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Brechungsgesetz

Für die Brechung von Licht an einer Grenzfläche zwischen zwei lichtdurchlässigen Stoffen gilt das Brechungsgesetz. Es lautet:

Geht Licht von einem Stoff in einen anderen über, so gilt:

sin   α sin   β = c 1 c 2      oder      sin   α sin   β = n                             α      Einfallswinkel                              β     Brechungswinkel                         c 1 ,   c 2    Lichtgeschwindigkeiten in den                                    Stoffen 1 und 2                              n      Brechzahl

Einfallender Strahl, Einfallslot und gebrochener Strahl liegen in einer Ebene.

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Brechung von Licht

Fällt Licht geneigt auf die Grenzfläche zwischen zwei verschiedenen Stoffen, dann wird es in der Regel aus seiner ursprünglichen Ausbreitungsrichtung abgelenkt. Diesen Vorgang bezeichnet man als Brechung.
Die wesentliche Voraussetzung für das Zustandekommen der Brechung ist eine unterschiedliche Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes in den Stoffen, die aneinander grenzen.

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Komplexometrie

Die Komplexometrie hat sich in den letzten Jahren zu einem wichtigen quantitativen Analyseverfahren der Chemie in Forschung und Industrie entwickelt, denn sie besticht durch sehr genaue Ergebnisse und ihre einfache und vielseitige Anwendung. In diesem Abschnitt wird die Komplexometrie genauer vorgestellt, indem das zugrundeliegende Verfahren und verschiedene Titrationsmethoden beschrieben werden.

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Zum Begriff „Bestimmtes Integral“

Im Folgenden betrachten wir Überlegungen zur Definition des Begriffes „Bestimmtes Integral“.

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Galton-Brett

Ein GALTON-Brett dient zum Veranschaulichen von Binomialverteilungen. Es ist nach dem englischen Naturforscher Sir FRANCIS GALTON (1822 bis 1911) benannt.

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Empirisches Gesetz der großen Zahlen

Das empirisches Gesetz der großen Zahlen, welches JAKOB BERNOULLI (1655 bis 1705) als „theorema aureum“ (goldenen Satz) bezeichnet hat, lautet folgendermaßen:

  • Ist A ein Ereignis eines Zufallsexperiments, so stabilisieren sich bei einer hinreichend großen Anzahl n von Durchführungen dieses Experiments die relativen Häufigkeiten h n ( A ) .
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Normalverteilung (Gauß-Verteilung)

Auf der Suche nach „dem durchschnittlichen, dem normalen Menschen“ (l' homme moyen) ließ der auf vielen Gebieten tätige belgische Wissenschaftler LAMBERT ADOLPHE JACQUES QUÉTELET (1796 bis 1874) in den 30er Jahren des 19. Jahrhunderts biometrische Messungen in großem Umfang durchführen. In vielen Fällen wurde dabei seine Vorstellung bestätigt, dass die Häufigkeitsverteilung der gemessenen Werte (etwa zum Brustumfang) einer symmetrischen Glockenkurve entspricht. Das mag wohl auch ein wichtiger Grund dafür gewesen sein, dieser gleichsam als naturgemäß angesehenen Verteilung den Namen Normalverteilung zu geben, wobei diese Bezeichnung auch zu allerlei Fehldeutungen führte – vor allem dann, wenn alles nicht Normalverteilte als anormal eingestuft wurde.

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Simulation

Als Simulation bezeichnet man die Nachbildung (das Nachahmen) eines Zufallsversuchs mithilfe eines geeigneten Zufallsgeräts. Als Zufallsgeräte werden Würfel oder Münzen verwendet, mitunter arbeitet man auch mit (in Tabellen zusammengestellten) Zufallszahlen (Zufallsziffern).

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Christliche Missionierungsarbeit

In ihren Anfängen ist die deutsche Literatur sprachlich kein einheitliches, sondern vielmehr ein mehrsprachiges Gebilde, wobei das Latein als „Hochsprache“ aller germanischen Stämme fungierte. Kulturell fand durch die Eroberungen die Durchmischung der germanischen Stämme statt. Politisch gesehen ist das spätere Deutschland durch die fränkischen Stämme und deren Herrscher bestimmt.
Unter KARL DEM GROSSEN kam es unter Einbeziehung der christlichen Kirche zur Christianisierung der von ihm eroberten sächsischen Lande. Die in dieser Zeit entstandene Literatur trug Missions- und Bildungscharakter. Im 10. Jahrhundert war die christliche Missionierung auf dem kolonisierten Gebiet der Sachsen beendet. Die deutsche Literatur im 10.–12. Jahrhundert wurde vor allem in Klöstern geschrieben.

