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Asymptoten (asymptotische Linien)

Untersucht man ganzrationale Funktionen für beliebige große bzw. kleine x-Werte, so werden auch die Funktionswerte beliebig groß oder klein:
Für x → ±   ∞ gilt |   f ( x )   | = +   ∞ .

Völlig verschieden davon ist das Verhalten gebrochenrationaler Funktionen der Form
f(x) = p(x) q(x) .

Deren Graphen schmiegen sich für beliebig groß bzw. klein werdende Argumente immer mehr an eine Gerade an. Derartige Geraden werden Asymptoten des Graphen der Funktion genannt. Man unterscheidet zwischen waagerechten (horizontalen) und schiefen Asymptoten sowie asymptotischen Linien bzw. Kurven.

Anmerkung: Gelegentlich werden auch die Polgeraden bei vorhandenen Definitionslücken als senkrechte (vertikale) Asymptoten bezeichnet.

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Definitionslücken

Definitionslücken treten insbesondere bei gebrochenrationalen Funktionen auf. Alle x-Werte, für die die Nennerfunktion den Wert Null annimmt, werden als Definitionslücken bezeichnet.
Man unterscheidet zwischen Polstellen und hebbaren Definitionslücken.

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Kettenregel der Differenzialrechnung

Im Folgenden soll die Kettenregel der Differenzialrechnung bewiesen werden.
Die Kettenregel besagt: Die Ableitung einer verketteten Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitungen von äußerer und innerer Funktion an der jeweiligen Stelle.
Für die Anwendung der Kettenregel ist eine auf der leibnizschen Schreibweise d y d x anstelle von f ' ( x ) beruhende Notation sehr einprägsam.

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Krümmung und Wendepunkt

Durchfährt ein Rennfahrer beispielsweise die Grand-Prix-Strecke des Eurospeedway Lausitz, so muss er seinen Wagen durch eine Vielzahl von Links- und Rechtskurven mit dazwischenliegenden „Wendestellen“ lenken.

Die Graphen monotoner Funktionen kann man in ähnlicher Weise auf ihr sogenanntes Krümmungsverhalten bzw. auf Wendestellen untersuchen.

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Quotientenregel der Differenzialrechnung

Im Folgenden soll die Quotientenregel der Differenzialrechnung bewiesen werden.    

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Korrelation und lineare Regression

Die grafische Darstellung von Wertepaaren ( x i ;   y i ) zweier Größen X und Y führt häufig zu einer Menge von Punkten, die nicht ohne Weiteres einer Funktion bzw. einer Kurve zugeordnet werden können.
Es stellt sich die Frage, ob zwischen den Größen eine Abhängigkeit besteht.
Oftmals ist in solchen Fällen eine Funktion gesucht, deren Graph möglichst nahe an allen Punkten liegt.
Dies führt zur Definition der Korrelation sowie der Regression.

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Sekantennäherungsverfahren (regula falsi)

Ist das exakte Ermitteln der Nullstellen einer Funktion nicht möglich oder sehr aufwendig, so können diese mithilfe geeigneter Verfahren näherungsweise bestimmt werden. Ein solches Verfahren, das (zudem) ohne die Mittel der Infinitesimalrechnung auskommt, ist das Sekantennäherungsverfahren, die sogenannte regula falsi (Regel des „falschen“ Wertes).

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Tangentenproblem

In der historischen Entwicklung der Differenzialrechnung spielte das sogenannte Tangentenproblem eine große Rolle.

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Heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation

An der Entwicklung und der Interpretation der Quantenphysik waren viele bedeutende Physiker beteiligt. Entscheidende Schritte wurden in den zwanziger Jahren des 20. Jahrhundert gegangen. 1927 veröffentlichte NIELS BOHR sein Komplementaritätsprinzip. Im gleichen Jahr formulierte WERNER HEISENBERG die Unbestimmtheitsrelation. Sie besagt, dass der Ort und der Impuls eines Quantenobjektes nicht gleichzeitig genau bestimmt werden können und wird häufig folgender mathematischen Beziehung angegeben:
Δ x ⋅ Δ p ≥ h 4 π

Das ist eine, aber nicht die einzige Möglichkeit, die heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation zu formulieren.

