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Möndchen des Hippokrates

HIPPOKRATES VON CHIOS (griechischer Mathematiker, um 440 v. Chr.) war der berühmteste Geometer des 5. Jh. v. Chr. Von ihm stammt nach Überlieferung die erste zusammenfassende Darstellung geometrischen Wissens seiner Zeit unter dem Titel „Elemente“ nach dem Schema Voraussetzung, Satz und Beweis.
Eng verbunden ist der Name HIPPOKRATES auch mit zwei berühmten Problemen der Mathematik, der Quadratur des Kreises und der Verdopplung des Würfels.

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Bogenmaß

Zwischen der Größe des Winkels α eines Kreissektors und der Länge b des zugehörigen Bogens besteht eine umkehrbar eindeutige Beziehung. Bezeichnet u die Länge des Umfangs des gesamten Kreises (mit dem Radius r), so gilt:
  b   :   u = α   :   360 °
Mit u = 2 π ⋅ r folgt hieraus:
  b   :   2 π r = α   :   360 °
bzw.
  b = π 180 ° r ⋅ α
Bildet man nun das Verhältnis b r , so ist dies wegen b r = π 180 ° ⋅ α nur von der Größe des Winkels α abhängig. Zu jedem Winkel α , dessen Größe in Gradmaß angegeben ist, gehört also ein eindeutig bestimmter Wert des Verhältnisses b r , der sich mittels π 180 ° ⋅ α berechnen lässt.

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Apollonioskreis

Die Menge aller der Punkte P (einer Ebene), die von einem festen Punkt A doppelt so weit entfernt sind, wie von einem zweiten festen Punkt B, liegt auf einem Kreis, dem sogenannten Apollonios-Kreis.

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Das Barock in Europa

Die Stilrichtung des Barock entwickelte sich am Ende des 16. Jahrhunderts in Italien. Vor allem die katholische Kirche zeigte mit prunkvollen Bauten in der neuen Stilrichtung ihre nach den Glaubenskriegen wiedergewonnene Stärke. Künstler und Architekten schmückten Kirchen und Schlösser, aber auch bürgerliche Stadthäuser mit Gemälden und Stuckverzierungen. Später wurde der Barock zum Rokoko weiterentwickelt. Der Begriff des Barock wurde später auch auf

  • Dichtung,
  • Theater und
  • Malerei,
  • Bildhauerkunst,
  • Musik und
  • Tanz

jener Zeit übertragen.

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Claudius Ptolemäus

CLAUDIUS PTOLEMÄUS, griechischer Astronom und Mathematiker
* um 85 n. Chr. Ägypten
† um 170 n. Chr.  Alexandria

CLAUDIUS PTOLEMÄUS war ein bedeutender antiker Astronom und hat auch Werke über Mathematik, Geografie, Optik und Astrologie hinterlassen. Er entwickelte das geozentrische Weltbild mit der Erde als Mittelpunkt, das bis ins späte Mittelalter die Wissenschaft beherrschte.

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Kreis

Der Kreis ist die Menge aller Punkte der Ebene, die von einem festen Punkt M der Ebene den gleichen Abstand r haben.
M heißt Mittelpunkt, und die Strecke der Länge r, die jeden Punkt des Kreises mit seinem Mittelpunkt verbindet, heißt Radius.
Nach dieser Definition ist der Kreis eine Linie, die Kreislinie. Der Mittelpunkt M gehört nach dieser Definition nicht zum Kreis.
Alle Randpunkte und alle inneren Punkte eines Kreises bilden gemeinsam die Fläche des Kreises, die Kreisfläche.
Aus dem Zusammenhang wird meist deutlich, ob mit dem Wort „Kreis“ die Kreislinie oder die Kreisfläche gemeint ist.

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Berechnungen am Kreis

Um den Umfang u eines Kreises mit dem Durchmesser d zu bestimmen, kann man von den Umfängen eines einbeschriebenen und eines umbeschriebenen Vielecks ausgehen, z. B. eines regelmäßigen Sechsecks. Für den Umfang des Kreises gilt:
u = π ⋅ d = π ⋅ 2 r

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Sehnensatz

Schneiden in einem Kreis zwei Sehnen einander, so ist das Produkt der beiden Abschnitte auf der einen Sehne gleich dem Produkt der Abschnitte auf der anderen Sehne.

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Geraden am Kreis


Geraden und Kreise können verschiedene Lagen zueinander haben:

  • Eine Gerade, die den Kreis in zwei Punkten schneidet, heißt Sekante (Schneidende). Eine Sekante, die durch den Mittelpunkt des Kreises verläuft, nennt man Zentrale.
  • Die Strecke zwischen den Punkten A und B ist eine Sehne des Kreises. Die längste Sehne im Kreis ist der Durchmesser d.
  • Eine Gerade, die den Kreis in einem Punkt berührt, heißt Tangente (Berührende).
  • Eine Gerade, die den Kreis in keinem Punkt schneidet, heißt Passante (Vorbeigehende).
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Winkel am Kreis

Ein Winkel heißt Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel), wenn sein Scheitel im Kreismittelpunkt liegt, Umfangswinkel (Peripheriewinkel), wenn sein Scheitel auf dem Kreis liegt und seine Schenkel den Kreis schneiden, Sehnen-Tangenten-Winkel, wenn sein Scheitel auf dem Kreis liegt und ein Schenkel den Kreis schneidet, der andere den Kreis berührt.

