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Beurteilende Statistik setzt quantitatives Beschreiben von Grundgesamtheiten bzw. Stichproben voraus. Begründete Vermutungen über stochastische Eigenschaften von Grundgesamtheiten nennt man Hypothesen. Auf der Grundlage statistischer Tests wird entschieden, ob die zu überprüfende Hypothese abzulehnen (zu verwerfen) ist oder nicht.

* 27. März 1857 London
† 27. April 1936 London

KARL PEARSON wird mitunter als Vater der Statistik bezeichnet. Sein Verdienst ist es, mathematische Methoden (wie etwa den ${\chi }^2\text{-Test}$) zur Untersuchung der Mannigfaltigkeit der Lebewesen eingesetzt und damit die Grundlagen der sogenannten Biometrie geschaffen zu haben.

* 22. Februar 1796 Gent
† 17. Februar 1874 Brüssel

LAMBERT ADOLPHE JACQUES QUÉTELET gilt als Begründer der Sozialstatistik. Sein Verdienst ist es, Erkenntnisse der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf neue Disziplinen übertragen zu haben.

Ein statistischer Test (auf signifikante Unterschiede), bei dem auf Stichprobenbasis über die Beibehaltung der (einfachen oder zusammengesetzten) Nullhypothese $H_0$ oder deren Ablehnung entschieden wird, heißt normaler Signifikanztest, kurz: Signifikanztest.
Während bei einem Alternativtest zwei (im Allgemeinen einfache) Hypothesen gegeben sind, von denen man eine – in Abhängigkeit von der praktischen Bedeutsamkeit des Fehlers 1. Art – als Nullhypothese wählt, ist bei einem Signifikanztest nur eine (einfache oder zusammengesetzte) Hypothese gegeben. Als Nullhypothese wird die gegebene Hypothese oder ihre Verneinung (Negation) gewählt – in Abhängigkeit davon, bei welcher von beiden der Fehler 1. Art bezüglich des vorliegenden konkreten Sachverhalts von größerer Bedeutung ist als der (im Allgemeinen nicht eindeutig zu berechnende) Fehler 2. Art.

In den folgenden Beispielen werden typische Entscheidungsfragen untersucht, für deren prüfstatistische Absicherung Signifikanztest üblich sind.

• Definition: Ein statistischer Test auf signifikante Unterschiede (Signifikanztest), bei dem auf Stichprobenbasis über die Beibehaltung der (einfachen oder zusammengesetzten) Nullhypothese $H_0$ oder deren Ablehnung entschieden wird, heißt normaler Signifikanztest, kurz: Signifikanztest.

Bei einem Alternativtest sind zwei (im Allgemeinen einfache) Hypothesen gegeben, von denen eine – in Abhängigkeit von der praktischen Bedeutsamkeit des Fehlers 1. Art – als Nullhypothese gewählt wird. Im Gegensatz dazu ist bei einem Signifikanztest nur eine (einfache oder zusammengesetzte) Hypothese gegeben. Als Nullhypothese wird die gegebene Hypothese oder – falls möglich und mit Blick auf die Bedeutsamkeit des Fehlers 1. Art – ihre Verneinung (Negation) gewählt.

Basis einer statistischen Erhebung ist eine Menge von Objekten, von denen ein Merkmal oder mehrere Merkmale (Merkmalskombinationen) untersucht werden.

Wird aus einer Grundgesamtheit „auf gut Glück“ eine (Teil-)Menge mit n Elementen ausgewählt, so handelt es sich dabei um eine sogenannte Stichprobe. Die Anzahl n der Elemente gibt den Umfang der Stichprobe, den Stichprobenumfang an. Jedes einzelne Element der Stichprobe heißt Stichprobenwert.

Man kann auch sagen: In einer Stichprobe werden n-mal wiederholte Beobachtungen ein und derselben Zufallsgröße zusammengefasst.

Variieren die Beobachtungsergebnisse in nicht vorhersagbarer Weise (Zufälligkeit der Beobachtungsergebnisse) und beeinflussen sie einander nicht, sind sie also unabhängig voneinander, so hebt man dies gelegentlich durch die Verwendung des Begriffes Zufallsstichprobe besonders hervor.

Unabhängigkeit der Beobachtungsergebnisse heißt also: Unabhängig davon, welche Elemente zuvor bereits für die Stichprobe „auf gut Glück“ ausgewählt worden sind, kann anschließend jedes Element der Grundgesamtheit mit gleicher Wahrscheinlichkeit ausgewählt werden.

Als häufige Auswahlformen von (Zufalls-)Stichproben seien die Klumpenstichprobe und die (proportional) geschichtete Stichprobe genannt.

Hier kannst du dich selbst testen. So kannst du dich gezielt auf Prüfungen und Klausuren vorbereiten oder deine Lernerfolge kontrollieren.

Multiple-Choice-Test zum Thema "Mathematik - Testen einer unbekannten Wahrscheinlichkeit".

Viel Spaß beim Beantworten der Fragen!

