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Gleichungen mit absoluten Beträgen

Gleichungen, bei denen von der Variablen (Unbekannten) direkt oder indirekt der absolute Betrag angegeben ist, sind weder der Gruppe der algebraischen Gleichungen noch der Gruppe der transzendenten Gleichungen zuzuordnen.
Beim Lösen von Gleichungen mit Beträgen sind Fallunterscheidungen vornehmen.
Dies wird für lineare und quadratische Gleichungen demonstriert.

Geronimo Cardano

* 24. September 1501 Pavia
† 21. September 1576 Rom

GERONIMO CARDANO arbeitete auf dem Gebiet der Algebra und beschäftigte sich insbesondere mit dem Lösen kubischer Gleichungen. Die nach ihm benannte Lösungsformel (die cardanische Formel) stammt allerdings vom venezianischen Rechenmeister NICCOLÒ TARTAGLIA.
CARDANOS Studie „Liber de ludo aleae“ gilt als erste systematische Untersuchung auf dem Gebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Auf CARDANO gehen physikalische Erfindungen wie das Kardangelenk, die Kardanwelle bzw. die kardanische Aufhängung zurück. Zudem beschreib er als Erster den Verlauf der Typhuskrankheit.

Gabriel Cramer

* 31.07.1704 Genf
† 04.01.1752 Bagnols-sur-Cèze, Frankreich

Die Verdienste des Schweizers GABRIEL CRAMER liegen vor allem darin, dass er wesentlich zur Verbreitung mathematischer Ideen seiner Zeit beigetragen hat.
Mit seinem Namen verbunden ist die cramersche Regel, die zur Lösung linearer Gleichungssysteme mithilfe von Determinanten benutzt wird.

Zwei- und dreireihige Determinanten

Die Determinante (Bestimmende) ist eine Funktion, die jeder quadratischen Matrix (n Zeilen und n Spalten) eine reelle Zahl zuordnet (interaktives Rechenbeispiel). Sie kann also als eine Funktion von $n^{2}$ Variablen aufgefasst werden und besteht aus Summanden, die Produkte aus den einzelnen Matrixelementen sind.
Der Wert einer Determinante kann mithilfe des Entwicklungssatzes von LAPLACE (über Unterdeterminanten) berechnet werden.
Ein Hilfsmittel für die Berechnung speziell dreireihiger Determinaten ist die Regel von SARRUS.

Diophantos von Alexandria

Der griechische (hellenistische) Mathematiker DIOPHANTOS VON ALEXANDRIA lebte um 250 und behandelte lineare und quadratische Gleichungen. Bei ihm finden sich erste Ansätze algebraischer Bezeichnungsweisen und Verfahren. Nach ihm benannt sind die sogenannten diophantischen Gleichungen.

Gaußsches Eliminierungsverfahren (Gauß-Algorithmus)

Das auf CARL FRIEDRICH GAUSS (1777 bis 1855) zurückgehende Verfahren beruht auf dem Additions- bzw. Subtraktionsverfahren (Verfahren der gleichen Koeffizienten).
Die Lösungsstrategie besteht in der äquivalenten Umformung des gegebenen Gleichungssystems mit mehreren Variablen (Unbekannten) in eine Gleichung mit nur einer Unbekannten.

Lösen von Anwendungsaufgaben mithilfe von Exponentialgleichungen

Eine Reihe von inner- und außermathematischen Anwendungsaufgaben führt auf das Lösen von Exponentialgleichungen.
Als Beispiele werden Aufgaben zur Zinseszinsrechnung, zum atmosphärischen Luftdruck sowie zum Entladen eines Kondensators angegeben.

Lösen von Exponentialgleichungen

Eine Gleichung nennt man Exponentialgleichung, wenn mindestens ein freie Variable (Unbekannte) als Exponent auftritt.
Exponentialgleichungen können durch Exponentenvergleich, durch Logarithmieren bzw. auf grafischem Wege gelöst werden.

Die cardanische Formel

Eine Lösungsformel für eine kubische Gleichung oder Gleichung dritten Grades wurde in der Renaissance gefunden und im Jahre 1545 veröffentlicht.
Sie ist nach dem italienischen Mathematiker und Arzt GERONIMO CARDANO (1501 bis 1576) benannt, obwohl sie eigentlich auf NICCOLÒ TARTAGLIA (etwa 1500 bis 1557) zurückgeht.

