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Bei allen zueinander ähnlichen rechtwinkligen Dreiecken sind die Quotienten aus den Längen von je zwei einander entsprechenden Seiten gleich.
Für die nebenstehend bzw. in Bild 1 dargestellten Dreiecke ${\text{A}}_{\text{1}}{\text{B}}_{\text{1}}{\text{C}}_{\text{1}}\text{,}{\text{A}}_{\text{1}}{\text{B}}_{\text{2}}{\text{C}}_{\text{2}}\text{und}{\text{A}}_{\text{1}}{\text{B}}_{\text{3}}{\text{C}}_{\text{3}}$, die einander ähnlich sind, gilt nach den Ähnlichkeitssätzen:
$\begin{array}{c}\frac{\overline{{\text{B}}_{\text{1}}{\text{C}}_{\text{1}}}}{\overline{{\text{A}}_{\text{1}}{\text{B}}_{\text{1}}}}=\frac{\overline{{\text{B}}_{\text{2}}{\text{C}}_{\text{2}}}}{\overline{{\text{A}}_{\text{1}}{\text{B}}_{\text{2}}}}=\frac{\overline{{\text{B}}_{\text{3}}{\text{C}}_{\text{3}}}}{\overline{{\text{A}}_{\text{1}}{\text{B}}_{\text{3}}}}\\ \frac{\overline{{\text{A}}_{\text{1}}{\text{C}}_{\text{1}}}}{\overline{{\text{A}}_{\text{1}}{\text{B}}_{\text{1}}}}=\frac{\overline{{\text{A}}_{\text{1}}{\text{C}}_{\text{2}}}}{\overline{{\text{A}}_{\text{1}}{\text{B}}_{\text{2}}}}=\frac{\overline{{\text{A}}_{\text{1}}{\text{C}}_{\text{3}}}}{\overline{{\text{A}}_{\text{1}}{\text{B}}_{\text{3}}}}\\ \frac{\overline{{\text{B}}_{\text{1}}{\text{C}}_{\text{1}}}}{\overline{{\text{A}}_{\text{1}}{\text{C}}_{\text{1}}}}=\frac{\overline{{\text{B}}_{\text{2}}{\text{C}}_{\text{2}}}}{\overline{{\text{A}}_{\text{1}}{\text{C}}_{\text{2}}}}=\frac{\overline{{\text{B}}_{\text{3}}{\text{C}}_{\text{3}}}}{\overline{{\text{A}}_{\text{1}}{\text{C}}_{\text{3}}}}\end{array}$
Solche für zueinander ähnliche rechtwinklige Dreiecke übereinstimmenden Quotienten (Verhältnisse) werden mit Bezug auf einen der beiden nicht rechten Winkel als der Sinus, der Kosinus, der Tangens bzw. der Kotangens dieses Winkels bezeichnet.

Graphen von Winkelfunktionen kann man auf die bekannte Weise unter Verwendung einer Wertetabelle zeichnen.
Es ist allerdings auch möglich, ausgehend von der Definition dieser Funktionen am Einheitskreis die zu einem Winkel als Abszisse eines Graphenpunktes gehörende Ordinate sofort aus der Zeichnung zu entnehmen. Gestützt auf diesen Weg der Konstruktion der Funktionsgraphen lassen sich einige wichtige Eigenschaften der Winkelfunktionen ermitteln.

Die Gleichung zur Berechnung der beiden Lösungen $x_1\text{ und }{x}_2$ der quadratischen Gleichung aus den Parametern p und q heißt Lösungsformel einer quadratischen Gleichung in der Normalform.
Der Term ${\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q$ heißt Diskriminante der quadratischen Gleichung.

Die regula falsi (das Sekantennäherungsverfahren) gehört zu den Näherungsverfahren zum Bestimmen der Lösungen von Gleichungen, bei denen die Anwendung exakter Verfahren zur Berechnung nicht existieren oder in ihrer Handhabung zu aufwendig sind.
Das gilt z. B. für das Bestimmen der Lösungen von Gleichungen dritten oder höheren Grades mit einer Unbekannten, für Wurzelgleichungen, Exponentialgleichungen, Logarithmengleichungen und trigonometrische Gleichungen. Aber auch die Berechnung krummlinig begrenzter Flächen oder krummflächig begrenzter Körper erfordert meist den Einsatz von Näherungsverfahren.

