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Parallelschaltung von Wechselstromwiderständen

Unter Wechselstromwiderständen versteht man ohmsche, induktive und kapazitive Widerstände. Für die Parallelschaltung solcher Widerstände gelten im Wechselstromkreis andere Gesetze als für Widerstände im Gleichstromkreis. Der Gesamtwiderstand Z, der auch als Scheinwiderstand bezeichnet wird, kann bei Parallelschaltung von Wechselstromwiderständen berechnet werden mit der Gleichung:

$\frac{1}{Z} = \sqrt{\frac{1}{R^{2}} + {(\frac{1}{X_{C}} - \frac{1}{X_{L}})}^{2}} oder \frac{1}{Z} = \sqrt{\frac{1}{R^{2}} + {(ω \cdot C - \frac{1}{ω \cdot L})}^{2}}$

Reihenschaltung von Wechselstromwiderständen

Unter Wechselstromwiderständen versteht man ohmsche, induktive und kapazitive Widerstände. Für die Reihenschaltung solcher Widerstände gelten im Wechselstromkreis andere Gesetze als für Widerstände im Gleichstromkreis. Der Gesamtwiderstand Z, der auch als Scheinwiderstand bezeichnet wird, kann bei Reihenschaltung von Wechselstromwiderständen berechnet werden mit der Gleichung:

$Z = \sqrt{R^{2} + {(X_{L} - X_{C})}^{2}} oder Z = \sqrt{R^{2} + {(ω \cdot L - \frac{1}{ω \cdot C})}^{2}}$

Für die Spannungsverteilung gilt, dass die Summe der Teilspannungen größer ist als die Spannung der anliegenden Spannungsquelle.

Selbstinduktion und Induktivität

Eine stromdurchflossene Spule wird von einem Magnetfeld durchsetzt und ist auch von diesem Feld umgeben. Bei konstanter Stromstärke ist dieses Feld zeitlich konstant. Verändert sich die Stromstärke, so verändert sich auch die Stärke des Magnetfeldes, das von der Spule umschlossen wird. Damit wird nach dem Induktionsgesetz in der felderzeugenden Spule selbst eine Spannung induziert. Diese Erscheinung wird als Selbstinduktion, die entstehende Spannung als Selbstinduktionsspannung bezeichnet. Der Bau der Spule, der für den Betrag der Induktionsspannung eine erhebliche Rolle spielt, wird durch die Größe Induktivität charakterisiert.

Transformatoren

Transformatoren oder Umformer werden verwendet, um elektrische Energie eines Wechselstromes von einem Primärstromkreis auf einen Sekundärstromkreis zu übertragen. Bei dieser Übertragung kann man die Werte für die Spannungen und die Stromstärken verändern. Das Funktionsprinzip von Transformatoren beruht auf der elektromagnetischen Induktion, wobei die eine Spule als felderzeugende Spule und die andere als Induktionsspule dient.
Für die praktische Anwendung wesentlich ist die Anpassung eines Transformators an die jeweilige Belastung. In der Technik gibt es auch eine Reihe von speziellen Transformatoren, zu denen beispielsweise Netzgeräte oder Zündspulen gehören.

Wechselspannung und Wechselstrom

Während bei einer Gleichspannung immer die gleiche Polarität und damit bei einem Gleichstrom die gleiche Flussrichtung vorliegt, wird eine Spannung, deren Polarität sich periodisch ändert, als Wechselspannung bezeichnet. Entsprechend ändert sich die Flussrichtung des Wechselstromes periodisch. Spannung und Stromstärke müssen nicht unbedingt den zeitlichen Verlauf einer Sinusfunktion besitzen. Allerdings ist sinusförmige Wechselstrom technisch am weitesten verbreitet, da er bei der Stromgewinnung in Wechselstromgeneratoren entsteht. Er lässt sich auch mathematisch relativ einfach beschreiben.
Bei Wechselspannungen bzw. Wechselströmen gibt man in der Regel die Effektivwerte für Spannung und Stromstärke an. Sie unterscheiden sich von den mittleren Werten und von den Maximalwerten.

Ohmsche, induktive und kapazitive Widerstände im Wechselstromkreis

Unter einem Wechselstromkreis versteht man einen Stromkreis, in dem sich die Polarität der elektrischen Quelle periodisch so ändert, dass sich auch die Flussrichtung periodisch ändert. Wir beschränken uns auf die Betrachtung von sinusförmigem Wechselstrom. Wie im Gleichstromkreis bilden auch im Wechselstromkreis ohmsche Widerstände ein Hindernis für den Strom, also einen elektrischen Widerstand. Darüber hinaus verhalten sich im Wechselstromkreis auch Kondensatoren und Spulen wie elektrische Widerstände. Den Widerstand eines Kondensators bezeichnet man als kapazitiven Widerstand, den einer Spule als induktiven Widerstand. Alle drei Arten von Widerständen im Wechselstromkreis werden als Wechselstromwiderstände bezeichnet. Sie weisen jeweils Besonderheiten auf, die in dem Beitrag ausführlich dargestellt sind.

