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Eine Funktion heißt umkehrbar eindeutige (eineindeutige) Funktion, wenn nicht nur jedem Argument eindeutig ein Funktionswert zugeordnet ist, sondern auch umgekehrt zu jedem Funktionswert genau ein Argument gehört.

Jedem spitzen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck sind umkehrbar eindeutig Seitenverhältnisse zugeordnet, die man als Sinus, Kosinus, Tangens bzw. Kotangens des betreffenden Winkels bezeichnet. Es handelt sich hierbei also um Funktionen mit der Menge der Winkel $0<x<\frac{\pi }{2}$ als Definitionsbereich und der Menge der Seitenverhältnisse als Wertebereich.
Damit eine Zahl-Zahl-Beziehung entsteht, verwenden wir das Bogenmaß der Winkel.

Mithilfe des Erwartungswertes der Zufallsgröße Gewinn lassen sich Spiele beurteilen.
Ein Spiel heißt fair, wenn der Erwartungswert des (Brutto-)Gewinns gleich dem Einsatz e ist, d. h., wenn
$E\left(G_B\right)=e$
gilt.

Werden Vorgänge mit zufälligem Ergebnis unter gleichen Bedingungen sehr oft wiederholt und wird dabei ein bestimmtes Ereignis E betrachtet, so stellt man fest, dass die relative Häufigkeit $h{}_n\left(E\right)$ für das Eintreten dieses Ereignisses immer weniger um einen festen Wert schwankt. Dies wird als Stabilwerden der relativen Häufigkeit bezeichnet und ist eine Erfahrungstatsache, die auch als empirisches Gesetz der großen Zahlen bekannt ist. Jener stabile Wert der relativen Häufigkeit kann als Maß (Schätzwert) für die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von E gewählt werden.

Ein Stängel-Blatt-Diagramm (bzw. Stamm-Blätter-Diagramm) ist eine Möglichkeit, ungeordnet erfasste Daten für statistische Untersuchungen aufzubereiten. Dabei erfolgt ein Aufspalten der Daten in einen Stängel- und einen Blattteil.

Die mathematische Statistik beschäftigt sich mit dem zahlenmäßigen Erfassen, dem Darstellen und dem Untersuchen bzw. Bewerten von Massenerscheinungen in Natur, Gesellschaft und Technik.
Erhebungen von Angaben über Bevölkerungszahlen und Besitzverhältnisse (Volkszählungen) hat es schon vor und zu Beginn unserer Zeitrechung gegeben. Im 18. Jahrhundert begann man, bevölkerungsstatistische Massenerscheinungen zu untersuchen. Ausgehend von Geburten- und Sterbelisten wurde nun nach Ursachen bestimmter Sterbehäufigkeiten und nach Regelmäßigkeiten, etwa bei der Verteilung von Jungen- und Mädchengeburten, gefragt. Die Daten wurden jeweils in Tabellen oder grafischen Darstellungen erfasst und auf dieser Basis dann Berechnungen durchgeführt. Die Verwendung solcher Methoden kennzeichnet die beschreibende (deskriptive) Statistik.

Eine Zufallsgröße X ist dadurch charakterisiert, dass sie bei unter gleichen Bedingungen durchgeführten Versuchen verschiedene Werte annehmen kann. Man unterscheidet zwischen diskreten und stetigen (kontinuierlichen) Zufallsgrößen.
Während bei einer diskreten Zufallsgröße in einem Intervall nur endlich viele Werte $x_1,x_2\mathrm{...}{x}_n$ möglich sind, kann eine stetige Zufallsgröße beliebig (unendlich) viele Werte annehmen.

Mengen lassen sich in beschreibender oder in aufzählender Form angeben.
Ist x ein Element der Menge M, so schreibt man $\text{x}\in \text{M}$.
Ist x kein Element der Menge M, so schreibt man $\text{x}\notin \text{M}$.

Eine Verschiebung $\overrightarrow{AB}$ (Parallelverschiebung, Translation) ist eine eineindeutige Abbildung der Ebene auf sich selbst, bei der für das Bild P' jedes Punktes P gilt:
$PP\text{'}\parallel AB$ und $AP\parallel BP\text{'}$
$\overrightarrow{AB}$ wird als Verschiebungspfeil bezeichnet. $\overrightarrow{PP}\text{'}$ hat stets die gleiche Länge und Richtung sowie den gleichen Richtungssinn wie $\overrightarrow{AB}$.

Alle regelmäßigen Vielecke (n-Ecke) besitzen gleich lange Seiten und gleich große Innenwinkel und sind damit konvex.
Die Winkelsumme im n-Eck beträgt (n – 2) · 180°.
Im regelmäßigen n-Eck ist diese Winkelsumme gleichmäßig auf alle n Innenwinkel des n-Ecks verteilt.