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Bohrsches Atommodell

Der dänische Physiker NIELS BOHR (1885-1962) entwickelte 1913 das von dem britischen Physiker ERNEST RUTHERFORD (1871-1937) im Jahre 1911 angegebene Atommodell weiter, wobei er das Kern-Hülle-Modell mit Quantenvorstellungen verband. Bohr formulierte für sein Atommodell, das man als bohrsches Atommodell bezeichnet, einige grundlegende Postulate. Ein Vorteil dieses Atommodells war, dass man mit ihm die Emission und Absorption von Strahlung erklären konnte. Für Wasserstoff konnten auch die Spektrallinien berechnet werden. Entscheidende Nachteile waren, dass es bei anderen Atomen als Wasserstoff versagt und im Widerspruch zu quantenphysikalischen Erkenntnissen von der Vorstellung bestimmter Bahnen der Elektronen ausgeht.

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Zerfallsgesetz

Das Zerfallsgesetz gibt an, wie eine bestimmte Anzahl von Atomkernen eines radioaktiven Nuklids in Abhängigkeit von der Zeit zerfällt.
Es gilt:

N = N o ⋅ ( 1 2 ) t T 1 / 2 N Anzahl der noch nicht zerfallenen Atomkerne N o Anzahl der zum Zeitpunkt t = 0 vorhandenen nicht zerfallenen Atomkerne t Zeit T 1/2 Halbwertszeit

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Größen zur Beschreibung radioaktiver Strahlung

Radioaktive Strahlung kann durch verschiedene physikalische Größen beschrieben werden, wobei sich die Größen teilweise auf die Strahlungsquelle und teilweise auf die Körper beziehen, die radioaktiver Strahlung ausgesetzt sind. Die wichtigsten Größen sind die Aktivität, die Äquivalentdosis, die Energiedosis, die Energiedosisleistung und die Ionendosis.

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Grundexperimente zur Atomphysik

Für die Entstehung der Atomphysik und die Durchsetzung der Atomhypothese spielten eine Reihe von grundlegenden Experimenten und Beobachtungen eine herausragende Rolle. Dazu gehören u.a. die Streuversuche von PHILIPP LENARD und ERNEST RUTHERFORD, aber auch die spektroskopischen Untersuchungen, die in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts von verschiedenen Physikern durchgeführt und interpretiert wurden. In dem Beitrag sind ausgewählte Experimente dargestellt und in ihrer Bedeutung für die Entwicklung der Atomphysik charakterisiert.

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Das Tröpfchenmodell

Die Atommodelle von E. RUTHERFORD (1911) und N. BOHR (1913) waren Modelle für die Atomhülle. Vom Atomkern war in dieser Zeit lediglich bekannt, dass in ihm weitgehend die Masse des Atoms konzentriert ist und er eine positive Ladung trägt. Genauere Vorstellungen über seine Struktur entwickelten sich erst ab den dreißiger Jahren des 20. Jahrhundert im Zusammenhang mit dem experimentellen Nachweis des Neutrons durch J. CHADWICK (1932) und den weiteren Untersuchungen zu Kernumwandlungen, die u. a. von E. FERMI, F. JOLIOT-CURIE und O. HAHN durchgeführt wurden. Als besonders tragfähig erwiesen sich das Tröpfchenmodell und das Potenzialtopfmodell.

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Addition von Geschwindigkeiten

Während sich in der klassischen Physik bei gleich gerichteten Bewegungen die Beträge der Geschwindigkeiten addieren, gilt für die relativistische Addition von Geschwindigkeiten ein etwa komplizierterer Zusammenhang:
u = u ' + v 1 + u ' ⋅ v c 2
Die resultierende Geschwindigkeit ist entsprechend einer Grundaussage der speziellen Relativitätstheorie immer kleiner als die Vakuumlichtgeschwindigkeit.

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Äquivalenz von Masse und Energie

ALBERT EINSTEIN formulierte in seiner berühmten Arbeit zur speziellen Relativitätstheorie im Jahre 1905: „Die Masse eines Körpers ist ein Maß für dessen Energiegehalt“. Er stellte fest, dass Masse und Energie äquivalente Größen sind und zwischen diesen Größen der fundamentale Zusammenhang E = m ⋅ c 2 existiert. Diese Gleichung ist die Grundlage für das Verständnis der Energiefreisetzung durch Kernspaltung und Kernfusion sowie vieler weiterer physikalischer Prozesse.

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Akustischer und optischer DOPPLER-Effekt

Der österreichische Physiker CHRISTIAN DOPPLER (1803-1853) entdeckte 1842, dass zwischen der von einem Beobachter wahrgenommenen Tonfrequenz und der Bewegung einer Schallquelle ein Zusammenhang besteht. Dieser Effekt wird als akustischer DOPPLER-Effekt bezeichnet.
Ein analoger Effekt tritt bei Licht auf. Er wird optischer oder relativistischer DOPPLER-Effekt genannt.

