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Für Winkel x mit $\frac{\pi }{2}<\text{x}<2\pi$ lassen sich aufgrund der Definitionen der Sinus-, der Kosinus- und der Tangensfunktion Zusammenhänge zwischen den Werten dieser Funktionen aus dem I. und dem II. bis IV. Quadranten ableiten. Man nennt diese Zusammenhänge Quadrantenbeziehungen.

Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks sind die Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten. Die drei Mittelsenkrechten schneiden einander in genau einem Punkt. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt eines Kreises, auf dem alle Eckpunkte des Dreiecks liegen. Man nennt diesen Kreis den Umkreis des Dreiecks.

Haben zwei Geraden verschiedene Richtungen, so schneiden sie einander in einem Punkt.
Ein Sonderfall für Geraden verschiedener Richtungen sind zueinander senkrechte Geraden.
Zwei Geraden g und h heißen zueinander senkrecht (orthogonal) genau dann, wenn sie sich unter einem rechten Winkel schneiden.

Ein Pantograf ist ein Gerät zum maßstäblichen Übertragen von Vorlagen. Seine einfachste Form besteht aus vier Streben, die zu einem in den Eckpunkten beweglichen Parallelogramm zusammengefügt sind.
Das Zeichengerät besitzt einen Fahrstift, mit dem die Linien der Originalzeichnung nachgezeichnet werden, und einen Zeichenstift, der die Zeichnung maßstäblich nachzeichnet.
Als Arbeitsinstrument wird der Pantograf besonders von technischen Zeichnern und Architekten benutzt.

Die Geraden g und h sind genau dann zueinander parallel (in Zeichen: g || h), wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben oder wenn sie gleich sind.
Zu jeder Geraden g gibt es beliebig viele Parallelen. Beispielsweise durch Parallelverschiebung können sie gezeichnet werden. Durch Angabe eines Punktes P wird aus allen diesen Parallelen eindeutig genau jene Gerade h ausgewählt, die durch P verläuft. Andererseits kann durch jeden Punkt P, der mit einer Geraden in einer Ebene liegt, nicht aber zur Geraden gehört, genau eine Gerade g' gezogen werden, die zu g parallel ist.

Schneiden in einem Kreis zwei Sehnen einander, so ist das Produkt der beiden Abschnitte auf der einen Sehne gleich dem Produkt der Abschnitte auf der anderen Sehne.

HIPPARCHOS VON NIKAIA (etwa 190 bis 125 v. Chr.), einer der bedeutendsten Astronomen der Antike, gilt als Begründer der sphärischen Trigonometrie. Seine Bücher sind nicht erhalten geblieben, er besaß aber wahrscheinlich Sehnentafeln. In der Antike wurden Tafeln, die Zusammenhänge zwischen Winkeln und Längen erfassten, auf den Kreis bezogen (deshalb Sehnentafeln), erst im 16. Jahrhundert erfolgte der Übergang zum rechtwinkligen Dreieck.

Die Durchschnittsmenge (Schnittmenge) von A und B ($A\cap B$) ist die Menge aller Elemente, die in A und zugleich in B enthalten sind.

$A\cap B=\left\{x\text{:}x\in A\wedge x\in B\right\}$ (gesprochen: A geschnitten B)
Das Zeichen $„\wedge “$ steht für das Bindewort „und“.

Besitzt ein Viereck einen Umkreis, so nennt man es Sehnenviereck.
Alle gleichschenkligen Trapeze, alle Rechtecke und damit auch alle Quadrate besitzen einen Umkreis.
Unter dem Umkreis eines n-Ecks versteht man den Kreis, der durch alle Eckpunkte des n-Ecks geht. Die Seiten des n-Ecks sind Sehnen des Umkreises.
Für alle Sehnenvierecke gilt folgender Satz:
Die Summe gegenüberliegender Winkel im Sehnenviereck ist 180°.

In einem Dreieck heißen die Strecken von einem Eckpunkt zu dem Mittelpunkt der jeweiligen Gegenseite Seitenhalbierende. Die Seitenhalbierenden werden mit s bezeichnet.
Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden einander stets in einem Punkt S. Dieser Punkt heißt Schwerpunkt des Dreiecks.

Der Sinussatz verbindet gegenüberliegende Größen (Seiten und Winkel) im allgemeinen Dreieck. Sind zwei einander gegenüberliegende Größen gegeben, so kann zu einer dritten die gegenüberliegende Größe berechnet werden.

Eine Figur aus zwei Strahlen mit gemeinsamem Anfangspunkt Z, die von zwei zueinander parallelen Geraden geschnitten wird, heißt Strahlensatzfigur mit dem Zentrum Z.

Mithilfe der Strahlensätze kann eine Strecke durch Konstruktion in einem beliebigen rationalen Verhältnis geteilt bzw. mit einem beliebigen rationalen Faktor vervielfacht werden.

