4621 Suchergebnisse

Die Verwendung eines Zeichendreiecks oder Geodreiecks kann die Ausführung von Konstruktionsaufgaben erleichtern.

Insbesondere können zu einer vorgegebenen Geraden und einem Punkt

• die Parallele zur Geraden durch den Punkt und
• die Senkrechte zur Geraden durch den Punkt

in einem Schritt oder in Teilschritten gezeichnet werden.

Der Kosinussatz gehört neben dem Sinussatz zu den wichtigsten Sätzen der Trigonometrie. Der Kosinussatz drückt eine Beziehung zwischen den drei Seiten und einem Winkel im Dreieck aus.
Man kann aus zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel die dritte Seite berechnen oder aus drei Seiten einen Winkel.

Der Kreis ist die Menge aller Punkte der Ebene, die von einem festen Punkt M der Ebene den gleichen Abstand r haben.
M heißt Mittelpunkt, und die Strecke der Länge r, die jeden Punkt des Kreises mit seinem Mittelpunkt verbindet, heißt Radius.
Nach dieser Definition ist der Kreis eine Linie, die Kreislinie. Der Mittelpunkt M gehört nach dieser Definition nicht zum Kreis.
Alle Randpunkte und alle inneren Punkte eines Kreises bilden gemeinsam die Fläche des Kreises, die Kreisfläche.
Aus dem Zusammenhang wird meist deutlich, ob mit dem Wort „Kreis“ die Kreislinie oder die Kreisfläche gemeint ist.

Die babylonischen und ägyptischen Überlegungen in der Geometrie dienten zur Lösung praktischer Probleme. Die ersten Menschen vor der Antike, die sich mit der Geometrie beschäftigten, waren wohl die Landmesser Ägyptens. Die Griechen gaben ihnen den Namen Harpedonapten (Schnurspanner).
Durch Spannen von geknoteten Schnüren konnten die ägyptischen Landmesser auf dem Erdboden Geraden, Kreise und Winkel abstecken.

Können zwei Strecken mit einer Bewegung aufeinander abgebildet werden, sind sie deckungsgleich und damit gleich lang.
Beim Messen der Länge einer Strecke wird ermittelt, wie oft man eine Einheitsstrecke auf der zu messenden Strecke lückenlos hintereinanderlegen kann. Die Streckenlänge wird als Produkt aus Zahlenwert und Einheit angegeben.

Man bestimmte Längen nach menschlichen Körperteilen, wofür z. B. die Maße Elle oder Fuß stehen. Für die Einheit Elle gab es allein in Deutschland 132 verschiedene Maßangaben.
Flächen bestimmte man zunächst nach einer gewissen Arbeitsleistung, worauf z. B. Einheiten hinweisen wie Tagwerk, Joch oder Morgen. Charakteristisch ist die regionale Unterschiedlichkeit der Maße.

Das Verhältnis einer Vergrößerung oder Verkleinerung nennt man Maßstab. Die erste Zahl des Maßstabes bezieht sich auf das Bild und zweite auf das Original. Ist die erste Zahl des Maßstabes größer als die zweite, handelt es sich um eine Vergrößerung. Ist die erste Zahl kleiner als die zweite, handelt es sich um eine Verkleinerung.

Das Meter wurde 1795 in Frankreich eingeführt und international durch die sogenannte „Meterkonvention“ – ein am 20.05.1875 unterzeichnetes internationales Abkommen – festgesetzt.
Am 20.10.1983 wurde von der 17. Generalkonferenz für Maße und Gewichte das Meter neu definiert.