Nobelpreisträger

Die Verleihung von Nobelpreisen hatte der schwedische Chemiker und Unternehmer ALFRED NOBEL, der von 1833 bis 1896 lebte, 1895 in seinem Testament verfügt. Der Nobelpreis wird seit 1901 jährlich zum Todestag von ALFRED NOBEL am 10. Dezember in den Bereichen Physik, Chemie, Medizin/Physiologie, Literatur und Frieden verliehen. Seit 1969 erfolgt auch eine Verleihung des Nobelpreises auf dem Gebiet der Wirtschaftswissenschaften. Der Nobelpreis gilt als höchste wissenschaftliche Auszeichnung.

Der Fundamentalsatz der Algebra

Welche Aussagen kann man über die Lösungen ganzrationaler Gleichung n-ten Grades der Form
$\sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ... + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n} x^{n} = 0; (n \in ℕ u n d a_{n} \neq 0)$
im Bereich der reellen bzw. im Bereich der komplexen Zahlen treffen?

Evariste Galois

* 18. Oktober 1811 Bourg-la-Reine bei Paris
† 31. Mai 1832 Paris

EVARISTE GALOIS gelang eine Klärung der Lösbarkeit algebraischer Gleichungen durch Wurzelgrößen (Radikale). Er benutzte dazu die Gruppentheorie.

Gleichungen

Eine Gleichung ist ein mathematischer Ausdruck, bestehend aus zwei Termen, die durch das Gleichheitszeichen verbunden sind. Die beiden Terme heißen linke bzw. rechte Seite der Gleichung.

Anders Celsius

* 27.11.1701 Uppsala
† 25.04.1744 Uppsala

Er war ein schwedischer Astronom und Physiker, entwickelte eine Temperaturskala, die Celsius-Skala, und führte eine Reihe von astronomischen Untersuchungen durch.

Teilgebiete der Biologie

Biologie ist die Wissenschaft vom Leben. Da lebende Systeme sehr komplex und vielfältig sind, sind an der Erforschung auch verschiedene biologische Disziplinen beteiligt.

Rudolf Clausius

* 02.02.1822 in Köslin
† 24.08.1888 in Bonn

Er war ein deutscher Physiker, der als Professor in Zürich, Würzburg und Bonn tätig war. CLAUSIUS leistete wesentliche Beiträge zur Entwicklung der Thermodynamik. Insbesondere formulierte er als Erster den 2. Hauptsatz der Wärmelehre.

Gottlieb Daimler

* 17.03.1834 Schorndorf
† 06.03.1900 Bad Cannstatt

Er war ein deutscher Techniker, der wesentliche Beiträge zur Entwicklung von Verbrennungsmotoren geleistet hat und zeitweise mit NIKOLAUS AUGUST OTTO zusammenarbeitete. Zusammen mit WILHELM MAYBACH entwickelte er den ersten schnell laufenden Verbrennungsmotor, der auch für den Antrieb von Fahrzeugen geeignet war.

John Dalton

* 05.09.1766 in Eaglesfield,
† 27.07.1844 in Manchester

Er war ein britischer Privatlehrer, der sich verschiedenen Forschungsarbeiten in den Bereichen Geografie, Meteorologie, Physik, Astronomie und Botanik widmete. Während seiner Forschungen erkannte er das Gesetz der multiplen Proportionen, erarbeitete eine Atommassentabelle mit sechs Elementen und 13 Verbindungen und beschrieb das Wärmeausdehnungsgesetz bei Gasen. Daneben begründete er eine neue Atomtheorie.

Dampfmaschine

Die Dampfmaschine ist die erste historisch bedeutsame Wärmekraftmaschine zur Umwandlung von thermischer in mechanischer Energie. Erfinder der ersten industriell genutzten Dampfmaschine ist der Engländer THOMAS NEWCOMEN (1663- 1729), Vorarbeiten leistete DENIS PAPIN (1647-1712).
Die Dampfmaschine wurde von dem schottischen Techniker JAMES WATT (1776-1819) so weiterentwickelt, dass sie als Antriebsmaschine in den verschiedensten Bereichen (für Pumpen, Textilmaschinen, Mühlen, Pflüge, Lokomotiven) genutzt werden konnte. Die theoretischen Grundlagen, um die Funktionsweise der Dampfmaschinen zu erklären, wurden erst mehr als 50 Jahre später von dem französischen Ingenieur und Physiker SADI CARNOT ( 1796-1832) geschaffen.
Die Industrialisierung des 19. Jahrhunderts ist eng mit der Einführung und Nutzung von Dampfmaschinen verbunden.