Viele Probleme, bei denen mit drei gegebenen Größen eine vierte berechnet wird, führen auf Verhältnisgleichungen (Proportionen).
Eine Gleichung der Form
$\frac{\text{a}}{\text{b}}=\frac{\text{c}}{\text{d}}\left(\text{a}\text{,b}\text{,c}\text{,d}\ne \text{0}\right)$
heißt Verhältnisgleichung oder Proportion.
Dabei wird der Quotient zweier Größen als Verhältnis bezeichnet. Verhältnisgleichungen haben eine große Bedeutung bei der Prozentrechnung, bei den Strahlensätzen und bei linearen Funktionen der Form y = mx.

Jede Zahl x aus dem Definitionsbereich einer Funktion f, für die
f(x) = 0 gilt, nennt man Nullstelle dieser Funktion.

Eine geometrische Zahlenfolge ist dadurch charakterisiert, dass die Folgenglieder jeweils durch Multiplikation mit dem konstanten Faktor q aus dem vorhergehenden Glied entstehen.
Jedes Folgenglied (außer dem ersten) ist das geometrische Mittel seiner beiden Nachbarglieder.

Eine Funktion f heißt gerade Funktion, wenn mit x auch (–x) zu ihrem Definitionsbereich gehört und für alle Argumente x gilt:
$f\left(-x\right)=f\left(x\right)$
Eine Funktion f heißt ungerade Funktion, wenn mit x auch (–-x) zu ihrem Definitionsbereich gehört und für alle Argumente x gilt:
$f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$

Die Betragsfunktion ist eine stückweise erklärte stetige Funktion. Sie ist folgendermaßen definiert:
$f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}x\text{für }x\ge 0\\ -x\text{für }x<0\end{array}$

Zwischen der Größe des Winkels $\alpha$ eines Kreissektors und der Länge b des zugehörigen Bogens besteht eine umkehrbar eindeutige Beziehung. Bezeichnet u die Länge des Umfangs des gesamten Kreises (mit dem Radius r), so gilt:
$b:u=\alpha :360°$
Mit $u=2\pi \cdot r$ folgt hieraus:
$b:2\pi r=\alpha :360°$
bzw.
$b=\frac{\pi }{180°}r\cdot \alpha$
Bildet man nun das Verhältnis $\frac{b}{r}$, so ist dies wegen $\frac{b}{r}=\frac{\pi }{180°}\cdot \alpha$ nur von der Größe des Winkels $\alpha$ abhängig. Zu jedem Winkel $\alpha$, dessen Größe in Gradmaß angegeben ist, gehört also ein eindeutig bestimmter Wert des Verhältnisses $\frac{b}{r}$, der sich mittels $\frac{\pi }{180°}\cdot \alpha$ berechnen lässt.

Logarithmengleichungen nennt man solche Gleichungen, in denen die Variable im Argument des Logarithmus auftritt.

In einer algebraischen Gleichung werden mit der Variablen nur algebraische Rechenoperationen vorgenommen, d. h., die Variablen werden addiert, subtrahiert, multipliziert, dividiert bzw. potenziert oder radiziert.
Jede algebraische Gleichung kann in der folgenden allgemeinen Form dargestellt werden:
$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\mathrm{...}+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0=0$

Trigonometrische Gleichungen (goniometrische Gleichungen) sind solche Gleichungen, in denen die Unbekannte im Argument von Winkelfunktionen vorkommt.

Funktionen mit Gleichungen der Form
$y=f\left(x\right)=a^x\left(a\in ℝ;a>0;a\ne 1\right)$
heißen Exponentialfunktionen. Ihr Definitionsbereich ist die Menge $ℝ$ der reellen Zahlen.

Eine Funktion, deren Defitionsbereich die Menge der natürlichen Zahlen (oder eine Teilmenge davon) ist und die eine Teilmenge der reellen Zahlen als Wertebereich besitzt, wird (reelle) Zahlenfolge genannt.
Unter der n-ten Partialsumme einer $s_n$ einer Zahlenfolge $\left(a_n\right)$ versteht man die Summe der Folgenglieder von $a_1$ bis $a_n$.

