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Die elektrische Spannung

Neben vielen anderen Anwendungen ist die Mathematik in der Physik für die Definition physikalischer Größen bedeutsam. Im Folgenden wird die Arbeit im radialsymmetrischen elektrischen Feld berechnet, woraus dann weitere Größen gewonnen werden.

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Integration durch Partialbruchzerlegung

Lässt sich bei der Integration gebrochenrationaler Funktionen der Funktionsterm nicht durch eine einfache Division in eine Summe umwandeln, so kann die Integration durch Partialbruchzerlegung angewendet werden.

Ist der Integrand eine unecht gebrochenrationale Funktion, so wird diese zunächst durch Partialdivision in eine ganzrationale Funktion und eine echt gebrochenrationale Funktion zerlegt.

Den echt gebrochenrationalen Anteil schreibt man dann mittels Partialbruchzerlegung als eine Summe einfacher Teilbrüche.

Der Lösungsansatz für die Partialbruchzerlegung ist hierbei davon abhängig, ob die Funktion im Nenner einfache oder mehrfache, reelle oder komplexe Nullstellen hat.

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Integration durch lineare Substitution

Während beim Differenzieren elementarer Funktionen wieder elementare Funktionen entstehen, gibt es zahlreiche elementare Funktionen, deren unbestimmte Integrale sich nicht durch elementare Funktionen ausdrücken lassen.
Scheinbar geringfügige Veränderungen im Funktionsterm erfordern u.U. völlig andere Lösungswege oder führen zu nicht mehr elementar integrierbaren Funktionen.

Als Beispiele seien die Funktionen f ( x ) = x   ⋅   sin   x         u n d         g ( x ) = x sin   x genannt:
Während die Funktion f mit der Methode der partiellen Integration elementar integrierbar ist, kann man das Integral der Funktion g nicht mit elementaren Mitteln berechnen. Ähnlich verhalten sich die Funktionen f ( x ) = x   ⋅   e x         u n d         g ( x ) = e x x .

Bei der Integration von Produkten von Funktionen oder von verketteten Funktionen findet häufig die Substitutionsmethode Anwendung.

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Integration durch nichtlineare Substitution

Ist im Integranden eines Integrals eine verkettete Funktion und außerdem noch die Ableitungsfunktion der inneren Funktion als Faktor vorhanden, so kann die Integration durch nichtlineare Substitution erfolgen.

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Partielle Integration

Im Unterschied zur Integration einer Summe von Funktionen, für die es eine einfache Integrationsregel (Summenregel) gibt, gestaltet sich das Integrieren eines Produktes von Funktionen weitaus schwieriger.
In einigen Fälle führt die Integration durch Substitution zum Ziel, doch in vielen Fällen kann man keine geeignete Substitution angeben.
Eine einfache Umkehrung der Differenziationregel für Produkte von Funktionen ist nicht möglich, jedoch bietet diese Regel den Zugang zu einem speziellen Integrationsverfahren, das auf der Produktregel der Differenzialrechnung fußt.
Es gilt die folgende Regel der partiellen Integration.

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Bundespräsidenten als Identitäts- und Integrationsfiguren

Der Bundespräsident repräsentiert als Staatsoberhaupt der Bundesrepublik Deutschland die Einheit des Staates nach innen und außen. Er vertritt die Bundesregierung völkerrechtlich. Der Bundespräsident wirkt an der Regierung mit, allerdings nur mit geringen politischen Kompetenzen. Seine Amtshandlungen müssen vom Kanzler oder von Fachministern gegengezeichnet werden. Er erhält besonderes politisches Gewicht in Krisen zwischen Regierung und Parlament. Er kann dann den Bundestag auflösen.

Bundespräsidenten sind Integrationsfiguren, die sich den jeweiligen gesellschaftlichen Zeitproblemen stellen, diese benennen und in einen gesellschaftlich-moralischen Zusammenhang bringen. Die bisherigen Präsidenten setzten sich häufig für Minderheiten ein und wählten zudem als Schwerpunkt ihrer Amtsführung wechselweise einen innenpolitischen, dann wieder einen außenpolitischen Aspekt.