Eine ebene, von vier Strecken eingeschlossene Figur heißt Viereck.
Die vier Strecken sind die Seiten des Vierecks. Je zwei benachbarte Seiten haben einen Eckpunkt gemeinsam.
Haben zwei Strecken außer den Endpunkten einen weiteren Punkt gemeinsam, so heißt das Viereck überschlagen.
Ein Viereck heißt konvex, wenn für je zwei Punkte im Inneren des Vierecks auch deren Verbindungsstrecke vollständig im Inneren des Vierecks liegt.

Da für zwei kongruente Zahlen $a_1$ und $a_2$ mit $a_1\equiv r_1$ mod b und $a_2\equiv r_2$ mod b die Beziehung $a_1+a_2\equiv r_1+r_2$ mod b gilt, ist der Neunerrest einer Summe gleich der Summe der Neunerreste der Summanden. Man braucht also nur die Reste mod 9 zu untersuchen.
Stimmen die Reste nicht überein, so ist die Rechnung mit Sicherheit falsch. Bei übereinstimmenden Resten ist die Richtigkeit des Resultates zwar nicht sicher, aber wahrscheinlich.
Die Neunerprobe kann auch bei der Subtraktion, Multiplikation und Division angewandt werden.

Beim Rechnen in Positionssystemen (Stellenwertsystemen) ist die Ziffer 0 zur Markierung entsprechender Stellen notwendig. Deshalb führten die Inder bereits vor dem 8. Jahrhundert ein entsprechendes Symbol (einen Punkt bzw. einen Kreis) ein. In Europa setzte sich die Verwendung der Null erst etwa 500 Jahre später und zudem sehr langsam durch. Erst in der Zeit der Rechenmeister fand sie allgemeine Verwendung.

Das Oktalsystem verwendet als Basis die Zahl 8.
Grundziffern sind die Ziffern 0 bis 7.

Der deutsche Mathematiker HERMANN HANKEL formulierte 1867 das Prinzip von der Erhaltung der formalen Rechengesetze. Es besagt, dass bei Erweiterungen eines Zahlenbereiches die Rechengesetze des Ausgangsbereiches nach Möglichkeit auch im erweiterten Bereich gelten sollen. Diese Forderung wird Permanenzprinzip genannt.

Positionssysteme kommen nur in vier Zivilisationen mit geschriebener Sprache vor: in Mesopotamien, in China, in der Mayakultur Zentralamerikas und im alten Indien.
In einem Positionssystem mit der Basiszahl b wird eine Zahl durch eine Folge von Grundziffern $a_i$ dargestellt: Dabei bestimmt die Basiszahl die Anzahl der benötigten Grundziffern. So sind es im Dezimalsystem 10, im Dualsystem 2, im Oktalsystem 8, im Hexadezimalszystem 16 und im Sexagesimalsystem 60 Grundziffern.

Mithilfe der Potenzgesetze kann man sehr große oder sehr kleine Zahlen übersichtlich darstellen. Diese Zahlen werden mit abgetrennten Zehnerpotenzen in der Form
$a,bcd\mathrm{...}\cdot {10}^n$
dargestellt, wobei für die Zahl a vor dem Komma gilt:
0 < a < 10
Zur Abkürzung der positiven und negativen Zehnerpotenzen gibt es Vorsilben („Vorsätze“) wie z. B. Kilo, Milli, Mikro, die bei vielen Einheiten benutzt werden.

Eine Zahl p, die außer den (trivialen) Teilern 1 und p (sich selbst) keine weiteren Teiler hat, heißt Primzahl .
Die Zahl 1 zählt nicht zu den Primzahlen.
Die ersten Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

Immer wieder hat man versucht, Prinzipien zu finden, mit deren Hilfe die nächste Primzahl bestimmt werden kann.
Heute weiß man, dass es keinen geschlossenen Ausdruck (keine Formel) gibt, nach der sich die n-te Primzahl berechnen lässt.
Man weiß aber auch, dass es keine größte Primzahl gibt, d. h., die Menge der Primzahlen ist unendlich.

Der Beweis dafür ist einfach und wird indirekt geführt:
Man nimmt an, pn  sei die größte Primzahl.
Nun bildet man die Zahl z als Produkt aller bekannten Primzahlen,
z235...pn . Für die Zahl z + 1 gilt nun z + 1  1 mod aller pi , d. h. z + 1 ist durch keine der bekannten Primzahlen teilbar. Damit ist z + 1 entweder eine Primzahl (natürlich größer als pn ) oder sie enthält eine Primzahl als Teiler, die aber auch größer als pn  sein muss, oder wir haben eine neue Primzahl gefunden, die kleiner als pn  ist. Also war die Annahme falsch und es gibt keine größte Primzahl.

