Sinussatz

Der Sinussatz verbindet gegenüberliegende Größen (Seiten und Winkel) im allgemeinen Dreieck. Sind zwei einander gegenüberliegende Größen gegeben, so kann zu einer dritten die gegenüberliegende Größe berechnet werden. Der Sinussatz gehört neben dem Kosinussatz zu den wichtigsten Sätzen der Trigonometrie.

In jedem Dreieck verhalten sich die Längen zweier Seiten wie die
Sinuswerte der gegenüberliegenden Winkel:
a : b : c = sin α : sin β : sin γ oder a sin α = b sin β = c sin γ

Sinussatz

Sinussatz

Beweis
1. Fall (spitzwinkliges Dreieck, Bild 2):
Es gilt:
sin β = h c a u n d sin α = h c b
h c = a sin β u n d h c = b sin α
Daraus folgt:
a · sin β = b · sin α bzw. a : b = sin α : sin β

Sinussatz im spitzwinkligen Dreieck

Sinussatz im spitzwinkligen Dreieck

2. Fall (rechtwinkliges Dreieck, Bild 3):
Es gilt:
h c = a · sin β und h c = b
Da sin α = 1, i s t h c = b sin α .
Daraus folgt:
a · sin β = b · sin α bzw. a : b = sin α : sin β

Sinussatz im rechtwinkligen Dreieck

Sinussatz im rechtwinkligen Dreieck

3. Fall (stumpfwinkliges Dreieck, Bild 4):
Es gilt:
sin δ = sin (180° - α ) = sin α = h c : b und sin β = h c : a
Daraus folgt: sin α sin β = a b bzw. a : b = sin α : sin β

Sinussatz im stumpfwinkligen Dreieck

Sinussatz im stumpfwinkligen Dreieck

Stand: 2010
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