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Kräfte bei der Kreisbewegung

Welche Kräfte bei einer Kreisbewegung wirken, hängt davon ab, welches Bezugssystem man zugrunde legt. Von einem Inertialsystem (unbeschleunigtes, ruhendes Bezugssystem) aus beschrieben gilt:

Damit sich ein Körper auf einer Kreisbahn bewegt, muss auf ihn eine Kraft in Richtung Zentrum der Kreisbewegung wirken. Diese Kraft wird als Radialkraft bezeichnet. Sie bewirkt die Radialbeschleunigung und hat den Betrag:

F r = m ⋅ v 2 r = m ⋅ ω 2 ⋅ r = m ⋅ 4 π 2 ⋅ r T 2 = m ⋅ 4 π 2 ⋅ r ⋅ n 2

Zu dieser Radialkraft existiert nach dem Wechselwirkungsgesetz eine gleich große, entgegengesetzt gerichtete Gegenkraft, die keine besondere Bezeichnung trägt.
Von einem mitrotierenden (beschleunigten) Bezugssystem aus stellt sich der Sachverhalt anders dar: Auf einen Körper wirkt eine radial nach außen gerichtete Trägheitskraft, die als Zentrifugalkraft bezeichnet wird.

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Kräfte und ihre Messung

Der Begriff Kraft wird im Alltag und in der Physik in vielfältiger Weise verwendet. Während der Alltagsbegriff mit unterschiedlichen Begriffsinhalten genutzt wird, ist die physikalische Größe Kraft eindeutig definiert:
Die Kraft gibt an, wie stark ein Körper bewegt oder verformt wird. Sie ist eine Wechselwirkungsgröße und eine vektorielle (gerichtete) Größe. Die Wirkung einer Kraft ist abhängig von ihrem Betrag, ihrer Richtung und ihrem Angriffspunkt.


Formelzeichen: F → Einheit: ein Newton (1 N) 1 N = 1 kg ⋅ m s 2
Man unterscheidet u.a. elektrische Kräfte, magnetische Kräfte, Reibungskräfte, Druckkräfte, Radialkräfte, Gewichtskräfte, Schubkräfte, Spannkräfte und Zugkräfte, Adhäsionskräfte und Kohäsionskräfte, innere Kräfte und äußere Kräfte voneinander.

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Masse von Körpern

Man unterscheidet grundsätzlich zwischen der trägen und der schweren Masse. Die träge Masse ist ein Maß dafür, wie sehr sich ein Körper einer Bewegungsänderung widersetzt, die schwere Masse gibt an, wie schwer oder leicht ein Körper ist. Experimentell kann die Äquivalenz der schweren und trägen Masse nachgewiesen werden.
In der klassischen Mechanik ist die Masse eine Erhaltungsgröße und somit unabhängig vom Ort und Bewegungszustand des Körpers. In der relativistischen Mechanik ist sie jedoch eine Funktion der Geschwindigkeit und nimmt mit dieser zu. Man spricht von der relativistischen Massezunahme.
Zur experimentellen Bestimmung der Masse benutzt man Waagen, die es in den unterschiedlichsten Bauarten gibt und die auf verschiedenen physikalischen Gesetzten beruhen.

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Resonanz

Schwingende Körper (Schwinger, Oszillatoren) können durch Energiezufuhr von außen zu erzwungenen Schwingungen angeregt werden. Ist die Erregerfrequenz gleich der Eigenfrequenz des Schwingers, so erreicht die Amplitude der Schwingung ein Maximum. Das wird als Resonanz bezeichnet. Die Resonanzbedingung lautet:

f E = f 0 f E Erregerfrequenz f 0 Eigenfrequenz des Schwingers

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Schräger Wurf

Unter einem schrägen oder schiefen Wurf versteht man die Überlagerung (Superposition) einer gleichförmigen Bewegung mit bestimmter Anfangsgeschwindigkeit (Abwurfgeschwindigkeit) schräg nach oben und des freien Falls.
Die beiden Teilbewegungen ergeben eine resultierende (zusammengesetzte) Bewegung. Für diese resultierende Bewegung können Wege und Geschwindigkeiten rechnerisch oder zeichnerisch ermittelt werden. Dabei ist der vektorielle Charakter von Weg und Geschwindigkeit zu beachten.
Als Bahnkurve ergibt sich eine typische Wurfparabel.