WISSENSTEST

Der Abakus ist ein bereits im Altertum verwendetes Rechenbrett, das durch Linien in einzelne Felder eingeteilt wurde. Mit ihm konnte addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert sowie mit einigem Geschick sogar potenziert und radiziert werden.
Der „moderne“ Abakus besteht aus einem Holzrahmen mit eingebauten parallelen Stäben, an denen durchbohrte Kugeln oder Perlen auf- und abgeschoben werden können. Diese Form setzte sich in China als suan pan, in Russland als stschoty und in Japan als soroban durch.

* 26. Dezember 1791 London
† 18. Oktober 1871 London

CHARLES BABBAGE war Mathematikprofessor in Cambridge.
In der Geschichte der Rechentechnik hat er dadurch Ruhm erworben, dass er als Erster einen programmgesteuerten mechanischen Ziffernrechner erdachte.

* 28.02.1552 Lichtensteig
† 31.01.1632 Kassel

JOBST BÜRGI wirkte als Astronom und Mathematiker in Kassel sowie am kaiserlichen Hof in Prag. Er entwickelte eine Reihe astronomischer Geräte und erfand den Proportionalzirkel.

Das Computerprogramm Derive zählt zu den leistungstarken und auch bedienungsfreundlichen Computeralgebrasystemen (CAS). Es gehört deshalb zu den an Schulen mit am meisten genutzten CAS.

Anders als ein wissenschaftlicher Taschenrechner kann ein CAS wie Derive auch Terme mit Variablen umformen und vereinfachen (symbolische Termumformungen) sowie Gleichungen und Gleichungssysteme lösen. Zu den Fähigkeiten von Derive gehören auch zwei- und sogar dreidimensionale Abbildungen.

Geonext – als Weiterentwicklung von Geonet – ist ein vollständig in die Internetumgebung eingebundenes interaktives Geometrieprogramm.
Während man mit statischen Programmen „nur“ zeichnen und konstruieren kann, lassen sich Konstruktionen von Polygonen oder Kreisen, die mit einer dynamischen Geometriesoftware (DGS) wie Geonext erzeugt wurden, stetig verändern. Mithilfe des sogenannten Zugmodus können Punkte und Geraden verschoben werden, ohne dass sich die damit verbundenen charakteristischen Eigenschaften der Konstruktion ändern. Größen wie Längen und Winkel lassen sich außerdem messen und mit Berechnungen verknüpfen.

Ableitung, abschnittsweise definierte Funktion, Darstellung von Zahlenfolgen, Ermittlung von Grenzwerten, Funktionenschar, Funktionsuntersuchung, Gleichungen, Gleichungssysteme, grafische Darstellung von Funktionen, Integration, Koordinaten von Hoch- und Tiefpunkten, Nullstellen
Durch den Einsatz von grafikfähigen Taschenrechnern (GTR) lässt sich der Arbeits- und Zeitaufwand zum Lösen mathematischer Aufgaben wesentlich reduzieren. Die Lösung bestimmter Aufgaben wird auf diesem Wege überhaupt erst möglich. Dabei ist es für viele schultypische Aufgabenstellungen unerheblich, ob der GTR zusätzlich ein Computeralgebrasystem (CAS) besitzt oder nicht.
Obwohl die Rechnerbefehle und damit die Handhabung verschiedener Rechnertypen zum Teil recht unterschiedlich sind, lassen sich typische Arbeitsweisen durchaus an einem festgelegten Modell aufzeigen. Für die folgenden Beispiele wurde dafür der Grafiktaschenrechner (mit CAS) VOYAGE 200 ausgewählt.
Im Folgenden wird an zwölf Beispielskomplexen gezeigt, wie der VOYAGE 200 zur Lösung typischer Aufgabenstellungen aus der Analysis eingesetzt werden kann.
Grundsätzliche Vorgehensweisen werden dazu detailliert erläutert und durch 37 Schirmbildwiedergaben veranschaulicht.

Abstandsberechnungen, Berechnung von Winkeln, Gleichungssystem, Lagebeziehung von Geraden, vektorielle Geradengleichung, Vektoroperationen
Durch den Einsatz von grafikfähigen Taschenrechnern (GTR) lässt sich der Arbeits- und Zeitaufwand zum Lösen mathematischer Aufgaben wesentlich reduzieren. Die Lösung bestimmter Aufgaben wird auf diesem Wege überhaupt erst möglich. Dabei ist es für viele schultypische Aufgabenstellungen unerheblich, ob der GTR zusätzlich ein Computeralgebrasystem (CAS) besitzt oder nicht.
Obwohl die Rechnerbefehle und damit die Handhabung verschiedener Rechnertypen zum Teil recht unterschiedlich sind, lassen sich typische Arbeitsweisen durchaus an einem festgelegten Modell aufzeigen. Für die folgenden Beispiele wurde dafür der Grafiktaschenrechner (mit CAS) VOYAGE 200 ausgewählt.
Im Folgenden wird an sechs Beispielskomplexen gezeigt, wie derVOYAGE 200 zur Lösung typischer Aufgabenstellungen aus der Analytischen Geometrie und der linearen Algebra eingesetzt werden kann.
Grundsätzliche Vorgehensweisen werden dazu detailliert erläutert und durch 27 Schirmbildwiedergaben veranschaulicht.