Gebrochenrationale Funktionen

Eine Funktion f, deren Funktionsterm ein Quotient zweier Polynome $p (x)$ und $q (x)$ ist, heißt gebrochenrationale Funktion. Man unterscheidet zwischen echt und unecht gebrochenrationalen Funktionen.
Durch Polynomdivision kann der Funktionsterm einer unecht gebrochenrationalen Funktion in einen ganzrationalen und einen echt gebrochenrationalen Term zerlegt werden.

Funktionen von mehreren Variablen

Der Funktionsbegriff lässt sich für Funktionen mit zwei und mehr (unabhängigen) Variablen erweitern.
Elemente der Definitionsmenge sind dann Zahlenpaare, Zahlentripel bzw. n-Tupel.
Funktionen mit zwei unabhängigen Variablen lassen sich als Flächen im dreidimensionalen Raum darstellen.

Quadratische Funktionen

Eine Funktion mit einer Gleichung der Form
$y = f (x) = a x^{2} + b x + c (mit a \neq 0, x \in ℝ)$
oder einer Gleichung, die durch äquivalentes Umformen in diese Form überführt werden kann, heißt quadratische Funktion.
Dabei nennt man $a x^{2}$ das quadratische Glied, bx das lineare Glied und c das absolute Glied der Funktionsgleichung.
Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.

Funktionenscharen (Verschiebung, Streckung, Stauchung und Spiegelung von Funktionsgraphen)

In Funktionsgleichungen können Parameter in additiver und multiplikativer Verknüpfung mit Funktionstermen bzw. mit der Funktionsvariablen auftreten. Aus einer Funktionsgleichung $y = f (x)$ entstehen so z.B. die Gleichungen $y = f (x) + c$ , $y = f (x + d)$ , $y = a \cdot f (x)$ oder $y = f (b \cdot x)$ .
Diese Parameter haben Einfluss auf Eigenschaften und Verlauf der Graphen der Funktion.

Funktionen mit der Gleichung y = f(x) = mx + n

Eine Funktion f mit einer Gleichung der Form
$y = f (x) = m x + n (m, n \in ℝ)$
oder einer Gleichung, die durch äquivalentes Umformen in diese Form überführt werden kann, heißt lineare Funktion.
Für lineare Funktionen ist der Definitionsbereich im Allgemeinen die Menge der reellen Zahlen (so nicht das mathematische oder das entsprechenden Anwendungsproblem einen Einschränkung verlangt), was dann auch für den Wertebereich $(m, n \neq 0)$ gilt. Die Zahlen m und n sind Parameter.

Inverse Funktion (Umkehrfunktion)

Eine Funktion heißt umkehrbar eindeutige (eineindeutige) Funktion, wenn nicht nur jedem Argument eindeutig ein Funktionswert zugeordnet ist, sondern auch umgekehrt zu jedem Funktionswert genau ein Argument gehört.

Monotonie von Funktionen

Graphen von Funktionen können in bestimmten Intervallen steigen, fallen oder parallel zur x-Achse verlaufen.

Logarithmusfunktionen

Funktionen mit Gleichungen der Form $y = f (x) = {log}_{a} x (a, x \in ℝ; a, x > 0; a \neq 1)$
heißen Logarithmusfunktionen.
Von besonderer Bedeutung sind die Logarithmusfunktionen mit den Basen 10 und 2 sowie der eulerschen Zahl e.

Nullstellen ganzrationaler Funktionen (dritten und höheren Grades)

Allgemein versteht man unter einer Nullstelle einer Funktion f diejenige Zahl $x_{0} \in D_{f}$ , für die $f (x_{0}) = 0$ gilt. Nullstellen zu berechnen heißt demnach, alle Lösungen der Gleichung $f (x) = 0$ zu ermitteln.
Diese kann man rechnerisch durch Anwenden der äquivalenten Umformungsregeln, Verwenden von Lösungsformeln u.a. sowie Anwenden von Näherungsverfahren bestimmen.