Bundespräsidenten üben symbolische Politik aus und erreichen damit viele Menschen, denn in pluralistischen und orientierungsschwachen modernen Gesellschaften übernehmen Symbole Leitbildfunktion und Standortbestimmung. Bundespräsidenten ordnen, wo Unübersichtlichkeit herrscht, übernehmen eine Vorbildfunktion und tragen zur „öffentlich ausgetragenen ethisch-politischen Selbstverständigung“ (JÜRGEN HABERMAS 1992) bei.

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AGIL-Schema

Das AGIL-Schema enthält die Grundfunktionen eines Sozialsystems. Im Anschluss an EMILE DURKHEIM (1858–1917), MAX WEBER (1864–1920) und SIGMUND FREUD (1856–1939) entwickelte TALCOTT PARSONS (1902–1979) seit den 1930er-Jahren eine allgemeine Theorie sozialer Systeme. Dies sind offene Systeme, die im Austausch mit der Umwelt stehen. So wie Sozialsysteme ist auch jede Person (Persönlichkeitssystem) begründet und gekennzeichnet durch Handlungen (Handlungssystem).

Moderne Gesellschaften sind komplex. Sie setzen sich aus vielen Subsystemen zusammen, so aus den vier primären Subsystemen Gesellschaft, Politik, Kultur und Wirtschaft.

Das Gesamtsystem eines Landes, jedes seiner Subsysteme, jeder Handelnde muss vier Hauptaufgaben erfüllen, um Bestand und Entwicklungsmöglichkeit zu sichern:

  • Anpassung,
  • Zielorientierung und Verwirklichung,
  • Integration,
  • Strukturaufbau und -wandel.
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Europäische Währungsunion

Als Europäische Wirtschafts- und Währungsunion wird eine Vereinbarung zwischen den Mitgliedstaaten der Europäischen Union bezeichnet, sich ab dem 1. Juli 1990 durch die Umsetzung bestimmter wirtschafts- und währungspolitischer Regelungen in einem dreistufigen Prozess enger aneinander zu binden. Das Hauptziel der EWWU-Regelungen ist die Ergänzung des Europäischen Binnenmarkts durch eine gemeinsame Währung mit hoher Preisniveaustabilität.

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Konzepte und Regelungen der Integration

Die Bundesrepublik Deutschland ist faktisch ein Einwanderungsland. Dadurch ist die Integration (Eingliederung) der Migranten (Zuwanderer) in die Mehrheitsgesellschaft zur dauerhaften Aufgabe von Staat und Gesellschaft geworden. Die Auffassungen darüber, was unter Integration zu verstehen ist, sind jedoch sehr unterschiedlich.

In der Bundesrepublik Deutschland werden zwei politische Konzepte der Integration kontrovers diskutiert. Das Konzept der Assimilation zielt auf die komplette Eingliederung von Migranten in die Aufnahmegesellschaft – vor allem über einen Angleichungsprozess ethnischer Minderheiten (durch Veränderung der Einstellungen, Werte, Verhaltensgewohnheiten). Das Konzept der „multikulturellen Integration“ verfolgt das Prinzip der „Einheit in Verschiedenheit“: Mehrheit und ethnische Minderheiten leben auf der Basis gemeinsamer Sprache, Regeln und Grundwerte (der freiheitlich-demokratischen Grundordnung) im gegenseitigen Respekt für die jeweiligen sozialen und kulturellen Besonderheiten gleichberechtigt und in Frieden miteinander. Marginalisierung (fehlende soziale Integration) und dauerhafte Segmentation (Absonderung von ethnischen Gruppen) werden in beiden Konzepten als unerwünschte Effekte und problematische Entwicklungen abgelehnt.

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