Berechnung binomialer Warscheinlichkeiten, Binomialverteilung, Erzeugung eines Histogramms, Gleichungssystem, Kombinatorik, Normalverteilung, Programm-Editor, Standardnormalverteilung, Summenzeichen, Zufallszahlen
Durch den Einsatz von grafikfähigen Taschenrechnern (GTR) lässt sich der Arbeits- und Zeitaufwand zum Lösen mathematischer Aufgaben wesentlich reduzieren. Die Lösung bestimmter Aufgaben wird auf diesem Wege überhaupt erst möglich. Dabei ist es für viele schultypische Aufgabenstellungen unerheblich, ob der GTR zusätzlich ein Computeralgebrasystem (CAS) besitzt oder nicht.
Obwohl die Rechnerbefehle und damit die Handhabung verschiedener Rechnertypen zum Teil recht unterschiedlich sind, lassen sich typische Arbeitsweisen durchaus an einem festgelegten Modell aufzeigen. Für die folgenden Beispiele wurde dafür der Grafiktaschenrechner (mit CAS) VOYAGE 200 ausgewählt.
Im Folgenden wird an zehn Beispielskomplexen gezeigt, wie derVOYAGE 200 zur Lösung typischer Aufgabenstellungen aus der Stochastik eingesetzt werden kann.
Grundsätzliche Vorgehensweisen werden dazu detailliert erläutert und durch 32 Schirmbildwiedergaben veranschaulicht.

Mathcad ist eine Kombination aus

1. einer leistungsstarken Software für wissenschaftliche und technische Berechnungen und
2. einem vollwertigen Textverarbeitungsprogramm.

Dadurch ist es möglich, Berechnungen und grafische Darstellungen mit erläuternden Textelementen oder importierten Objekten zu präsentationsreifen Dokumentationen zusammenzufügen.

* 1550 Merchiston Castle (bei Ediburgh)
† 4. April 1617 Merchiston Castle

JOHN NAPIER (bzw. latinisiert NEPER) ist neben dem Schweizer JOST BÜRGI einer der Erfinder der Logarithmen und schuf damit eine wesentliche Grundlage für die Entwicklung von Rechenhilfsmitteln.
Darüber hinaus veröffentlichte NAPIER Arbeiten über sphärische Trigonometrie.

* 27. Januar 1687 Eger
† 19. August 1753 Würzburg

JOHANN BALTHASAR NEUMANN, deutscher Architekt und Baumeister des 18. Jahrhunderts, ist vor allem durch seine prächtigen Rokokobauten bekannt geworden.
Für seine Berechnungen entwickelte NEUMANN einen speziellen Proportionalwinkel.

* 28. Dezember 1903 Budapest
† 8. Februar 1957 Washington

JOHN VON NEUMANN gehört zu den bedeutendsten Mathematikern des 20. Jahrhunderts. Er ist Begründer der modernen Funktionalanalysis sowie der Spieltheorie.
Intensiv beschäftigte sich VON NEUMANN mit Fragen elektronischer Rechnersysteme, er gilt als Wegbereiter der sogenannten Computer-Architektur.

* 5. März 1574 Eton (Buckinghamshire)
† 30. Juni 1660 Albury (Surrey)

Das Verdienst des englischen Pfarrers WILLIAM OUGHTRED (bzw. OWTRED) besteht vor allem in der Weiterentwicklung des logarithmischen Rechenstabes durch Einführung von zwei logarithmischen Skalen. Darüber hinaus veröffentlichte er eine Reihe mathematischer Schriften und erteilte in seinem Hause kostenlos Unterricht in Mathematik.

Proportionalzirkel und Proportionalwinkel waren vielseitig einsetzbare Rechengeräte des 17. und 18. Jahrhunderts. Berechnungen mit ihnen beruhten auf dem Rechnen mit Streckenlängen und Streckenverhältnissen. Ihre Entwicklung geht maßgeblich auf GALILEO GALILEI und sowie den Schweizer JOBST BÜRGI zurück.
Obwohl beide klar zu unterscheiden sind, werden die Begriffe Proportionalzirkel und Proportionalwinkel oft synonym verwendet.

Als älteste technische Hilfsmittel gelten die (als Abakus bekannten) Rechenbretter. Um 1620 wurde der Rechenstab auf Grundlage einer zweigeteilten logarithmischen Skala entwickelt.

Die ersten mechanischen Rechenmaschinen entstanden im 17. Jahrhundert. Auf CHARLES BABBAGE geht die Idee eines programmgesteuerten Rechners zurück, die technisch allerdings erst im Jahre 1936 durch KONRAD ZUSE realisiert werden konnte. Heute leisten Computer und elektronische Taschenrechner mehr als zehn Millionen Additionen pro Sekunde. Durch Nutzung von Computeralgebrasystemen (CAS) sind für die etwa ab 1990 massenhaft verbreiteten Personalcomputer weit über das „bloße“ Rechnen hinausgehende Möglichkeiten entstanden.