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* 27. Dezember 1571 Weil der Stadt
† 15. November 1630 Regensburg

JOHANNES KEPLER war einer der bedeutendsten Astronomen der frühen Neuzeit und entdeckte die nach ihm benannten Gesetze der Planetenbewegung. Damit gehört er neben NIKOLAUS KOPERNIKUS, GALILEO GALILEI und ISAAC NEWTON zu den Wegbereitern eines neuen wissenschaftlichen Weltbildes, mit dem religiöse Auffassungen überwunden und naturwissenschaftliche Erkenntnisse Grundlage der Vorstellungen wurden.
KEPLER entwickelte aus der Antike stammende Methoden zur Volumenberechnung weiter, so geht u.a. eine Näherungsformel für das Volumen von Rotationskörpern (die sogenannte keplersche Fassregel) auf ihn zurück.

Zwei Kreise können keinen Punkt gemein haben, sich in genau einem Punkt berühren oder sich in genau zwei Punkten schneiden.
Die möglichen Schnittgebilde erhält man analytisch, indem die entsprechenden Kreisgleichungen auf gemeinsame Lösungen untersucht werden.

Hier kannst du dich selbst testen. So kannst du dich gezielt auf Prüfungen und Klausuren vorbereiten oder deine Lernerfolge kontrollieren.

Multiple-Choice-Test zum Thema "Mathematik - Kreise und Kugeln".

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Mithilfe des Kreises ist eine eineindeutige Abbildung (Zuordnung) zwischen der Menge aller Punkte (außer dem Kreismittelpunkt M) und der Menge aller Geraden (außer den Geraden durch M) definiert. Diese wird Polarität am Kreis genannt.

Die sphärische Geometrie ist die Geometrie auf der Kugel, die sphärische Trigonometrie die Trigonometrie der Kugeloberfläche. Dass beide von der Geometrie und der Trigonometrie der Ebene verschieden sein müssen, erkennt man schon daran, dass es auf der Kugel keine Geraden im Sinne der klassischen ebenen Geometrie und Trigonometrie gibt.
Im Weiteren werden Kugeldreiecke definiert und insbesondere eulersche Dreiecke betrachtet. Zur Berechnung sphärischer Dreiecke werden u.a. der sphärische Sinussatz, der Winkelkosinussatz und der Seitenkosinussatz verwendet.

Eine Kugel und eine Ebene können keinen Punkt (Fall 1), genau einen Punkt (Fall 2) oder unendlich viele Punkte, die auf einem Kreis (dem Schnittkreis) liegen (Fall 3), gemeinsam haben.

Für die Lage einer Kugel bezüglich einer Geraden gibt es die folgenden Möglichkeiten:

1. Kugel und Gerade haben keinen Punkt gemeinsam (Fall 1);
2. Kugel und Gerade haben genau einen Punkt gemeinsam (Fall 2);
3. Kugel und Gerade haben genau zwei Punkte gemeinsam (Fall 3)

Im Fall 1 nennt man die Gerade eine Passante, im Fall 2 eine Tangente und im Fall 3 eine Sekante.

Ausgehend vom Begriff der Kugel lassen sich mithilfe eines kartesischen Koordinatensystems Gleichungen (in vektorieller Form und als Koordinatengleichungen) entwickeln. Eine Kugel kann auch durch eine Parametergleichung beschrieben werden.

Zwei Kugeln im Raum können – abgesehen von dem Fall, dass beide Kugeln identisch sind – verschiedene Positionen zueinander einnehmen.

Die Vereinigungsmenge von A und B ($A\cup B$) ist die Menge aller Elemente, die in A oder in B oder in beiden Mengen enthalten sind.

$A\cup B=\left\{x\text{:}x\in A\vee x\in B\right\}$ (gesprochen: A vereinigt B)
Das Zeichen $„\vee “$ steht für das „oder“ mit den drei angegebenen Bedeutungen.

Beim Einsatz des Computeralgeb rasystems “Mathcad 8” können Zahlen und Variablen beliebig verändert werden. Das CAS liefert sofort die neue Lösung bzw. die neue grafische Darstellung.

Der Begriff Gleichung geht auf LEONARDO FIBONACCI (etwa 1180 bis etwa 1250) zurück, der ihn in italienischer Sprache als equatio benutzte.
Die Gleichheit zweier Terme wurde lange Zeit verbal ausgedrückt, z. B. durch das lateinische Wort aequatur (gleicht).
Im Zusammenhang mit der Benutzung von Variablen wurde ein Zeichen für die Gleichheit zwingend erforderlich.
Das heutige Gleichheitszeichen „=“ stammt von dem englischen Mathematiker ROBERT RECORDE (1510 bis 1558).

Jede Lösung eines Gleichungssystems aus drei Gleichungen mit drei Variablen ist ein Zahlentripel. Beim Lösen von linearen Gleichungssystemen mit mehr als zwei Gleichungen und Variablen geht man systematisch vor.