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Renaissance

Als Epoche der Renaissance wird die Zeit zwischen 1350 und dem Beginn des 16. Jh. in Europa bezeichnet. Sie kennzeichnet die kulturelle Bewegung in Europa im Übergang vom Mittelalter zur Neuzeit.

Im 14. und 15. Jahrhundert entwickelten sich in Europa neue philosophische Strömungen, die die Weltanschauung stark verändern sollten und eine Gegenbewegung zur Scholastik und der damaligen kirchlichen Autorität darstellten.
Die Art des neuen Denkens wirkte sich u. a. auch auf die Literatur aus. Allerdings blieb die humanistische Bewegung in Deutschland auf die Gelehrten und also auf die lateinische Sprache beschränkt. Die Renaissance brach sich in Kunst und Architektur als zeitgemäßer Ausdruck des Territorialfürstentums Bahn.

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Jena

Jena war um 1800 eine wichtige Stadt des deutschen Geisteslebens.

Die Romantiker gehörten zur ersten Avantgarde Europas. Sie bildeten neue Formprinzipien, die sich auf die Literatur späterer Epochen auswirkten. FRIEDRICH VON SCHLEGEL war Wortführer und wichtigster Theoretiker.

Die Autoren schrieben in allen wichtigen Gattungen, jedoch wurden vor allem der Roman und die Lyrik zu bleibenden Zeugnissen romantischer Literatur, die oft bewusst fragmentarisch blieb: Der Leser sollte der Vollender eines literarischen Werkes sein.

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Zweite Lautverschiebung

Die zweite oder hochdeutsche Lautverschiebung vollzog sich von etwa 500 bis 800 n. Chr. Sie begann in den Alpen und breitete sich mit unregelmäßiger Konsequenz bis in den Norden aus. An der „Benrather Linie“, der deutschen Ost-West-Furche, verebbte diese sprachliche Bewegung.

Die zweite Lautverschiebung kennzeichnet die Trennung des Hochdeutschen vom Niederdeutschen. Der Übergang vom Germanischen zum Althochdeutschen vollzog sich mit bestimmten Veränderungen.

Sie betrafen vor allem

  • die stimmlosen Verschlusslaute im Anlaut und in der Verdopplung,
  • die stimmlosen Verschlusslaute nach einem Vokal und
  • die stimmhaften Verschlusslaute b, d, g.

Die Konsonantenverschiebung ist die am tiefsten greifende Veränderung in der Geschichte der deutschen Sprache.

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Sieben Jahre Krieg um eine Provinz – die europäischen Großmächte und Friedrich II.

Nach dem Tod des deutschen Kaisers in Wien erbte MARIA THERESIA die habsburgischen Länder. Während andere Staaten mit der Anerkennung der neuen Herrscherin noch zögerten, handelte FRIEDRICH, kühl seinen Vorteil ausnutzend, und marschierte noch im Dezember 1740 in Schlesien ein, um es für Preußen zu erobern.
Sachsen und Bayern, selbst die Franzosen erklärten nun ebenfalls Österreich den Krieg. Aber die Königin gewann die Hilfe der Ungarn und konnte die Bayern und Franzosen aus Böhmen vertreiben. Mit dem Preußenkönig aber musste sie verhandeln und ihm Schlesien abtreten. Weil FRIEDRICH II.. wusste, dass MARIA THERESIA bei der ersten Gelegenheit die Provinz zurückerobern würde, führte er noch zweimal Krieg gegen sie, um Schlesien zu behaupten.
Als Folge des Kolonialkriegs zwischen Frankreich und England in Nordamerika hatten sich Preußen mit England und Frankreich in einer großen Koalition mit Österreich, Russland, Sachsen und Schweden verbündet.

