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Neben der Vielfachbildung von Matrizen, d.h. der Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl (einem Skalar), ist es auch möglich, eine Matrix mit einem Vektor bzw. zwei Matrizen miteinander zu multiplizieren.
Im Gegensatz zur Vielfachbildung sind diese Multiplikationen allerdings an bestimmte Voraussetzungen hinsichtlich des Typs der Matrizen bzw. der Dimension des Vektors gebunden.

Für die Produktbildung $A\cdot \overrightarrow{c}$ (Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor) muss vorausgesetzt werden, dass die Anzahl der Spalten in der Matrix A mit der Anzahl der Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{c}$ übereinstimmt.
Die Koordinaten des neuen Spaltenvektors, der durch die Multiplikation $A\cdot \overrightarrow{c}$ entsteht, erhält man jeweils als Summe der Koordinatenprodukte eines Zeilenvektors von A und des Spaltenvektors $\overrightarrow{c}$.

* 23.März 1882 Erlangen
† 14.April 1935 Bryn Mawr (USA)

EMMY NOETHER wirkte bis zu ihrer Emigration in die USA vor allem an der Göttinger Universität, dem damaligen mathematischen Zentrum Deutschlands. Durch Betonung des Strukturellen in der Algebra hatte sie entscheidenden Einfluss auf die Entwicklung der modernen Mathematik zu Beginn des 20. Jahrhunderts.
Zu EMMY NOETHERS Schülern bzw. Diskussionspartnern gehörte eine Reihe namhafter Mathematiker jener Zeit.

Zur Berechnung einer optimalen Transportauslastung mit minimalen Kosten kann ein Verfahren der Matrizenrechnung verwendet werden, das man Decklinienmethode nennt. Es wurde von den ungarischen Mathematikern EGERVARY und KÖNIG entwickelt und wir deshalb mitunter auch ungarische Methode genannt.

Der nach dem englischen Geistlichen THOMAS BAYES (1702 bis 1761) benannte Satz macht Aussagen zum Berechnen bedingter Wahrscheinlichkeiten.
Der Satz von Bayes soll im Folgenden anhand eines Anwendungsbeispieles hergeleitet werden.

* 1702 London
† 17. April 1761 Tunbridge Wells, Kent

Der mathematisch interessierte englische Geistliche THOMAS BAYES beschäftigte sich u.a. mit Fragen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik. Auf ihn geht die sogenannte bayessche Formel zum Berechnen bedingter Wahrscheinlichkeiten zurück.

Um bedingte Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, verwendet man als Hilfsmittel außer ihrer Definition auch Baumdiagramme oder Vierfeldertafeln.
Ein Berechnen bedingter Wahrscheinlichkeiten ist auch mithilfe des allgemeinen Produkt- oder Multiplikationssatzes und des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeiten möglich. Diese beiden Sätze entsprechen der ersten bzw. zweiten Pfadregel im Baumdiagramm.
Anhand eines Anwendungsbeispieles soll im Folgenden das Rechnen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten demonstriert werden.

* 08. Februar 1700 Groningen
† 17. März 1782 Basel

Auf mathematischem Gebiet beschäftigte sich DANIEL BERNOULLI vor allem mit Problemen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik. Darüber hinaus arbeitete er über Reihen und Differenzialgleichungen.
Seine bedeutendsten wissenschaftlichen Leitungen erzielte er auf dem Gebiet der Hydromechanik, indem ihm die mathematische Beschreibung strömender Flüssigkeiten gelang.

Ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ergebnissen heißt BERNOULLI-Experiment. Die beiden Ergebnisse werden Erfolg bzw. Misserfolg genannt und häufig mit 1 bzw. 0 gekennzeichnet.
Mit einem BERNOULLI-Experiment können zufällige Vorgänge in vielen Lebensbereichen hinreichend beschrieben werden, da oftmals nur interessiert, ob ein bestimmtes Ereignis eingetreten ist oder nicht.

* 27. Dezember 1654 (6. Januar 1655) Basel
† 16. August 1705 Basel

JAKOB BERNOULLI gilt als einer der Hauptvertreter der Infinitesimalrechnung seiner Zeit. Gemeinsam mit seinem Bruder Johann entwickelte er den „Leibnizschen Calculus“ weiter.
Mit dem aus seinem Nachlass im Jahre 1713 herausgegebenen Buch „Ars conjectandi“ wurde JAKOB BERNOULLI zum Begründer einer Theorie der Wahrscheinlichkeitsrechnung. In diesem Werk wird u.a. die Anwendung der Kombinatorik auf Glücks- und Würfelspiele beschrieben, und das (schwache) Gesetz der großen Zahlen wird formuliert.

