Sinussatz

Der Sinussatz verbindet gegenüberliegende Größen (Seiten und Winkel) im allgemeinen Dreieck. Sind zwei einander gegenüberliegende Größen gegeben, so kann zu einer dritten die gegenüberliegende Größe berechnet werden. Der Sinussatz gehört neben dem Kosinussatz zu den wichtigsten Sätzen der Trigonometrie.

In jedem Dreieck verhalten sich die Längen zweier Seiten wie die
Sinuswerte der gegenüberliegenden Winkel:
a : b : c = sin α : sin β : sin γ oder asinα=bsinβ=csinγ

Sinussatz

Sinussatz

Beweis
1. Fall (spitzwinkliges Dreieck, Bild 2):
Es gilt:
sinβ=hcaundsinα=hcb
hc=asinβundhc=bsinα
Daraus folgt:
a · sinβ = b · sinα bzw. a : b = sinα : sinβ

Sinussatz im spitzwinkligen Dreieck

Sinussatz im spitzwinkligen Dreieck

2. Fall (rechtwinkliges Dreieck, Bild 3):
Es gilt:
hc= a · sinβ und hc = b
Da sinα=1,isthc=bsinα.
Daraus folgt:
a · sinβ = b · sinα bzw. a : b = sinα : sinβ

Sinussatz im rechtwinkligen Dreieck

Sinussatz im rechtwinkligen Dreieck

3. Fall (stumpfwinkliges Dreieck, Bild 4):
Es gilt:
sin δ = sin (180° - α ) = sinα = hc : b und sinβ = hc : a
Daraus folgt: sinαsinβ=abbzw. a : b = sinα : sinβ

Sinussatz im stumpfwinkligen Dreieck

Sinussatz im stumpfwinkligen Dreieck

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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