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Schweredruck in Flüssigkeiten

Den Druck in einer Flüssigkeit, der infolge der Gewichtskraft einer darüber liegenden Flüssigkeitssäule entsteht, nennt man Schweredruck.

Formelzeichen:p
Einheit:ein Pascal (1 Pa)

Er kann berechnet werden mit der Gleichung p = ρ ⋅ g ⋅ h .
Der Schweredruck ist ein spezieller Druck. Es gelten für ihn aber alle Aussagen, die für den Druck allgemein zutreffen.

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Auftrieb und Auftriebskraft

Befindet sich ein Körper in einer Flüssigkeit oder in einem Gas, so verringert sich scheinbar seine Gewichtskraft. Diese Erscheinung wird als statischer Auftrieb bezeichnet, die der Gewichtskraft entgegen gerichtete Kraft als Auftriebskraft. Für einen Körper, der sich in einer Flüssigkeit oder in einem Gas befindet, gilt:
Die auf einen Körper wirkende Auftriebskraft ist gleich der Gewichtskraft der von ihm verdrängten Flüssigkeits- bzw. Gasmenge (archimedisches Gesetz).
Je nach dem Verhältnis zwischen der nach unten wirkender Gewichtskraft und der nach oben wirkenden Auftriebskraft sinkt, schwebt, steigt oder schwimmt ein Körper.

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Beschreibung mechanischer Schwingungen

Eine mechanische Schwingung ist eine zeitlich periodische Bewegung eines Körpers um eine Ruhelage. Solche Schwingungen kann man

  • in verschiedener Weise aufzeichnen,
  • in einem y-t-Diagramm darstellen oder
  • mithilfe solcher physikalischer Größen wie der Auslenkung, der Amplitude, der Schwingungsdauer (Periodendauer) und der Frequenz charakterisieren.
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Eigenschaften mechanischer Wellen im Überblick

Mechanische Wellen, z. B. Wasserwellen oder Schallwellen, haben eine Reihe von charakteristischen Eigenschaften. Sie breiten sich von einem Erreger (Quelle) aus mit einer bestimmten Geschwindigkeit fort. Mit Wellen wird Energie, aber kein Stoff transportiert. Wellen können reflektiert und gebrochen werden. Es können auch Beugung und Interferenz (Überlagerung) auftreten. Darüber hinaus können mechanische Wellen absorbiert, gestreut oder polarisiert werden. Ebenfalls zu beobachten ist bei mechanischen Wellen Dispersion.

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Energie und Energieerhaltung

Energie ist die Fähigkeit, mechanische Arbeit zu verrichten, Wärme abzugeben oder Licht auszustrahlen.

Formelzeichen:
Einheit:
E
ein Joule (1 J)


Die Energie ist eine Zustandsgröße und in abgeschlossenen Systemen eine Erhaltungsgröße. Für sie gilt der Energieerhaltuntgssatz.

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Überlagerung von Schwingungen

Schwingungen können sich wie andere Bewegungen überlagern. Das Ergebnis dieser Überlagerung hängt von den gegebenen Bedingungen ab.
Überlagern sich Schwingungen gleicher Schwingungsrichtung und gleicher Frequenz, so entstehen wieder harmonische Schwingungen, deren Amplitude von der Phasenlage der Einzelschwingungen abhängt. Bei geringem Unterschied der Frequenzen der Einzelschwingungen entsteht eine Schwebung.
Bei Einzelschwingungen deutlich unterschiedlicher Frequenz entsteht als Resultierende eine Schwingung, die nicht harmonisch ist.
Bei der Überlagerung von Schwingungen, deren Schwingungsrichtung senkrecht zueinander ist, bilden sich als resultierende Schwingungen Gebilde, die als LISSAJOUS-Figuren bezeichnet werden.