Nullstellen gebrochenrationaler Funktionen

Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion sind alle Nullstellen der ganzrationalen Zählerfunktion, die nicht gleichzeitig Nullstellen der Nennerfunktion sind. Damit ist das Bestimmen der Nullstellen gebrochenrationaler Funktionen auf die Nullstellenermittlung ganzrationaler Funktionen zurückgeführt.

Nullstellen von Wurzelfunktionen sowie Exponential- und Logarithmusfunktionen

Wurzelfunktionen sowie Exponential- und Logarithmusfunktionen gehören zur Klasse der nichtrationalen Funktionen. Zum Bestimmen der Nullstellen jener Funktionen untersucht man, an welchen Stellen $f (x) = 0$ gilt.
Dabei ist der jeweilige Definitionsbereich der Funktion zu beachten.
Die Graphen der „reinen“ Exponentialfunktionen der Form $f (x) = a^{x} (mit a, c, x \in ℝ; a > 0; a \neq 1)$ verlaufen stets oberhalb der x-Achse und schneiden die y-Achse im Punkte $(0; 1)$ , sie besitzen keine Nullstellen.
Alle „reinen“ Logarithmusfunktionen (als Umkehrfunktionen der Exponentialfunktionen zur gleichen Basis) besitzen eine Nullstelle für $x_{0} = 1$ .

Nullstellen trigonometrischer Funktionen

Viele periodische Vorgänge lassen sich durch Funktionen der Form $f (x) = a \cdot \sin (b \cdot (x - c))$ beschreiben. Deren Graphen entstehen aus dem Graphen der Sinusfunktion durch Streckung (Stauchung) in Richtung der Koordinatenachsen und Verschiebung in Richtung der x-Achse, woraus sich Schlussfolgerungen für die Nullstellen ziehen lassen.
Für mit anderen Funktionen verkettete Sinus- und Kosinusfunktionen führt das Bestimmen der Nullstellen auf das Lösen goniometrischer Gleichungen.

Potenzfunktionen

Unter Potenzfunktionen werden Funktionen mit Gleichungen der folgenden Form verstanden:
$y = f (x) = x^{n} (x \in ℝ; n \in ℤ \ {0})$
Ihre Graphen nennt man Parabeln $(n > 0)$ bzw. Hyperbeln $(n < 0)$ n-ter Ordnung.

Streckung, Stauchung und Spiegelung von Graphen quadratischer Funktionen

Der Graph einer quadratischen Funktion mit der Gleichung $y = f (x) = a x^{2} + b x + c$ ist für a = 1 eine (ggf. verschobene) Normalparabel.
Für $a \neq 1$ erhalten wir als Graph im Vergleich zum Graphen von $y = f (x) = x^{2} + b x + c$ eine (in y-Richtung) gestreckte bzw. gestauchte und gegebenenfalls an der x-Achse gespiegelte Parabel.

Winkelfunktionen

Die bezüglich eines rechtwinkligen Dreiecks formulierten Definitionen des Sinus und des Kosinus (wie auch des Tangens und des Kotangens) eines Winkels können auf einen beliebigen Kreis oder speziell auch auf einen Einheitskreis (also einen Kreis mit dem Radius $r = 1$ Längeneinheit) übertragen werden.

Beziehungen zwischen Winkeln und Seiten am rechtwinkligen Dreieck (Winkelfunktionen)

Bei allen zueinander ähnlichen rechtwinkligen Dreiecken sind die Quotienten aus den Längen von je zwei einander entsprechenden Seiten gleich.

Graphen und Eigenschaften von Winkelfunktionen

Graphen von Winkelfunktionen kann man auf die bekannte Weise unter Verwendung einer Wertetabelle zeichnen. Es ist allerdings auch möglich, ausgehend von der Definition dieser Funktionen am Einheitskreis die zu einem Winkel als Abszisse eines Graphenpunktes gehörende Ordinate sofort aus der Zeichnung zu entnehmen. Aus der Konstruktion der Funktionsgraphen lassen sich einige wichtige Eigenschaften der entsprechenden Winkelfunktionen schlussfolgern.

Wurzelfunktionen

Funktionen mit Gleichungen der Form $y = f (x) = \sqrt[n]{x^{m}} (x \geq 0; m, n \in ℕ; m \geq 1; n \geq 2)$
heißen Wurzelfunktionen.

Anwendung transzendenter Funktionen bei der Zinseszinsrechnung

Wird ein festes Kapital K mehrere Jahre verzinst, ohne dass die Zinsen am Jahresende abgehoben werden, so werden auch die jeweils angefallen Zinsen mit verzinst. Man spricht in diesem Fall von der sogenannten Zinseszinsrechnung. Diese stellt eine wichtige Anwendung transzendenter Funktionen dar.