In der Folge der nach ihrer Größe geordneten Primzahlen gibt es aber auch Lücken beliebiger Länge.

Auch dies ist einfach zu beweisen:
Man bildet das Produkt p aller Zahlen von 2 bis n: p234...n 
Damit ist p + 2 teilbar durch 2; p + 3 teilbar durch 3, ... , p + n teilbar durch n.
Die aufeinanderfolgenden Zahlen p + 2, p + 3, p + 4 bis p + n sind damit allesamt keine Primzahlen, man hat also eine Lücke von der Länge n – 1.

Eine Zahl p, die außer den (trivialen) Teilern 1 und p (sich selbst) keine weiteren Teiler hat, heißt Primzahl.
Die Zahl 1 zählt nicht zu den Primzahlen.
Die ersten Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Immer wieder hat man versucht, Prinzipien zu finden, mit deren Hilfe die nächste Primzahl bestimmt werden kann.
Heute weiß man, dass es keinen geschlossenen Ausdruck (keine Formel) gibt, nach der sich die n-te Primzahl berechnen lässt.
Man weiß aber auch, dass es keine größte Primzahl gibt, d. h., die Menge der Primzahlen ist unendlich.

Schon die Mathematiker der Antike suchten nach einem Verfahren zum Finden von Primzahlen. Bekannt ist ERATOSTHENES (um 230 v. Chr.) der mit dem nach ihm benannten Sieb eine Methode angab, die Primzahlen der Reihe nach zu ermitteln.
Auch PIERRE DE FERMAT, LEONHARD EULER und MARIN MERSENNE haben viel zur Erforschung der Primzahlen beigetragen.

Die Menge der rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ enthält als Teilmenge die Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$, die Menge der ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ und die Menge der Bruchzahlen ${\mathbb{Q}}_{+}$ (Bild 1).
Die Relationen und Rechengesetze, die in diesen Zahlenbereichen gelten, gelten auch im Bereich der rationalen Zahlen.
Rationale Zahlen werden auf einer Zahlengeraden dargestellt.

MUHAMMAD IBN MUSA AL-CHWARIZMI, persisch-arabischer Mathematiker
* um 780 Bagdad (heute in Irak)
† um 850

MUHAMMAD IBN MUSA AL-CHWARIZMI (auch AL-KHWARIZMI) war ein persisch-arabischer Mathematiker, der etwa von 780 bis 850 lebte und insbesondere am Hof des Kalifen AL-MANSUR in Bagdad wirkte.
AL-CHWARIZMI führte die indische Ziffernschreibweise und damit das dekadische Positionssystem in den arabischen Kulturkreis ein und beschrieb diese in einem Lehrbuch, das 820 erschien. In diesem Buch findet man vor allem die Gesamtheit der Regeln (Handlungsvorschriften) zum formalen Lösen von Gleichungen – und aus dem Namen des Autors wurde für Handlungsvorschriften der Begriff „Algorithmus“ abgeleitet.

Als Fundamentalsatz der Algebra wird folgende Aussage bezeichnet:
Jedes Polynom
$P\left(n\right)=x^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+a_{n-2}{x}^{n-2}+\mathrm{...}+a_{1}x+a_0\left(n\ge 1\right)$
hat mindestens eine Nullstelle.
Diese Nullstelle muss nicht reell sein.

Ein Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme mit drei und mehr Unbekannten ist der gaußsche Algorithmus (das gaußsche Elimierungsverfahren).

Gleichungen bzw. Ungleichungen mit demselben Grundbereich, die die gleiche Lösungsmenge haben, heißen zueinander äquivalent.

Die Lösungsmenge einer Gleichung ändert sich nicht, wenn

• die Seiten einer Gleichung vertauscht werden,
• auf beiden Seiten einer Gleichung derselbe Term addiert oder subtrahiert wird,
• beide Seiten einer Gleichung mit demselben Term multipliziert werden,
• beide Seiten einer Gleichung durch denselben Term dividiert werden.

Beim Multiplizieren bzw. Dividieren mit einem bzw. durch einen Term darf dieser für keine Zahl aus der Grundmenge den Wert null annehmen.

ARCHIMEDES von Syrakus, griechischer Mathematiker, Physiker und Erfinder
* um 287 v. Chr. Syrakus
† 212 v. Chr. Syrakus

ARCHIMEDES gewann viele seiner Ergebnisse auf experimentellem Wege und wandte sie auch an. Auf dem Gebiet der Mathematik beschäftigte er sich insbesondere mit geometrischen Inhalten.