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Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung wird nach den Begründern der Infinitesimalrechnung häufig auch als Formel nach NEWTON-LEIBNIZ bezeichnet.
Er stellt den Zusammenhang zwischen der Differenzial- und Integralrechnung her und verbindet zwei Sachverhalte miteinander, denen völlig unterschiedliche Probleme zugrunde liegen.

Während die Differenzialrechnung in der Untersuchung des Tangentenproblems wurzelt, war die Beschäftigung mit Inhaltsproblemen Ausgangspunkt für die Entstehung der Integralrechnung.

Dabei erregte das Inhaltsproblem sehr viel früher das Interesse als die Frage danach, ob für einen beliebigen Funktionsgraphen in einem vorgegebenen Punkt die Tangente an den Graphen existiert und wie man ihre Steigung ermitteln kann.

Bereits vor der Phase der griechisch-hellenistischen Mathematik waren einfache Methoden zur Berechnung der Flächeninhalte einzelner Vielecke und der Volumina einfacher Körper bekannt – gekleidet in die Form von „Rezepten“.

* 1702 London
† 17. April 1761 Tunbridge Wells, Kent

Der mathematisch interessierte englische Geistliche THOMAS BAYES beschäftigte sich u.a. mit Fragen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik. Auf ihn geht die sogenannte bayessche Formel zum Berechnen bedingter Wahrscheinlichkeiten zurück.

* 28. März 1749 Beaumont-en-Auge
† 5. März 1827 Paris

PIERRE SIMON DE LAPLACE lieferte bedeutende Beiträge auf den Gebieten der Wahrscheinlichkeitsrechnung, der höheren Analysis sowie der Himmelsmechanik.
So fasste er beispielsweise in seinem 1812 erschienenen Werk „Théorie analytique des probabilités“ das damalige Wissen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung zusammen.

* 26. Mai 1667 Vitry (bei Paris)
† 27. November 1754 London

ABRAHAM DE MOIVRE, der als Emigrant in London lebte, gilt als einer der Pioniere der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Speziell seine Untersuchungen zu Sterblichkeits- und Rentenproblemen bildeten eine Grundlage für die Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie durch LAPLACE.

Die uns geläufige Art, physikalische Gesetze mathematisch zu formulieren, war vor 400 Jahren noch nicht bekannt. Exakte Naturwissenschaft wurde aber erst durch die Mathematik möglich. Damit eng verbunden ist die Entwicklung der Ansicht über Naturgesetze überhaupt.
Der deutsche Astronom und Mathematiker JOHANNES KEPLER (1571 bis 1630) war einer der ersten Forscher, der Naturgesetze als mathematische Gleichungen dargestellt hat und der fest an die Einfachheit und Harmonie der Natur glaubte. Eine Auffassung, dass die von ihm und anderen entdeckten Gesetze nur zeitbedingte Gültigkeit hätten, war für ihn unannehmbar. Als leidenschaftlicher Realist glaubte er, Gott habe die Welt unter Verwendung bestimmter Grundmuster geschaffen, die es auch im menschlichen Geist geben müsse. Daraus resultierte seine unerschütterliche Überzeugung, dass wir die uns umgebende Welt verstehen können.

Höhere Ableitungen einer Funktion f gestatten Rückschlüsse auf den Verlauf des Funktionsgraphen.
Ein Beispiel praktischer Anwendung höherer Ableitungen stellt die Untersuchung von Bewegungsabläufen in der Physik (etwa der Anfahrfunktion eines Kraftfahrzeuges) dar. Geschwindigkeit und Beschleunigung sind hier als erste bzw. zweite Ableitung des Weges nach der Zeit definiert.

Die Analysis (oder auch Infinitesimalrechnung) beschäftigt sich im Wesentlichen mit der Differenzial- und Integralrechnung.
Ausgangspunkt für die Integralrechnung war das schon in der Antike betrachtete Problem der Bestimmung des Inhalts von Flächen und Körpern, wie etwa von Rotationskörpern.
Die Differenzialrechnung hat ihre Wurzeln dagegen im Tangentenproblem, mit dem sich Mathematiker im 17. Jahrhundert intensiver beschäftigten.
Im 18. Jahrhundert wurde der Zusammenhang zwischen dem Differenzieren und Integrieren erkannt und im Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung formuliert. Hierzu trugen wesentlich ISAAC NEWTON und GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ bei.

