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Abschätzungen für Wahrscheinlichkeiten spielen in der Stochastik eine wichtige Rolle, und zwar sowohl bei theoretischen Untersuchungen (Grenzwertsätze) als auch bei praktischen Anwendungen, wenn z.B. nach der noch vertretbaren (hinnehmbaren) Ausschusswahrscheinlichkeit einer Produktionsanlage gefragt wird. Eine der bekanntesten Wahrscheinlichkeitsabschätzungen ist die Ungleichung von TSCHEBYSCHEW.

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung spielt das Ziehen aus einer Urne mit verschiedenfarbigen, aber ansonsten gleichen Kugeln eine besondere Rolle. Es wird als ein gedankliches Modell zur Interpretation praktischer Aufgaben (insbesondere sogenannter Standardsituationen) genutzt.

Die geometrische Verteilung ist ein Spezialfall der PASCALschen Verteilung, die ihren Namen zu Ehren BLAISE PASCALS (1623 bis 1662) erhielt.

Eine punktweise Abbildung der Ebene auf sich, die Geraden in Geraden überführt, parallele Geraden in parallele Geraden überführt und teilverhältnistreu ist, heißt affine Abbildung oder Affinität.
Beispiele für Affinitäten sind die Kongruenz- und Ähnlichkeitsabbildungen.

Einer der wichtigsten Grundbegriffe der Mathematik ist der Begriff der Menge. Unter einer Menge versteht man eine Zusammenfassung bestimmter real existierender oder gedachter Objekte aus einem vorgegebenen oder ausgewählten Grundbereich zu einem Ganzen. Die einzelnen Objekte werden Elemente der Menge genannt.

Das Zulassen aller denkbaren Zusammenfassungen als Mengen kann zu Widersprüchen führen, auf die BERTRAND RUSSELL (1872 bis 1970) aufmerksam machte und die deshalb auch russellsche Antinomien genannt werden.

* 384 v.Chr. Stageira (Makedonien)
† 322 v.Chr. Chalkis (auf Euböa)

ARISTOTELES gilt als einer der einflussreichsten Geisteswissenschaftler des alten Griechenlandes.
Er begründete bzw. beeinflusste maßgeblich zahlreiche naturwissenschaftliche Disziplinen sowie die Philosophie.

Unter einer Aussageform versteht man eine sinnvolle sprachliche Äußerung mit mindestens einer freien Variablen, die zur Aussage wird, wenn man für die freien Variablen die Namen von Objekten (Elementen) aus dem Grundbereich G einsetzt oder die freie(n) Variable(n) durch Formulierungen wie „für alle Objekte (Elemente) aus G gilt ...“ oder „es gibt Objekte (Elemente) aus G, für die gilt ...“ bindet.
Als Kurzschreibweise für eine Aussageform mit der (den) freien Variablen x oder x und y usw. wird häufig $H\left(x\right)$ bzw. $H\left(x;y\right)$ usw. verwendet.

Aussagen können negiert oder durch aussagenlogische Operationen (Konjunktion, Disjunktion, Alternative, Implikation, Äquivalenz) miteinander verknüpft werden.
Der Wahrheitswert einer negierten oder zusammengesetzten Aussage hängt dabei ausschließlich vom Wahrheitswert der Ausgangsaussage bzw. der verknüpften Teilaussagen ab.

Durch Axiomensysteme werden mathematische Begriffe mithilfe einer Reihe von einfachen Festlegungen, die man Axiome nennt, charakterisiert.
An ein mathematisches Axiomensystem werden eine Reihe von Bedingungen gestellt. So sollte es z.B. widerspruchsfrei sein.

Die Struktur des direkten Beweises besteht darin, dass aus der Voraussetzung des Satzes sowie bereits bekannten Tatsachen (Definitionen, Axiomen bzw. Sätzen) mithilfe gültiger Schlussregeln direkt die Wahrheit der Behauptung gezeigt wird.
Beim Suchen von Beweisideen können zwei Strategien helfen: das sogenannte Vorwärtsarbeiten und das sogenannte Rückwärtsarbeiten.