Eine arithmetische Zahlenfolge ist dadurch charakterisiert, dass aufeinanderfolgende Glieder alle den gleichen Abstand d haben. Jedes Folgeglied (außer dem ersten) ist das arithmetische Mittel seiner benachbarten Glieder.

Eine Funktion mit einer Gleichung der Form

$y=f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c(\text{mit }a\ne \mathrm{0,}x\in ℝ)$

oder einer Gleichung, die durch äquivalentes Umformen in diese Form überführt werden kann, heißt quadratische Funktion.
Dabei nennt man $a{x}^2$ das quadratische Glied, bx das lineare Glied und c das absolute Glied der Funktionsgleichung.
Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.

In Funktionsgleichungen können Parameter in additiver und multiplikativer Verknüpfung mit Funktionstermen bzw. mit der Funktionsvariablen auftreten. Aus einer Funktionsgleichung $y=f\left(x\right)$ entstehen so z. B. die Gleichungen $y=f\left(x\right)+c$, $y=f\left(x+d\right)$, $y=a\cdot f\left(x\right)$ oder $y=f\left(b\cdot x\right)$.
Diese Parameter haben Einfluss auf Eigenschaften und Verlauf der Graphen der Funktion.

Jeder direkt proportionale Zusammenhang zwischen zwei Größen y und x kann durch eine spezielle lineare Funktion mit der Gleichung
$y=\left(x\right)=mx+n\left(m\ne 0\right)$
beschrieben werden.
Definitionsbereich und Wertebereich (Wertevorrat) von f ist die Menge der reellen Zahlen $ℝ$. Der Graph von f ist eine Gerade, die durch den Koordinatenursprung verläuft

Eine Funktion f mit einer Gleichung der Form
$y=f\left(x\right)=mx+n\left(m,n\in ℝ\right)$
oder einer Gleichung, die durch äquivalentes Umformen in diese Form überführt werden kann, heißt lineare Funktion.
Für lineare Funktionen ist der Definitionsbereich im Allgemeinen die Menge der reellen Zahlen (so nicht das mathematische oder das entsprechenden Anwendungsproblem einen Einschränkung verlangt), was dann auch für den Wertebereich $\left(m,n\ne 0\right)$ gilt. Die Zahlen m und n sind Parameter.

Koordinatensysteme sind unentbehrliche Hilfsmittel, wenn man geometrische Probleme mit rechnerischen Mitteln lösen will oder umgekehrt die Resultate geometrisch interpretieren möchte, die sich bei der Behandlung bestimmter Probleme mit rechnerischen Methoden ergeben haben.
Am gebräuchlichsten ist das kartesische Koordinatensystem.

Eine Möglichkeit der Darstellung einer Zahlenfolge ist die Angabe einer rekursive Bildungsvorschrift.
Eine rekursive Bildungsvorschrift gibt an, wie man ein beliebiges Glied $a_{n\mathrm{}}$+1 einer Zahlenfolge aus seinem Vorgänger $a_n$ oder auch aus mehreren Vorgängern $a_n,a_{n-1}$ usw. gewinnen kann und wie das Anfangsglied $a_1$ (und ggf. auch noch darauf folgende Glieder) der Folge lautet (lauten).
Beispiel für rekursiv definierte Folgen sind die FIBONACCI-Folge und die sogenannte $\left(3n+1\right)\text{-Folge}$ (ULAM-Folge).

Funktionen mit Gleichungen der Form $y=f\left(x\right)=\sqrt[n]{x^m}\left(x\ge 0;m,n\in \mathbb{N};m\ge 1;n\ge 2\right)$
heißen Wurzelfunktionen.

Gleichungen, bei denen von der Variablen (Unbekannten) direkt oder indirekt der absolute Betrag angegeben ist, sind weder der Gruppe der algebraischen Gleichungen noch der Gruppe der transzendenten Gleichungen zuzuordnen.
Beim Lösen von Gleichungen mit Beträgen sind Fallunterscheidungen vornehmen.
Dies wird für lineare und quadratische Gleichungen demonstriert.

Eine Gleichung nennt man Exponentialgleichung, wenn mindestens ein freie Variable (Unbekannte) als Exponent auftritt.
Exponentialgleichungen können durch Exponentenvergleich, durch Logarithmieren bzw. auf grafischem Wege gelöst werden.