Rudolf Diesel

* 18.03.1858 Paris
† 29.09.1913 (Ärmelkanal, Selbstmord)

Er war ein deutscher Ingenieur und erfand im Bestreben, den Wirkungsgrad von Wärmekraftmaschinen zu verbessern, den Motor mit Selbstzündung, der heute ihm zu Ehren als Dieselmotor bezeichnet wird.

Innere Energie

Die innere Energie gibt an, wie groß die in einem abgeschlossenen System (Körper) gespeicherte Energie ist.
Formelzeichen: U
Einheit: ein Joule (1 J)
Sie ist die Gesamtenergie aller Teilchen (Atome, Moleküle) eines Körpers und setzt sich damit aus der Summe der Bewegungsenergien bei Translation, Rotation und Schwingungen, der potenziellen Energien und der Bindungsenergien zusammen.
Bei Gasen wird die innere Energie im Wesentlichen von den Bewegungsenergien der Teilchen bestimmt.

Energieverteilung bei Teilchen

Gegenstand der kinetischen Gastheorie ist die Betrachtung thermodynamischer Prozesse auf der Grundlage von Teilchengrößen, wie der Teilchenanzahl, ihrer räumlichen Verteilung und ihrer Geschwindigkeit. Von besonderer Bedeutung ist die Energieverteilung, die eng mit der Geschwindigkeitsverteilung zusammenhängt. Betrachtet man verschiedene Aggregatzustände und bezieht auch Moleküle in die Betrachtungen ein, so ist neben der kinetischen Energie auch die Rotationsenergie und die Schwingungsenergie mit zu beachten.

Die Entropie

Der Begriff Entropie wurde 1865 durch den deutschen Physiker RUDOLF CLAUSIUS (1822-1888) in die Physik eingeführt. Sie ist eine Größe, mit deren Hilfe man die Irreversibilität eines Vorganges kennzeichnen kann. Von praktischer Bedeutung ist nicht der absolute Betrag der Entropie S, sondern ihre Änderung, die man folgendermaßen kennzeichnen kann:

$\begin{array}{l} Δ S = k \cdot \ln W oder Δ S = \frac{Q}{T} \\ k BOLTZMANN-Konstante \\ W Wahrscheinlichkeit des Zustandes eines Systems \\ Q Wärme \\ T absolute Temperatur \end{array}$

Erster Hauptsatz der Thermodynamik

Der 1. Hauptsatz der Thermodynamik ist der Energieerhaltungssatz, formuliert für thermodynamische Prozesse. Die heute bekannte mathematische Formulierung des 1. Hauptsatzes der Thermodynamik stammt von RUDOLF CLAUSIUS und wurde von ihm um 1850 so formuliert:

Die einem thermodynamischen System zugeführte Wärme ist gleich der Summe aus der Änderung der inneren Energie des Systems und der von ihm verrichteten mechanischen Arbeit.

$\begin{array}{l} Δ U = W + Q \\ Δ U Änderung der inneren Energie \\ des Systems \\ W vom System oder am System verrrichtet \\ mechanische Arbeit (Volumenarbeit) \\ Q vom System aufgenommene oder \\ abgegebene Wärme \end{array}$

Eine andere übliche Formulierung des 1. Hauptsatzes der Thermodynamik lautet:
Es ist unmöglich, eine Perpetuum mobile 1. Art zu konstruieren.

Gabriel Daniel Fahrenheit

* 24.05.1686 Danzig
† 16.09.1736 Den Haag

Er war ein deutscher Physiker und Instrumentenbauer, lebte aber viele Jahre in England und Holland als Hersteller meteorologischer Instrumente, verbesserte viele Geräte und führte die nach ihm benannte Thermometerskala ein.