Die Struktur des indirekten Beweises besteht darin, dass aus der Voraussetzung, bereits bekannten Tatsachen (Definitionen und Sätzen) und dem Gegenteil der Behauptung mithilfe einer endlichen Anzahl gültiger Schlussregeln ein Widerspruch zur Voraussetzung, zu bereits bekannten Tatsachen oder zum Gegenteil der Behauptung erzeugt wird.

Betrachtet man die Mathematik als Gebäude, dann bilden Grundbegriffe und als wahr angenommene Grundaussagen (so genannte Axiome bzw. Postulate) das Fundament. Der Aufbau des Gebäudes vollzieht sich im Wesentlichen dadurch, dass ausgehend von den Grundbegriffen weitere Begriffe (sogenannte abgeleitete Begriffe) gebildet (definiert) werden sowie Zusammenhänge zwischen ihnen erkannt und in Aussagen formuliert werden. Als wahr erkannte Aussagen werden als Sätze (Lehrsätze) in das Gebäude aufgenommen und bei dessen weiterer Vervollkommnung verwendet.
Der Nachweis der Wahrheit einer Aussage, eines mathematischen Satzes, erfolgt durch einen Beweis. Man unterscheidet direkte und indirekte Beweise.

Das Verfahren der vollständigen Induktion hängt eng zusammen mit der Menge der natürlichen Zahlen bzw. mit Teilmengen natürlicher Zahlen. Es ist immer dann anwendbar, wenn man auf Aussagen trifft, die für alle natürlichen Zahlen gelten, also die die folgende Struktur aufweisen:

• Für alle natürlichen Zahlen $n(mitn\ge n_0)$ gilt $H\left(n\right)$.

* 3. März 1845 St. Petersburg
† 6. Januar 1918 Halle (Saale)

GEORG CANTOR, der über 30 Jahre Professor an der Hallenser Universität war, gilt als Begründer der (axiomatischen) Mengenlehre. Er formulierte die Begriffe Äquivalenz und Mächtigkeit von Mengen, auf die sich die von ihm geschaffene Theorie der Kardinalzahlen stützt.
Mithilfe des sogenannten Diagonalverfahrens zeigte CANTOR, dass es zwar unendlich viele rationale Zahlen gibt, man diese jedoch abzählen kann.

Eine Möglichkeit der Darstellung einer Zahlenfolge ist die Angabe einer rekursive Bildungsvorschrift.
Eine rekursive Bildungsvorschrift gibt an, wie man ein beliebiges Glied $a_{n\mathrm{}}$+1 einer Zahlenfolge aus seinem Vorgänger $a_n$ oder auch aus mehreren Vorgängern $a_n,a_{n-1}$ usw. gewinnen kann und wie das Anfangsglied $a_1$ (und ggf. auch noch darauf folgende Glieder) der Folge lautet (lauten).
Beispiel für rekursiv definierte Folgen sind die FIBONACCI-Folge und die sogenannte $\left(3n+1\right)\text{-Folge}$ (ULAM-Folge).

Die Differenzmenge $A\backslash B$ (gesprochen „A ohne B“) ist die Menge aller Elemente, die in A und nicht in B enthalten sind:

$A\backslash B=\left\{x\text{:}x\in A\wedge x\notin B\right\}$

Die Durchschnittsmenge (Schnittmenge) von A und B ($A\cap B$) ist die Menge aller Elemente, die in A und zugleich in B enthalten sind.
Man liest: „A geschnitten B“.
$A\cap B=\left\{x\text{:}x\in A\wedge x\in B\right\}$
Das Zeichen „$\wedge$“ steht für das Bindewort „und“.

* etwa 365 v.Chr.
† etwa 300 v.Chr.

EUKLID fasste in den „Elementen“ wesentliche Teile des mathematischen Wissens seiner Zeit zusammen und gründete es auf Axiome und Postulate (Axiomensystem der euklidischen Geometrie). EUKLIDS fünftes Postulat, das sogenannte Parallelenaxiom, spielte in der Geschichte der Mathematik eine besondere Rolle. Der Versuch, dieses Axioms zu beweisen, führte zu einer Gabelung in die euklidische Geometrie einerseits und in nichteuklidische Geometrien andererseits.
Bekannt sind ferner Arbeiten EUKLIDS zur geometrischen Optik.