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PETER I., der Große

* 9.6. 1672 in Moskau
† 8.2. in Sankt Petersburg

PETER I. war Sohn des Zaren ALEKSEJ MICHAJLOWITSCH. Allerdings sollte nicht er, sondern sein Halbbruder FJODOR III. die Nachfolge des Vaters antreten. Als dieser jedoch starb, wurde PETER zum Zaren ausgerufen. Während seiner Regierungszeit kam es zu entscheidenden Wandlungen in Russland. Der Zar orientierte sich an westlicher Lebensweise und führte am Hofe westeuropäische Etikette und Kleiderordnung ein. Den Widerstand der traditionsbewussten Strelitzen brach er, indem er ihre Revolte blutig niederschlagen ließ. Aus den Niederlanden brachte PETER moderne Technologien des Schiffbaus nach Russland, die ihm im Krieg gegen Schweden um die Vorherrschaft in der Ostsee zugutekamen. PETER schuf einen modernen absolutistischen russischen Staat.

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Die Polnischen Teilungen

Die innere Schwäche des vom Adel dominierten und von einem weitgehend machtlosen König regierten Polen machte das Land zu einer leichten Beute seiner machtbesessenen Nachbarn. Preußen, Russland und Österreich teilten das Territorium und die Bevölkerung von Polen in drei Polnischen Teilungen unter sich auf. Die dritte Polnische Teilung bedeutete zugleich das Ende des Staates Polen.
Mit der Auflösung des Staates Polen konnten die Teilungsmächte jedoch die polnische Nation zu keiner Zeit auslöschen. Vielmehr belasteten die Teilungen in späteren Zeiten, in denen nationalistische Denkweisen vorherrschten, zunehmend das Verhältnis zwischen Nachbarvölkern im östlichen Mitteleuropa.

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Die englischen Kolonien in Amerika

Den Entdeckern und den Kaufleuten folgten die Auswanderer nach Amerika. Ab dem 17.Jahrhundert wanderten Menschen aus verschiedenen Regionen Europas in die englischen und französischen Kolonien in Nordamerika ein. Sie suchten oft Schutz vor politischer Verfolgung und Freiheit für die Ausübung ihrer Religion. Franzosen und Deutsche verließen ihre Heimat, um nicht von den absolutistischen Fürsten zum Soldatendienst gezwungen zu werden.
Die Kolonisten in Nordamerika brauchten Arbeitskräfte. Ackerland war billig und reichlich vorhanden, aber Arbeitskräfte waren rar und teuer. Deshalb wurde armen Europäern, die auswandern wollten, aber kein Geld hatten, die Überfahrt nach Amerika bezahlt. Dafür mussten sie als Vertragsknechte auf einer Farm arbeiten. Wenn sie ihre Schulden abgearbeitet hatten, konnten sie wieder frei werden.

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Physikalische Größen

Physikalische Größen sind spezielle Fachbegriffe. Sie unterscheiden sich von anderen Fachbegriffen dadurch, dass sie messbare Eigenschaften von Objekten beschreiben. Neben der physikalischen Bedeutung kann auch der Wert der Größe in Form eines Zahlenwertes und einer Maßeinheit angegeben werden. Darüber hinaus gibt es für jede Größe ein Formelzeichen.
Bei den physikalischen Größen kann man unterscheiden zwischen vektoriellen und skalaren Größen sowie zwischen Zustands- und Prozessgrößen. Einen speziellen Charakter haben Erhaltungsgrößen und Wechselwirkungsgrößen. Gesondert abgehoben werden manchmal auch Stoffkonstanten und Naturkonstanten.

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Zeiten großer Umwälzungen: Weltbürgertum vs. Absolutismus

Das Zeitalter des Barock barg die gesellschaftlichen Veränderungen, die sich in der Aufklärung zeigen, bereits in sich. Der sich ausformende absolutistische Staat brauchte Beamte, die den Staat verwalteten, und Geld, um die wachsenden Ausgaben des Staates zu bezahlen. Es wurden Reformen nötig.
In Preußen wurde 1717 die allgemeine Schulplicht eingeführt. Die Forderung der Aufklärer nach Trennung von Staat und Kirche wurde de facto jedoch erst mit der Weimarer Republik erfüllt. Die Krise von Religion und Denken führte im religiösen Bereich zur Herausbildung pietistischer Auffassungen, philosophisch jedoch trug der Begriff der Vernunft zum Wandel der Geisteshaltungen bei.