* 6. August 1667 (27. Juli 1667) Basel
† 1. Januar 1748 Basel

JOHANN BERNOULLI trug wesentlich zur Herausbildung moderner Auffassungen zur Infinitesimalrechnung und deren Verbreitung in Europa bei. Gemeinsam mit seinem älteren Bruder JAKOB und in Korrespondenz mit GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ entwickelte er den sogenannten „Leibnizschen Calculus“ weiter, der Begriff Integralrechnung geht auf ihn zurück.
Intensiv beschäftigte sich JOHANN BERNOULLI mit Anwendungen der Infinitesimalrechung auf physikalische und technische Probleme, zum Beispiel untersuchte er das Verhalten strömender Flüssigkeiten.

* 25. Januar 1736 Turin
† 10. April 1813 Paris

JOSEPH LOUIS LAGRANGE hatte entscheidenden Anteil an den in der zweiten Hälfte des 18. Jahrhunderts bzw. zu Beginn des 19. Jahrhunderts erzielten Fortschritten auf den Gebieten der Analysis bzw. der Mechanik (insbesondere der Himmelsmechanik).
LAGRANGE entwickelte u.a. erste allgemeine Methoden der Variationsrechnung und begründete auf analytischem Wege die Bewegungsgleichungen der Mechanik. Sein wohl bedeutendstes Werk ist die „Mécanique analytique“ (Analytische Mechanik).

* 1. Juli 1646 Leipzig
† 14. November 1716 Hannover

GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ war einer der letzen Universalgelehrten der Neuzeit. Bedeutende wissenschaftliche Leistungen vollbrachte er auf mathematischem und philosophischem Gebiet, aber auch als Physiker und Techniker, Geschichts- und Sprachforscher bzw. Jurist.

Bezüglich der Mathematik sind vor allem seine Arbeiten zur Infinitesimalrechnung sowie zur Logik (Formalisierung der Mathematik) zu nennen. Sein um 1675 entwickelter (aber erst ab 1682 publizierter) „Calculus“ enthält Differenziationszeichen, Regeln zum Differenzieren sowie Aussagen zu Extremwerten und Wendepunkten. Auf LEIBNIZ zurück gehen auch das Integralzeichen sowie die Begriffe Differenzial- und Integralrechnung, Funktion und Koordinaten. Schon vor 1683 entwickelte er eine mechanische Rechenmaschine. LEIBNIZ war Begründer und zugleich erster Präsident der Berliner Akademie der Wissenschaften.

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WISSENSTEST

* 04. Januar 1643 Woolsthorpe
† 20./21. März 1727 London

ISAAC NEWTON gilt als Begründer der klassischen Mechanik. Er entdeckte das Gravitationsgesetz sowie die nach ihm benannten newtonschen Axiome (Trägheitsgesetz, Grundgesetz der Mechanik und Wechselwirkungsprinzip).
NEWTON formulierte – etwa zur gleichen Zeit wie der deutsche Gelehrte GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (1646 bis 1716) und unabhängig von diesem – Grundthesen der Infinitesimalrechnung. Insbesondere arbeitete er den Zusammenhang von Differenzieren und Integrieren heraus.

Aufgabe der (allgemeinen) Interpolation ist es, zu n + 1 Punkten $P_0,P_1,P_2,\mathrm{...,}{P}_n$ ein Polynom (möglichst kleinen Grades) mit der Eigenschaft $p\left(x_i\right)=y_i(miti=\mathrm{0,}\mathrm{1,}\mathrm{2,}\mathrm{...,}n)$ zu finden.
Dies ist mit dem newtonschen sowie dem lagrangeschen Interpolationsverfahren möglich, wobei das erstere Verfahren die größere praktische Bedeutung hat.