* 08.11.1848 Wismar
† 26.07.1925 Bad Kleinen

GOTTLOB FREGE arbeitete an der Universität Jena. Er war maßgeblich an der Schaffung von Grundlagen der Logik beteiligt, wobei er an Ideen des englischen Mathematikers GEORGE BOOLE anknüpfte. FREGES Ideen wiederum waren Grundlage für GIUSEPPE PEANO und BERTRAND RUSSELL.

* 18. März 1690 Königsberg
† 20. November 1764 St. Petersburg

CHRISTIAN GOLDBACH wirkte vor allem an der Petersburger Akademie, deren ständiger Sekretär er war. Er korrespondierte mit vielen europäischen Gelehrten seiner Zeit.
Auf mathematischem Gebiet beschäftigte er sich vor allem mit der Zahlentheorie sowie mit Problemen der Reihenlehre. Auf ihn geht die goldbachsche Vermutung zurück.

Eine nichtleere Menge G von Elementen a, b, c, ... heißt Gruppe, wenn in ihr eine Operation $\circ$ erklärt ist, die folgenden Axiomen genügt:

1. Die Operation $\circ$ ist assoziativ,
   d.h. für alle Elemente $a,b,c\in G$ gilt $a\circ \left(b\circ c\right)=\left(a\circ b\right)\circ c$.
2. Die Operation $\circ$ ist umkehrbar, d.h. zu beliebigen Elementen $a,b\in G$ sind die Gleichungen $a\circ x=b$ und $y\circ a=b($ mit $x\in G$ und $y\in G)$ lösbar.

Man nennt G eine abelsche Gruppe, wenn zusätzlich noch gilt:

3. Die Operation $\circ$ ist kommutativ, d.h. für alle $a,b\in G$ gilt $a\circ b=b\circ a$.

Das Komplement $\overline{A}$ (gesprochen „A quer“) zu einer Menge A bezüglich des Grundbereichs G ist die Menge aller Objekte aus G, die nicht Elemente von A sind.
A und $\overline{A}$ sind Komplementärmengen bezüglich G.

Ein Körper ist ein kommutativer Ring, in dem die vom Nullelement verschiedenen Elemente eine Gruppe bilden, d.h., ein Körper hat ein Einselement und zu jedem Element $a\ne 0$ aus K ein inverses Element.
Beispiele für Körper sind die rationalen, die reellen und die komplexen Zahlen.
Von besonderem Interesse ist die Untersuchung von sogenannten Restklassenkörpern.

Die uns geläufige Art, physikalische Gesetze mathematisch zu formulieren, war vor 400 Jahren noch nicht bekannt. Exakte Naturwissenschaft wurde aber erst durch die Mathematik möglich. Damit eng verbunden ist die Entwicklung der Ansicht über Naturgesetze überhaupt.
Der deutsche Astronom und Mathematiker JOHANNES KEPLER (1571 bis 1630) war einer der ersten Forscher, der Naturgesetze als mathematische Gleichungen dargestellt hat und der fest an die Einfachheit und Harmonie der Natur glaubte. Eine Auffassung, dass die von ihm und anderen entdeckten Gesetze nur zeitbedingte Gültigkeit hätten, war für ihn unannehmbar. Als leidenschaftlicher Realist glaubte er, Gott habe die Welt unter Verwendung bestimmter Grundmuster geschaffen, die es auch im menschlichen Geist geben müsse. Daraus resultierte seine unerschütterliche Überzeugung, dass wir die uns umgebende Welt verstehen können.

Der nach MENELAOS VON ALEXANDRIA (um 100) benannte Satz macht eine Aussage über eine Eigenschaft einer Geraden, die die Seiten eines Dreiecks oder deren Verlängerungen schneidet. Ein Beweis des Satzes kann mithilfe der Strahlensätze erfolgen.