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Die Definitionen von Differenzierbarkeit und Stetigkeit führen zu der Folgerung, eine Funktion f kann an einer Stelle $x_0$ stetig, aber nicht differenzierbar sein.
Ist f in $x_0$ allerdings differenzierbar, dann ist sie in $x_0$ auch stetig.

Die Ableitung einer Funktion f an einer Stelle $x_0$ gibt bekanntermaßen den Anstieg der Tangente an den Graphen der Funktion im Punkt $P_0(x_0;f(x_0))$ an.
Ebenso spricht man vom Anstieg des Graphen im Punkt $P_0$.
Im Folgenden wird ein Verfahren zur Bestimmung der Ableitung an einer Stelle $x_0$ mittels zeichnerischen oder grafischen Differenzierens vorgestellt.

Viele Prozesse im Wirtschaftsleben lassen sich mithilfe von Funktionen beschreiben. Durch eine mathematische Modellbildung ist man dann in der Lage, über Optimierungsmöglichkeiten in dem vorliegenden Sachverhalt gezielt nachzudenken. Oft steht dabei die Frage der Gewinnmaximierung bzw. die Minimierung der Produktions- oder Vertriebskosten im Mittelpunkt.

Das Vorgehen beim Lösen einer solchen Extremwertaufgabe soll im Folgenden durch ein Beispiel verdeutlicht werden.

Es sei g mit $y=g\left(x\right)$ eine über ihrem gesamten Definitionsbereich $D_f$ differenzierbare Funktion mit der Ableitung $y^{\prime }=g^{\prime }\left(x\right)$.
Durch Multiplikation der Funktionsgleichung von g mit dem konstanten Faktor $k\in ℝ$ erhält man die Funktion $f\left(x\right)=k\cdot g\left(x\right)$.

Im Folgenden soll die Kettenregel der Differenzialrechnung bewiesen werden.
Die Kettenregel besagt: Die Ableitung einer verketteten Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitungen von äußerer und innerer Funktion an der jeweiligen Stelle.
Für die Anwendung der Kettenregel ist eine auf der leibnizschen Schreibweise $\frac{dy}{dx}$ anstelle von $f\text{'}\left(x\right)$ beruhende Notation sehr einprägsam.

Wir vermuten das Folgende: Eine konstante Funktion $f\left(x\right)=c\left(c\in ℝ,aberfest\right)$ besitzt für alle $x\in ℝ$ die Ableitung $f^{\prime }\left(x\right)=0.$