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Weg-Zeit-Diagramme

In einem Weg-Zeit-Diagramm ist für die Bewegung eines Körpers der Zusammenhang zwischen dem von ihm zurückgelegten Weg s und der Zeit t dargestellt. Man bezeichnet ein solches Diagramm auch als s-t-Diagramm, t-s-Diagramm oder Zeit-Weg-Diagramm.
Die Graphen haben je nach der Art der Bewegung einen jeweils charakteristischen Verlauf. Der Anstieg eines Graphen ist gleich der Geschwindigkeit, wobei man aus dem Graphen sowohl eine Durchschnittsgeschwindigkeit als auch die Momentangeschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt ermitteln kann.

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Mechanische Wellen

Eine mechanische Welle ist die Ausbreitung einer mechanischen Schwingung im Raum. Allgemeiner gilt:

Eine Welle ist eine zeitlich und räumlich periodische Änderung physikalischer Größen.

Beispiele für mechanische Wellen sind Wasserwellen, Schallwellen oder Erdbebenwellen. Nach dem Verhältnis von Schwingungsrichtung der einzelnen Schwinger und Ausbreitungsrichtung unterscheidet man zwischen Längswellen (Longitudinalwellen) und Querwellen (Transversalwellen). Nach der Art ihrer Ausbreitung kann man zwischen linearen Wellen, Oberflächenwellen und räumlichen Wellen differenzieren.

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Stehende Wellen

Wellen breiten sich von einem Erreger aus in den Raum hinein aus. Man spricht deshalb manchmal auch von fortschreitenden Wellen. Werden sie an Hindernissen reflektiert, so können sich die hin- und rücklaufenden Wellen überlagern. Es kommt zur Ausbildung einer stehenden Welle, bei der sich Schwingungsknoten und Schwingungsbäuche stets an der gleichen Stellen befinden.

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Zentraler gerader elastischer Stoß

Ein zentraler elastischer Stoß zwischen zwei Körpern ist dadurch gekennzeichnet, dass

  • nur elastischen Wechselwirkungen auftreten,
  • sich die Körper nach dem Stoß mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten weiterbewegen und
  • die mechanische Energie erhalten bleibt.

Für einen solchen Stoß gilt der Impulserhaltungssatz und der Energieerhaltungssatz der Mechanik.

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Zentraler gerader unelastischer Stoß

Energiebilanz, Energieerhaltungssatz, Energieerhaltungssatz der Mechanik, Impulserhaltungssatz, Reibuntgseffekte, zentraler gerader unelastischer Stoß
Ein zentraler unelastischer Stoß zwischen zwei Körpern ist dadurch gekennzeichnet, dass

  • keine elastischen Wechselwirkungen auftreten,
  • sich die Körper nach dem Stoß mit einer gemeinsamen Geschwindigkeit weiterbewegen und
  • ein Teil der mechanischen Energie in andere Energieformen umgewandelt wird.

Für einen solchen Stoß gilt der Impulserhaltungssatz und der allgemeine Energieerhaltungssatz, nicht aber der Energieerhaltungssatz der Mechanik.

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Adiabatische Zustandsänderungen

Eine adiabatische Zustandsänderung ist dadurch gekennzeichnet, das bei dem Prozess keine Wärme mit der Umgebung (Q = 0) ausgetauscht wird. Dies kann bei allen schnell ablaufenden thermodynamischen Vorgängen angenommen werden. Charakteristisch für adiabatische Vorgänge ist, dass sich alle drei Zustandsgrößen Temperatur, Druck und Volumen gleichzeitig ändern. Die Adiabate im p-V-Diagramm verläuft daher steiler als Isothermen und schneidet diese.
Zu unterscheiden ist zwischen einer adiabatischen Expansion und einer adiabatischen Kompression. Die Energiebilanzen ergeben sich aus dem 1. Hauptsatz der Thermodynamik. Für das Modell ideales Gas kann die Adiabate p = p(V) berechnet werden. Es ergeben sich die poissonschen Gesetze.

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Zustandsgleichung für das ideale Gas

Zwischen Druck p, Volumen V und absoluter Temperatur T des idealen Gases besteht folgender Zusammenhang:

p ⋅ V T = konstant oder p 1 ⋅ V 1 T 1 = p 2 ⋅ V 2 T 2

Für ein reales Gas ist die Zustandsgleichung anwendbar, wenn sich dieses näherungsweise wie das ideale Gas verhält. Das ist für fast alle Gase bei Zimmertemperatur der Fall.

