Sinussatz

Der Sinussatz verbindet gegenüberliegende Größen (Seiten und Winkel) im allgemeinen Dreieck. Sind zwei einander gegenüberliegende Größen gegeben, so kann zu einer dritten die gegenüberliegende Größe berechnet werden. Der Sinussatz gehört neben dem Kosinussatz zu den wichtigsten Sätzen der Trigonometrie.

In jedem Dreieck verhalten sich die Längen zweier Seiten wie die
Sinuswerte der gegenüberliegenden Winkel:
a : b : c = sin $\alpha$ : sin $\beta$ : sin $\gamma$ oder $\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }$

Beweis
1. Fall (spitzwinkliges Dreieck, Bild 2):
Es gilt:
$\sin \beta =\frac{h{}_c}{a}und\sin \alpha =\frac{h_c}{b}$
$h{}_c=a\cdot \sin \beta undh{}_c=b\cdot \sin \alpha$
Daraus folgt:
a · sin$\beta$ = b · sin$\alpha$ bzw. a : b = sin$\alpha$ : sin$\beta$

2. Fall (rechtwinkliges Dreieck, Bild 3):
Es gilt:
$h{}_c$= a · sin$\beta$ und $h{}_c$ = b
Da $\sin \alpha =\mathrm{1,}ist{h}_c=b\cdot \sin \alpha .$
Daraus folgt:
a · sin$\beta$ = b · sin$\alpha$ bzw. a : b = sin$\alpha$ : sin$\beta$

3. Fall (stumpfwinkliges Dreieck, Bild 4):
Es gilt:
sin $\delta$ = sin (180° - $\alpha$ ) = sin$\alpha$ = $h{}_c$ : b und sin$\beta$ = $h{}_c$ : a
Daraus folgt: $\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }=\frac{a}{b}$bzw. a : b = sin$\alpha$ : sin$\beta$