Um den Umfang u eines Kreises mit dem Durchmesser d zu bestimmen, kann man von den Umfängen eines einbeschriebenen und eines umbeschriebenen Vielecks ausgehen, z. B. eines regelmäßigen Sechsecks. Für den Umfang des Kreises gilt:
$u=\pi \cdot d=\pi \cdot 2r$

Geraden und Kreise können verschiedene Lagen zueinander haben:

• Eine Gerade, die den Kreis in zwei Punkten schneidet, heißt Sekante (Schneidende). Eine Sekante, die durch den Mittelpunkt des Kreises verläuft, nennt man Zentrale.
• Die Strecke zwischen den Punkten A und B ist eine Sehne des Kreises. Die längste Sehne im Kreis ist der Durchmesser d.
• Eine Gerade, die den Kreis in einem Punkt berührt, heißt Tangente (Berührende).
• Eine Gerade, die den Kreis in keinem Punkt schneidet, heißt Passante (Vorbeigehende).

Ein Winkel heißt Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel), wenn sein Scheitel im Kreismittelpunkt liegt, Umfangswinkel (Peripheriewinkel), wenn sein Scheitel auf dem Kreis liegt und seine Schenkel den Kreis schneiden, Sehnen-Tangenten-Winkel, wenn sein Scheitel auf dem Kreis liegt und ein Schenkel den Kreis schneidet, der andere den Kreis berührt.

Der Umfang eines Kreises ist proportional zu seinem Durchmesser.
Der Proportionalitätsfaktor heißt Kreiszahl und wird mit dem griechischen Buchstaben π (gesprochen: pi) bezeichnet.

GEORG CANTOR (1845 bis 1918), deutscher Mathematiker
* 3. März 1845 St. Petersburg
† 6. Januar 1918 Halle

GEORG CANTOR verfasste u. a. Abhandlungen zur Mengenlehre und schuf damit die Grundlagen einer neuen mathematischen Theorie, die die gesamte Mathematik entscheidend beeinflusste.

Die Satzgruppe des Pythagoras, zu der der Höhensatz gehört, zählt wegen ihrer großen Bedeutung für Berechnungen und Beweisführungen zu den berühmtesten der Planimetrie.

Eine Kongruenzabbildung (Bewegung) ist eine umkehrbar eindeutige Abbildung der einen Figur $F_1$ auf eine andere Figur $F_2$.
Zwei Figuren $F_1$ und $F_2$ sind zueinander kongruent (deckungsgleich) genau dann, wenn sie die gleiche Form und Größe haben.
Schreibweise: $F_1\cong F_2$
Kongruente Figuren lassen sich durch eine Verschiebung, eine Spiegelung, eine Drehung oder eine Zusammensetzung von ihnen aufeinander abbilden.

Zwei Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn es eine Bewegung gibt, die ein Dreieck auf das andere abbildet. Die beiden Dreiecke stimmen dann in allen sechs Bestimmungsstücken oder Maßen überein. Die Konstruktion eines Dreiecks ist möglich, wenn drei voneinander unabhängige Bestimmungsstücke gegeben sind. Daher wird auch bei der Betrachtung der Kongruenz von Dreiecken von drei Seiten oder Winkeln ausgegangen.

Betrachtet man die Mathematik als Gebäude, dann bilden Grundbegriffe und als wahr angenommene Aussagen (sogenannte Axiome) das Fundament. Der Aufbau des Gebäudes vollzieht sich im Wesentlichen dadurch, dass ausgehend von den Grundbegriffen weitere Begriffe gebildet werden sowie Zusammenhänge zwischen ihnen erkannt und in Aussagen formuliert werden. Als wahr erkannte Aussagen werden als Sätze in das Gebäude aufgenommen und bei dessen weiterer Vervollkommnung verwendet. Der Nachweis der Wahrheit einer Aussage, eines mathematischen Satzes, erfolgt durch einen Beweis.

Zwei Figuren $F{}_1$ und $F{}_2$ sind zueinander kongruent (deckungsgleich) genau dann, wenn sie die gleiche Form und Größe haben.
In zueinander kongruenten Figuren sind alle einander entsprechenden Strecken und Winkel gleich groß.
Kongruente Figuren lassen sich durch eine Verschiebung, eine Spiegelung, eine Drehung oder eine Zusammensetzung von ihnen aufeinander abbilden.