 ) 2 − 1 2   ⇒   S ( 1 ;   − 1 2 )

Streckung, Stauchung bzw. Spiegelung von Graphen quadratischer Funktionen

Streckung, Stauchung bzw. Spiegelung von Graphen quadratischer Funktionen

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