Bezieht man die Gaskonstanten und andere Konstanten mit ein, so kann man die allgemeine Zustandsgleichung auch noch in weiteren Formen schreiben.

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Bernoulli-Ketten und ihre Simulation

  • Eine n-fach und unabhängig voneinander ausgeführte Realisierung eines BERNOULLI-Experiments mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p heißt BERNOULLI-Kette der Länge n und mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p oder kurz BERNOULLI-Kette mit den Parametern n und p.

Dazu betrachten wir im Folgenden ein Anwendungsbeispiel.

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Kenngrößen der Binomialverteilung

Kenngrößen von Zufallsgrößen dienen deren quantitativer Charakterisierung. Wir betrachten im Folgenden binomialverteilte Zufallsgrößen.

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Rechenregeln für Erwartungswerte

Für die Erwartungswerte von Zufallsgrößen gelten eine Reihe wichtiger und nützlicher Rechneregeln. Der Einfachheit halber sollen hier nur endliche Zufallsgrößen betrachtet werden.
Erwartungswerte können nach diesen Sätzen, nach Definitionen bzw. durch Simulationen bestimmt werden.

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Das Geburtstagsproblem

Sarah ist stolz darauf, dass sie am gleichen Tag wie ihr Lieblingsonkel Lutz Geburtstag hat. Das ist für sie Ausdruck einer besonderen Fügung des Schicksals. Etwas enttäuscht ist sie allerdings, als ihr Onkel meint, es sei nicht so außergewöhnlich, dass von den insgesamt 32 lebenden Mitgliedern ihrer Familie zwei am gleichen Tag Geburtstag haben.

Um die Aussage des Onkels zu überprüfen, muss man sich etwas näher mit dem sogenannten Geburtstagsproblem beschäftigen, das auf den österreichischen Mathematiker RICHARD VON MISES (1883 bis 1953) zurückgeht.

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Geometrische Wahrscheinlichkeit

Schon sehr früh in der Geschichte der Wahrscheinlichkeitstheorie hat man sich mit dem Problem des zufälligen Werfens bzw. der zufälligen Auswahl eines Punktes auf bzw. aus einem endlichen Flächenstück beschäftigt. Das mutmaßlich älteste Beispiel geht auf ISAAC NEWTON (1643 bis 1727) zurück. Im 18. Jahrhundert wurde dann der Begriff geometrische Wahrscheinlichkeit eingeführt, da es sich um Zufallsexperimente handelt, deren Versuchsausgänge geometrisch quantitativ messbare Größen sind.

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Lorentz-Kraft

Auf alle geladenen Teilchen oder Körper, die sich in einem magnetischen Feld nicht parallel zu den magnetischen Feldlinien bewegen, wirkt eine Kraft. Diese Kraft bezeichnet man nach dem niederländischen Physiker HENDRIK LORENTZ (1853-1928), der sie gegen Ende des 19. Jahrhunderts näher untersucht hat, als LORENTZ-Kraft.
Berechnungen zur LORENTZ-Kraft sind mitunter recht kompliziert, weil diese Kraft als vektorielle Größe sowohl von der Bewegungsrichtung und dem Betrag der Teilchengeschwindigkeit als auch von der Stärke und Richtung des Magnetfeldes abhängt. Allgemein gilt:
F → = Q ⋅ ( v → × B → )
Für den Sonderfall, dass Bewegungsrichtung und magnetische Feldlinien senkrecht zueinander stehen, kann man den Betrag der LORENTZ-Kraft relativ einfach experimentell untersuchen und berechnen.

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Massenspektrografie

Viele Elemente bestehen aus Isotopengemischen. Auch bei Kernreaktionen entstehen unterschiedliche Isotope. Sie unterscheiden sich in ihren Massen zum Teil nur geringfügig. Die Methode, Teilchen nach ihrer unterschiedlichen Masse voneinander zu trennen und damit zu identifizieren, bezeichnet man als Massenspektrografie. Die entsprechenden Geräte werden als Massenspektrografen oder Massenspektrometer bezeichnet. Den ersten Massenspektrografen entwickelte der britische Physiker und Chemiker FRANCIS WILLIAM ASTON (1877-1945) im Jahr 1919.

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