CLAUDIUS PTOLEMÄUS, griechischer Astronom und Mathematiker
* um 85 n. Chr. Ägypten
† um 170 n. Chr.  Alexandria

CLAUDIUS PTOLEMÄUS war ein bedeutender antiker Astronom und hat auch Werke über Mathematik, Geografie, Optik und Astrologie hinterlassen. Er entwickelte das geozentrische Weltbild mit der Erde als Mittelpunkt, das bis ins späte Mittelalter die Wissenschaft beherrschte.

Die Kollinearität beschreibt die Lagebeziehungen mehrerer Punkte.
Zwei Punkte sind stets kollinear, da sie eindeutig eine Gerade festlegen – die Verbindungsgerade. Drei und mehr Punkte heißen kollinear genau dann, wenn sie auf ein und derselben Geraden liegen.
Somit sind alle Punkte, die in einer Geraden enthalten sind, kollinear.
Die Verbindungsstrecken dreier nicht kollinearer Punkte bilden ein Dreieck.

Eine Spiegelung ist eine Kongruenzabbildung in der Ebene. Man unterscheidet Punktspiegelung und Geradenspiegelung (Achsenspiegelung).
Eine Punktspiegelung am Punkt Z ist eine eineindeutige Abbildung der Ebene auf sich selbst, bei der für das Bild P' jedes Punktes P gilt:

• P' liegt auf dem Kreis um Z durch P.
• P' liegt auf der Geraden durch P und Z.

PYTHAGORAS VON SAMOS (etwa 580 bis etwa 500 v. Chr.), griechischer Philosoph und Mathematiker

PYTHAGORAS vertrat als Philosoph die mystische Lehre von der Zahl als Urprinzip aller Dinge und von der harmonischen Ordnung als höchstes kosmologisches Gesetz. Seine Lehren sind schwer zu trennen von den Auffassungen des Geheimbundes der Pythagoreer.
Der Satz des Pythagoras kann wohl als bekanntester Satz der (Schul-)Mathematik bezeichnet werden.

Die Satzgruppe des Pythagoras, voran der Satz des Pythagoras, zählt wegen ihrer großen Bedeutung für Berechnungen und Beweisführungen zu den berühmtesten der Planimetrie. Seine Endeckung wird meist PYTHAGORAS VON SAMOS (um 580 bis 500 v. Chr.) zugeschrieben, was in dieser Absolutheit sicher nicht richtig ist.

Der Grund, der PYTHAGORAS dazu bewogen haben könnte seine griechische Heimat zu verlassen, ist schwer nachzuvollziehen. Fest steht, dass er als Vierzigjähriger (um 530 v. Chr.) nach Unteritalien in den antiken Ort Kroton, dem heutigen Crotone in Kalabrien, übersiedelte. Dort unterrichte er anfangs die Jugend in griechischer Weisheit. Er benutzte seine Lehrtätigkeit aber vor allem dazu, sich eine Anhängerschaft heranzuziehen, was schließlich in der Gründung einer „Schule“ mündete.

Die Differenzmenge $A\backslash B$ (gesprochen: A ohne B) ist die Menge aller Elemente, die in A und nicht in B enthalten sind.
$A\backslash B=\left\{x\text{:}x\in A\wedge x\notin B\right\}$

Ein Viereck, bei dem je zwei benachbarte Seiten zueinander senkrecht und gleich lang sind, heißt Quadrat.
Gleichwertig sind auch folgende Aussagen:

• Ein Quadrat ist ein Rechteck mit gleich langen Seiten.
• Ein Quadrat ist eine Raute (ein Rhombus) mit rechten Winkeln.

Das Quadrat ist ein regelmäßiges Viereck.

Unter der Quadratur des Kreises versteht man die zeichnerische Umwandlung einer Kreisfläche in ein flächeninhaltsgleiches Quadrat nur mithilfe von Zirkel und Lineal.
Die Quadratur des Kreises nur mit Zirkel und Lineal ist unmöglich.
Diese geometrische Konstruktion gehört neben der Dreiteilung eines beliebigen Winkels und der Verdopplung eines Würfels zu den klassischen Problemen der Geometrie.

Ein Viereck mit vier gleich langen Seiten heißt Raute (Rhombus). Neben den Eigenschaften eines Parallelogramms (Parallelität der gegenüberliegenden Seiten) besitzt die Raute folgende Merkmale:
1. Die Seiten sind gleich lang.
2. Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander.
3. Die Diagonalen halbieren die Innenwinkel.

Ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel ist ein Rechteck.
Für das Rechteck gilt demzufolge:

• Die gegenüberliegenden Seiten sind gleich lang und zueinander parallel.
• Benachbarte Seiten sind rechtwinklig zueinander.
• Alle vier Innenwinkel sind gleich groß. Sie betragen 90°.
• Die Diagonalen sind gleich lang und halbieren einander.

Der Computer ist in der Geometrie vor allem bei der Veranschaulichung komplexer Objekte und Sachverhalte hilfreich. Geeignete Software kann die Genauigkeit von Konstruktionen deutlich erhöhen.
Generell kann man zwischen statischer Geometriesoftware und dynamischer Geometriesoftware (DGS) unterscheiden.