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Erhaltungssätze in der speziellen Relativitätstheorie

In der klassischen Physik gilt für abgeschlossene Systeme neben dem Gesetz von der Erhaltung der Masse der Energieerhaltungssatz und der Impulserhaltungssatz.
Aus relativistischer Sicht ergibt sich: Aufgrund der Äquivalenz von Masse und Energie umfasst der Energieerhaltungssatz auch das Gesetz von der Erhaltung der Masse. Auch Impulserhaltungssatz und Energieerhaltungssatz sind miteinander verknüpft.

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Längenkontraktion

In der klassischen Physik hat die Länge eines Körpers und damit der Abstand zweier Punkte einen bestimmten, stets gleichen Wert. In der Relativitätstheorie dagegen zeigt sich, dass die Länge eines Körpers vom Bezugssystem abhängig ist. Längenkontraktion bedeutet:
In seinem Ruhesystem hat ein Körper seine größte Länge, die Eigenlänge. In einem dazu bewegten System ist die Länge um den Faktor 1 / k = 1 − v 2 / c 2 (Kehrwert des LORENTZ-Faktors) geringer.

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LORENTZ-Transformation

Im Zusammenhang mit der Entwicklung seiner Elektronentheorie beschäftigte sich der niederländische Physiker HENDRIK ANTOON LORENTZ auch mit der Elektrodynamik bewegter Körper und mit der Deutung des MICHELSON-MORLEY-Experiments. Er entwickelte 1895 auf der Grundlage der klassischen Vorstellungen Gleichungen, die es ermöglichten, die räumlichen und zeitlichen Koordinaten von einem Inertialsystem in ein anderes umzurechnen. Diese Gleichungen werden als LORENTZ-Transformationsgleichungen oder als LORENTZ-Transformation bezeichnet. Die richtige physikalische Deutung erhielten sie 10 Jahre später durch ALBERT EINSTEIN in seiner speziellen Relativitätstheorie.

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Relativität der Masse

Die Masse ist ein Maß für die Schwere und die Trägheit eines Körpers. In der klassischen Physik wird sie als konstant angesehen. In der speziellen Relativitätstheorie ist es möglich, sie als abhängig von der Geschwindigkeit zu interpretieren, um experimentelle Tatsachen zu erklären. Für diese relativistische Masse mrelm_{\text{rel}} gilt dann:

mrel=m01-v2c2m_\text{rel}=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}Mittlerweile wird diese Interpretation allerdings vermieden. In der aktuellen Forschung wird die Masse auch in Bezug auf die Relativitätstheorie als konstant angenommen.

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Ruheenergie und Gesamtenergie

In der klassischen Physik setzt sich die Energie eines Körpers additiv aus den Energieformen zusammen, die er hat. Masse und Energie sind voneinander unabhängige Größen.
In relativistischer Betrachtungsweise spielt wegen der Äquivalenz von Masse und Energie die Masse des Körpers für die ihm zuzuordnende Energie eine wichtige Rolle. Dabei ist zwischen seiner Ruheenergie und seiner Gesamtenergie zu unterscheiden.

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Zeitdilatation

In der klassischen Physik wird von einer absoluten Zeit ausgegangen, die überall gleichmäßig verläuft. In der speziellen Relativitätstheorie dagegen ist der Zeitbegriff zu relativieren. Die Zeit ist nicht absolut, sondern es gilt vielmehr: Eine bewegte Uhr geht langsamer als eine ruhende Uhr. Ein physikalischer Vorgang dauert in seinem Ruhesystem nicht so lange wie der gleiche Vorgang in einem dazu bewegten System. Diese Erscheinung wird als Zeitdilatation bezeichnet.

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Zwillingsparadoxon

Die Relativität der Zeitmessung wird häufig am Beispiel von Zwillingen diskutiert, die sich in zueinander bewegten Inertialsystemen befinden und wegen der Zeitdilatation unterschiedlich schnell altern. Bezeichnet wird diese Erscheinung als Zwillingsparadoxon.

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Hydraulische Anlagen

Hydraulische und pneumatische Anlagen sind kraftumformende Einrichtungen, bei denen die gleichmäßige und allseitige Ausbreitung des Druckes in Flüssigkeiten bzw. in Gasen genutzt wird. Dabei werden durch Kolbendruck Kräfte übertragen sowie deren Betrag oder deren Richtung geändert.
Beispiele für solche Anlagen sind Hebebühnen, hydraulische Pressen, Wagenheber, Bremsen oder Türöffner bei Bussen und Schienenfahrzeugen.

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