Gleichungssysteme mit mehr als zwei Unbekannten können z. B. mithilfe des gaußschen Algorithmus oder der cramerschen Regel gelöst werden. Die cramersche Regel basiert auf der Berechnung von Determinanten und dem Verfahren von SARRUS.

HERON VON ALEXANDRIA lebte etwa Ende des 1. Jh. in Alexandria. Er war ein äußerst vielseitiger Mathematiker und Physiker, der eine praktische Ausrichtung der Mathematik im Sinne PLATONs betrieb und somit eine zu EUKLID gegensätzliche Auffassung vertrat.
Von seinen Werken war die „Geometrica“, eine Zusammenstellung von Formeln und Aufgaben, besonders populär.

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Multiple-Choice-Test zum Thema "Mathematik - Monats- und Tageszinsen".

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4. Jh. bis um 300 v. Chr.: Das babylonische Zahlbezeichnungssystem mit der Basis 60 (das noch in unserer Winkel- und Zeitmessung fortlebt) gelangt in einem langen Reifungsprozess mit der Erfindung der Null zum Abschluss.

Um 300 v. Chr. bis um 1200: Im Römischen Reich, später in ganz Europa, ist der Abacus das allgemein genutzte Rechenhilfsmittel. (Unabhängig davon ist er zu nicht genau fixierbaren Zeiten auch in fast allen ostasiatischen Ländern in Gebrauch gekommen.)

7. Jh.: Das Positionssystem mit der Basis 10 wird in Indien entwickelt, breitet sich im 9. Jh. in den islamischen Ländern aus und kommt ab dem Ende des 10. Jh. auf verschiedenen Wegen nach Europa.

13. bis 16. Jh.: Das schriftliche („algorithmische“) Rechnen setzt sich allmählich in ganz Europa (außer Russland) gegen das Abacusrechnen durch. Großen Anteil daran haben Rechenmeister wie ADAM RIES mit ihren Rechenschulen und Rechenbüchern.

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Multiple-Choice-Test zum Thema "Mathematik - Prozent- und Zinsrechnung".

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Wenn man das Kapital, den Zinssatz und die entsprechenden Jahres-, oder Tageszinsen kennt, kann man die Zeitspannen (Anzahl der Jahre, Monate bzw. Tage), für die die Zinsen anfallen, berechnen.
Je nachdem, welche Werte bekannt sind, wird dann die Formel für Jahres-, Monats - oder Tageszinsen verwendet.

Unter Zinsen versteht man den Preis für zeitweilig überlassenes Geld. Für den Kreditgeber sind Zinsen der Ertrag aus der Geldanlage. Für den Kreditnehmer sind die Zinsen die Kosten für das erhaltene Geld.
Das Zinsniveau hängt ab von der allgemeinen Wirtschaftslage und der Politik der Europäischen Zentralbank.
Der genaue Zinssatz für eine Geldanlage oder einen Kredit ergibt sich aus dem allgemeinen Zinsniveau sowie der Zinspolitik der entsprechenden Bank.
Entscheidend ist die Laufzeit, die Höhe der Anlage des Kredites und das Risiko, das die Bank beispielsweise bei der Vergabe eines Kredites eingeht.

Eine der wichtigsten Anwendungen der Prozentrechnung ist die Zinsrechnung.
Dabei entsprechen folgende Begriffe einander:
Grundwert G und Kapital K;
Prozentsatz p% und Zinssatz p%;
Prozentwert W und Zinsen Z

Bei der kaufmännischen Zinsrechnung sind häufig Zinsen zu einem feststehenden Zinssatz zu berechnen, wobei aber Unterschiede bei den zu verzinsenden Kapitalwerten sowie den Zeiten auftreten können. Hierbei ist es zweckmäßig, summarische Zinsen zu berechnen.

Wenn ein Kapital über längere Zeiträume verzinst wird, werden die anfallenden Zinsen im Allgemeinen dem Kapital zugeschlagen und im folgenden Jahr mit verzinst.
Die Rechnung dafür heißt Zinseszinsrechnung.
Dabei wächst ein Anfangskapital $K_0$bei einem Prozentsatz p % über einen Zeitraum von n Jahren auf ein Endkapital $K_n$.

Die Zinsrechnung ist eine Anwendung der Prozentrechnung. Die Grundbegriffe und die Grundgleichung der Zinsrechnung entsprechen denen der Prozentrechnung.
Bei der Zinsrechnung spielt außerdem die Zeit eine Rolle.

Das Tangram ist ein Legespiel, das vor über 2 000 Jahren in China entstanden sein soll. Es besteht aus insgesamt sieben Teilen, weshalb es auch „Siebenschlau“ genannt wird.
Aufgabe ist es, mit einzelnen oder allen Puzzle-Teilen bestimmte Fantasiefiguren zu legen oder gegebene Figuren mit den Teilen auszulegen.