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Richtungsfeld einer Differenzialgleichung

Gewöhnliche Differenzialgleichungen beschreiben Kurvenscharen in der Ebene. Eine Differenzialgleichung 1. Ordnung ordnet jedem Punkt der xy-Ebene einen Wert zu (vorausgesetzt, dass für den Punkt ein Wert definiert ist), welcher der Richtung der Tangente der Integralkurve in diesem Punkt entspricht, ein sogenanntes Linienelement.
Die Gesamtheit der Linienelemente ist das durch die Differenzialgleichung beschriebene Richtungsfeld. Das Bestimmen der Lösung der Differenzialgleichung ist das Bestimmen der Kurven, die auf dieses Richtungsfeld „passen“.

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Kartesisches Koordinatensystem

Unter einem Koordinatensystem versteht man im euklidischen Raum ℝ 3 ein System von drei skalierten Geraden, die durch einen gemeinsamen Punkt, den Ursprung O, verlaufen und nicht in einer Ebene liegen (Analoges gilt für die Ebene).
Eine besondere Bedeutung besitzen Koordinatensysteme, bei denen die Achsen jeweils einen rechten Winkel bilden. Diese werden nach dem französischen Mathematiker RENÈ DESCARTES (1596 bis 1650) kartesische Koordinatensysteme genannt.

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Eigenschaften des Vektorprodukts

Für das Vektorprodukt gelten das Alternativgesetz und das Distributivgesetz.
Das Assoziativgesetz dagegen trifft im Allgemeinen nicht zu.
Geometrische Anwendungen sind neben der Berechnung des Flächeninhalts (von Parallelogrammen) das Bestimmen des Schnittwinkels zweier Ebenen, das Ermitteln des Normalenvektors einer Ebene oder das Berechnen des Abstands zweier windschiefer Geraden.

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Ebenengleichungen

Eine Ebene ist durch drei Punkte bzw. einen Punkt und zwei (linear unabhängige) Richtungsvektoren eindeutig bestimmt.
Hieraus resultieren die analytischen Beschreibungsmöglichkeiten durch entsprechende Ebenengleichungen in parameterfreier Form (Koordinatengleichung, Achsenabschnittsgleichung) und in vektorieller Form (Dreipunktegleichung, Punktrichtungsgleichung).

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Spezielle Ebenen im Raum

Ausgehend von der parameterfreien Gleichung einer Ebene erhält man über die Spezialisierung der Koeffizienten a, b, c und d spezielle Lagen der Ebene im Raum.
Speziell für d = 0 verläuft die Ebene durch den Koordinatenursprung.

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Punktrichtungsgleichung einer Geraden

Die Betrachtung eines Anwendungsbeispiels führt zur Punktrichtungsgleichung einer Geraden in der Ebene. Aus der Parameterform der Punktrichtungsgleichung einer Geraden wird anschließend eine parameterfreie Gleichung ermittelt.

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Benrather Linie

Die zweite oder hochdeutsche Lautverschiebung unterscheidet vor allem die hochdeutschen Mundarten von den anderen germanischen Sprachen. Sie begann etwa 500 n.Chr. in den Alpen und breitete sich mit unregelmäßiger Konsequenz bis in den Norden aus. An einer Linie, die von Aachen über Düsseldorf, Kassel, Aschersleben, die Saalemündung, Wittenberg, Doberlug, Lübben nach Frankfurt an der Oder führt, verebbte diese sprachliche Bewegung.

Da sie bei Benrath (nahe Düsseldorf) den Rhein quert, wird sie „Benrather Linie“ genannt.
Sie ist die Hauptlinie der Lautveränderung, die den deutschen Sprachraum teilte: Nördlich dieser Linie wird Niederdeutsch (bzw. wurde Altsächsisch) gesprochen, südlich davon Hochdeutsch (bzw. Althochdeutsch). Der charakteristischen Lautverschiebung k > ch nach wird die Benrather Linie auch als „maken-machen-Linie“ bezeichnet. Die im hochdeutschen Sprachraum vollzogene Konsonantenverschiebung ist die tiefgreifendste Veränderung in der Geschichte der deutschen Sprache. Sie führte zur Herausbildung der verschiedenen deutschen Mundarten wie Friesisch, Fränkisch, Schwäbisch, Bairisch, Alemannisch.

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