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Kreiszahl

Der Umfang eines Kreises ist proportional zu seinem Durchmesser.
Der Proportionalitätsfaktor heißt Kreiszahl und wird mit dem griechischen Buchstaben π (gesprochen: pi) bezeichnet.

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Apollonios

APOLLONIOS VON PERGE (um 262 bis 190 v. Chr.), griechisch-hellenistischer Mathematiker und Astronom
* um 262 v. Chr. Perge (Pamphylien, heutige Türkei);
† um 190 v. Chr.

APOLLONIOS VON PERGE, auch „der große Geometer“ genannt, war ein Schüler EUKLIDs. Er beschäftigte sich sowohl mit arithmetischen Berechnungen als auch mit der Statistik. Besonders zu erwähnen ist sein Hauptwerk „Conica“, in dem er die Ergebnisse der antiken Kegelschnittlehre zusammenfasste.
APOLLONIOS lieferte auch wichtige Beiträge zur Astronomie. Speziell wandte er geometrische Modelle auf die Planentenbewegung an.

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Wissenstest - Kreis

Hier kannst du dich selbst testen. So kannst du dich gezielt auf Prüfungen und Klausuren vorbereiten oder deine Lernerfolge kontrollieren.

Multiple-Choice-Test zum Thema "Mathematik - Kreis".

Viel Spaß beim Beantworten der Fragen!

WISSENSTEST

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Bildspannung durch Kontraste

Die Zusammenstellung unterschiedlicher Bildelemente/-objekte innerhalb eines Bildgefüges in gegenseitiger Kontrast bildender Intensivierung, welche sich aus ihren Gegensätzen ergibt, führt zu einem Spannungsgefüge (Bildspannung). Ausgehend von den Grundelementen der Gestaltung (Punkt, Linie, Fläche, Struktur, Farbe, ...) bilden diese in ihren verschiedenen Erscheinungsformen Kontraste, welche vom Betrachter als anregend empfunden werden, da sie das Auge reizen und nicht ermüden. Im Gegensatz dazu führt die Zusammenstellung gleichartiger Formqualitäten zu einem harmonischen Gleichgewicht mit einer ruhigen, ausgeglichenen und stetigen Wirkung.

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Flächenformen

Flächen können über das Gemeinsame wahrgenommen werden (z. B. Texturen, Farben) und durch ihre Abgrenzung nach außen. Diese Grenzen werden als Linien empfunden, auch wenn es sich um Kontrastunterschiede handelt. Je stärker der Kontrast ist, um so stärker grenzen sich die Flächen ab. Ähnlichkeitsharmonie und Kontraste sind zwei wesentliche Merkmale von Flächen. Eine Beschränkung nur auf Kontraste würde wieder zu einer linearen Zeichnung führen.

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Architektur und Symbolisierung

Architektonische Gestaltung setzt eine Reihe von Zeichen um (Punkt, Vertikale, Horizontale usw.), deren jedes mit einer ihm eigenen Symbolkraft belegt ist.

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Formgestaltung in der Architektur: Proportion

Unter Form wird die äußere Erscheinung eines Bauwerkes verstanden, seine Struktur, die Gesamtheit seiner Elemente und ihre Beziehungen untereinander. Zu den Gestaltungsprinzipien, die die Form beeinflussen, gehören Komposition, Proportion, Kontrast, Dimension.

Historisch betrachtet, unterlag das Gefühl für Proportionen starken Veränderungen. Das auffallend statische Proportionsgefühl der Antike wird in der Moderne zunehmend durch Kontraste und Dynamik abgelöst.

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Gerichtetheit von Form- und Bildelementen

Zur Wirkung eines Gemäldes trägt ebenso wie Format und Positionierung die Gerichtetheit von Format und Bildelementen bei. Das Querformat kommt dem normalen Seheindruck am nächsten, es betont die horizontalen Linien, während das Hochformat die vertikalen Linien sehr betont.

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Proportion und goldener Schnitt

Künstler haben zu allen Zeiten entsprechend ihrer Gestaltungsabsichten versucht, Ausgewogenheit und Schönheit zu definieren. Ein solches Prinzip ist die Proportion (lat. proportio = Verhältnis), d.h. sie stellt das Verhältnis eines Teiles zum Ganzen dar.

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Arbeiten mit Objekten in Malprogrammen

Objekte stellen eine ganz besondere Daseinsweise von Grafiken und Elementen in Malprogrammen dar. Solange sie als eigenständige Objekte bestehen, können sie fast beliebig ohne Wirkung auf andere Bildteile bearbeitet werden. Zum Malen ergeben sich daraus besondere Möglichkeiten. Softwarehersteller integrieren mittlerweile sehr viele objektbezogene Funktionen in ihre Programme. Dazu gehören neben der Bereitstellung von Standardformen z. B. Funktionen, die es ermöglichen, Objekte in Größe, Form, Farbe, Lage, Helligkeit, Kontrast, Schärfe und Transparenz zu ändern oder sie zu gruppieren, in verschiedenen Ebenen anzuordnen und an einem Raster auszurichten.

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