• Eine n-fach und unabhängig voneinander ausgeführte Realisierung eines BERNOULLI-Experiments mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p heißt BERNOULLI-Kette der Länge n und mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p oder kurz BERNOULLI-Kette mit den Parametern n und p.

Dazu betrachten wir im Folgenden ein Anwendungsbeispiel.

Gilt es, Wahrscheinlichkeiten zum Beispiel im Zusammenhang mit der Binomialverteilung oder mit dem Abzählprinzip für die Gleichverteilung zu berechnen, werden als Binomialkoeffizienten bezeichnete Terme verwandt. Es sind dies die Koeffizienten, die beim Entwickeln der n-ten Potenz eines Binoms $\left(a+b\right)$ auftreten.
Sie werden u.a. angewandt, um Wahrscheinlichkeiten (etwa im Zusammenhang mit der Binomialverteilung oder mit dem Abzählprinzip für Mengen) zu berechnen.

Bei der praktischen Anwendung der Binomialverteilung $B_{n;p}$ treten nicht selten große oder sogar sehr große Werte von n (etwa $n=10000$) auf, wodurch das Berechnen der Wahrscheinlichkeiten aufgrund der dabei zu ermittelnden Fakultäten und Potenzen sehr zeitaufwendig wird. Schon frühzeitig versuchte man deshalb, Näherungsformeln für die Binomialverteilung zu finden.

Hier ist es (unter bestimmten Voraussetzungen) günstig, die Binomialverteilung durch eine POISSON-Verteilung oder eine Normalverteilung zu approximieren und entsprechende Näherungsformeln anzuwenden.

Kenngrößen von Zufallsgrößen dienen deren quantitativer Charakterisierung. Wir betrachten im Folgenden binomialverteilte Zufallsgrößen.

* 7. September 1707 Montbard (Frankreich)
† 16. April 1788 Paris

GEORGES-LOUIS LECLERC oder (wie er sich ab 1725 nannte) GEORGES-LOUIS LECLERC DE BUFFON wirkte in Paris und war ein äußerst vielseitiger französischer Wissenschaftler. Das Spektrum seiner Forschungen umfasste sowohl Mathematik und naturwissenschaftliche Disziplinen als auch solche Gebiete wie Literatur und Philosophie.
Das von ihm 1733 der Pariser Akademie vorgetragene (und nach ihm benannte) Nadelexperiment zur näherungsweisen Bestimmung von $\pi$ ist das historisch erste Beispiel für die Anwendung der Monte-Carlo-Methode.

* 16. November 1717 Paris
† 29. Oktober 1783 Paris

JEAN BAPTISTE LE ROND D’ALEMBERT war nicht nur ein bedeutender Mathematiker und Physiker des 18. Jahrhundert, sondern auch ein Philosoph der Aufklärung.
Gemeinsam mit DIDEROT gab er die Encyclopédie, eine Sammlung des gesamten Wissens jener Zeit, heraus.

Wir nähern uns dem Begriff der Dichtefunktion stetiger Zufallsgrößen mittels eines Anwendungsbeispiels.

Die Dreiecksverteilung wird in den meisten Lehrbüchern zur Stochastik kaum erwähnt bzw. nur am Rande behandelt. Das mag seinen Grund darin haben, dass diese Verteilung kein eigenständiges, aus der Praxis stammendes Anwendungsgebiet besitzt.
Die erste Abhandlung über diese Form der Verteilung von Zufallsgrößen in der Geschichte der Wahrscheinlichkeitstheorie stammt vom englischen Mathematiker THOMAS SIMPSON (1710 bis 1761), deshalb spricht man mitunter auch von der simpsonschen Verteilung.

Wählt man in der tschebyschewschen Ungleichung $P\left(\left|X-EX\right|\ge \alpha \right)\le \frac{1}{{\alpha }^2}\cdot D^{2}X$ für den Parameter $\alpha$ Vielfache der Standardabweichung $\sigma =DX=\sqrt{E{\left(X-EX\right)}^2}$, setzt man also $\alpha =n\cdot \sigma$, so erhält man:
$P\left(\left|X-EX\right|\ge n\cdot \sigma \right)\le \frac{1}{{\left(n\cdot \sigma \right)}^2}\cdot {\sigma }^2=\frac{1}{n^2}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert annimmt, der von EX um mindestens das n-fache der Standardabweichung $\sigma$ abweicht, ist folglich höchstens $\frac{1}{n^2}$.
Für die Spezialfälle $n=1;2;3$ ergibt sich dann Folgendes:
$\begin{array}{l}P\left(\left|X-EX\right|\ge \sigma \right)\le 1\\ P\left(\left|X-EX\right|\ge 2\sigma \right)\le \mathrm{0,25}\\ P\left(\left|X-EX\right|\ge 3\sigma \right)\le \mathrm{0,}\overline{1}\end{array}$

Diese aus der tschebyschewschen Ungleichung gewonnenen Aussagen werden als $\sigma \text{-}\mathrm{Re}gel$ oder $3\sigma \text{-}\mathrm{Re}gel$ bezeichnet.

In der Praxis hat es sich als günstig und richtig erwiesen von einer derartigen Menge von Ereignissen eines zufälligen Vorgangs, denen man eine Wahrscheinlichkeit zuordnen möchte, zu fordern, dass sie die im folgenden gezeigten Bedingungen einer Ereignisalgebra E erfüllt.

Der mathematische Begriff des (zufälligen) Ereignisses ist für die Wahrscheinlichkeitstheorie von grundlegender Bedeutung.
Ausgehend von der Erfahrung, dass beim Ablauf zufälliger Vorgänge deren Ergebnis im Rahmen verschiedener Möglichkeiten ungewiss ist, ordnet man in der Wahrscheinlichkeitstheorie jedem Zufallsexperiment eine Ergebnismenge $\Omega$ zu.

• Jede Teilmenge A der Ergebnismenge $\Omega$ eines Zufallsexperiments heißt (zufälliges) Ereignis A.

Spezielle Ereignisse sind das unmögliche und das sichere Ereignis, atomare Ereignisse, Gegenereignisse, unvereinbare sowie unabhängige Ereignisse.

Zwei Ereignisse A und B mit positiver Wahrscheinlichkeit sind genau dann voneinander stochastisch unabhängig, wenn gilt:
$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)$
Man kann diesen Ansatz auf endlich oder abzählbar viele Ereignisse ausdehnen, wobei der Einfachheit halber vorausgesetzt wird, dass alle betrachteten Ereignisse eine positive Wahrscheinlichkeit besitzen. Dabei ist aber Vorsicht geboten. Es ist zum Beispiel möglich, dass die Ereignisse $A_1,A_2,\mathrm{...,}{A}_n$ paarweise voneinander unabhängig sind (d.h., je zwei der Ereignisse sind voneinander unabhängig), die Ereignisse $A_1,A_2,\mathrm{...,}{A}_n$ in ihrer Gesamtheit sind dies aber nicht.

Im Folgenden soll der Begriff der (stochastischen) Unabhängigkeit von zwei Ereignissen A und B  mit positiven Wahrscheinlichkeiten betrachtet werden.
Die Unabhängigkeit von Ereignissen darf nicht mit der Unvereinbarkeit von Ereignissen verwechselt werden.

Da Zufallsgrößen oftmals sehr komplizierte mathematische Gebilde sind, sucht man nach zahlenmäßigen Kenngrößen, die über die Zufallsgröße Wesentliches aussagen und zugleich aus Beobachtungsdaten zumindest näherungsweise einfach zu bestimmen sind.
Eine derartige Kenngröße ist der Erwartungswert.

• Es sei X eine endliche Zufallsgröße, die genau die Werte $x_i\left(miti\in \left\{1;2;\mathrm{...};n\right\}\right)$ annehmen kann, und zwar jeweils mit der Wahrscheinlichkeit $P\left(X=x_i\right)$. Dann nennt man die folgende Kenngröße den Erwartungswert der Zufallsgröße X:
  $EX=x_1\cdot P\left(X=x_1\right)+x_2\cdot P\left(X=x_2\right)+\mathrm{...}+x_n\cdot P\left(X=x_n\right)$

Anmerkung: Für EX schreibt man auch $E\left(X\right),\mu \left(X\right),{\mu }_{X}oder\mu$.

Für die Erwartungswerte von Zufallsgrößen gelten eine Reihe wichtiger und nützlicher Rechneregeln. Der Einfachheit halber sollen hier nur endliche Zufallsgrößen betrachtet werden.
Erwartungswerte können nach diesen Sätzen, nach Definitionen bzw. durch Simulationen bestimmt werden.