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STANISLAW ULAM (1909 bis 1984), US-amerikanischer Mathematiker polnischer Abstammung
* 03. April 1909 Lemberg (heute: Lwow, Ukraine)
† 13. Mai 1984 Santa Fe (New, Mexico, USA)

STANISLAW ULAM trug maßgeblich zur Entwicklung der ersten Wasserstoffbombe durch die USA bei. Lange Jahre arbeitete er eng mit JOHN VON NEUMANN zusammen.
ULAM gilt als Begründer der sogenannten Monte-Carlo-Methode, einer Methode zum Simulieren von Zufallsexperimenten mithilfe von Zufallszahlen.

* 7. September 1707 Montbard (Frankreich)
† 16. April 1788 Paris

GEORGES-LOUIS LECLERC oder (wie er sich ab 1725 nannte) GEORGES-LOUIS LECLERC DE BUFFON wirkte in Paris und war ein äußerst vielseitiger französischer Wissenschaftler. Das Spektrum seiner Forschungen umfasste sowohl Mathematik und naturwissenschaftliche Disziplinen als auch solche Gebiete wie Literatur und Philosophie.
Das von ihm 1733 der Pariser Akademie vorgetragene (und nach ihm benannte) Nadelexperiment zur näherungsweisen Bestimmung von $\pi$ ist das historisch erste Beispiel für die Anwendung der Monte-Carlo-Methode.

* 16. November 1717 Paris
† 29. Oktober 1783 Paris

JEAN BAPTISTE LE ROND D’ALEMBERT war nicht nur ein bedeutender Mathematiker und Physiker des 18. Jahrhundert, sondern auch ein Philosoph der Aufklärung.
Gemeinsam mit DIDEROT gab er die Encyclopédie, eine Sammlung des gesamten Wissens jener Zeit, heraus.

Wir nähern uns dem Begriff der Dichtefunktion stetiger Zufallsgrößen mittels eines Anwendungsbeispiels.

Die Dreiecksverteilung wird in den meisten Lehrbüchern zur Stochastik kaum erwähnt bzw. nur am Rande behandelt. Das mag seinen Grund darin haben, dass diese Verteilung kein eigenständiges, aus der Praxis stammendes Anwendungsgebiet besitzt.
Die erste Abhandlung über diese Form der Verteilung von Zufallsgrößen in der Geschichte der Wahrscheinlichkeitstheorie stammt vom englischen Mathematiker THOMAS SIMPSON (1710 bis 1761), deshalb spricht man mitunter auch von der simpsonschen Verteilung.

Wählt man in der tschebyschewschen Ungleichung $P\left(\left|X-EX\right|\ge \alpha \right)\le \frac{1}{{\alpha }^2}\cdot D^{2}X$ für den Parameter $\alpha$ Vielfache der Standardabweichung $\sigma =DX=\sqrt{E{\left(X-EX\right)}^2}$, setzt man also $\alpha =n\cdot \sigma$, so erhält man:
$P\left(\left|X-EX\right|\ge n\cdot \sigma \right)\le \frac{1}{{\left(n\cdot \sigma \right)}^2}\cdot {\sigma }^2=\frac{1}{n^2}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert annimmt, der von EX um mindestens das n-fache der Standardabweichung $\sigma$ abweicht, ist folglich höchstens $\frac{1}{n^2}$.
Für die Spezialfälle $n=1;2;3$ ergibt sich dann Folgendes:
$\begin{array}{l}P\left(\left|X-EX\right|\ge \sigma \right)\le 1\\ P\left(\left|X-EX\right|\ge 2\sigma \right)\le \mathrm{0,25}\\ P\left(\left|X-EX\right|\ge 3\sigma \right)\le \mathrm{0,}\overline{1}\end{array}$

Diese aus der tschebyschewschen Ungleichung gewonnenen Aussagen werden als $\sigma \text{-}\mathrm{Re}gel$ oder $3\sigma \text{-}\mathrm{Re}gel$ bezeichnet.

In der Praxis hat es sich als günstig und richtig erwiesen von einer derartigen Menge von Ereignissen eines zufälligen Vorgangs, denen man eine Wahrscheinlichkeit zuordnen möchte, zu fordern, dass sie die im folgenden gezeigten Bedingungen einer Ereignisalgebra E erfüllt.

Der mathematische Begriff des (zufälligen) Ereignisses ist für die Wahrscheinlichkeitstheorie von grundlegender Bedeutung.
Ausgehend von der Erfahrung, dass beim Ablauf zufälliger Vorgänge deren Ergebnis im Rahmen verschiedener Möglichkeiten ungewiss ist, ordnet man in der Wahrscheinlichkeitstheorie jedem Zufallsexperiment eine Ergebnismenge $\Omega$ zu.

• Jede Teilmenge A der Ergebnismenge $\Omega$ eines Zufallsexperiments heißt (zufälliges) Ereignis A.

Spezielle Ereignisse sind das unmögliche und das sichere Ereignis, atomare Ereignisse, Gegenereignisse, unvereinbare sowie unabhängige Ereignisse.

Zwei Ereignisse A und B mit positiver Wahrscheinlichkeit sind genau dann voneinander stochastisch unabhängig, wenn gilt:
$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)$
Man kann diesen Ansatz auf endlich oder abzählbar viele Ereignisse ausdehnen, wobei der Einfachheit halber vorausgesetzt wird, dass alle betrachteten Ereignisse eine positive Wahrscheinlichkeit besitzen. Dabei ist aber Vorsicht geboten. Es ist zum Beispiel möglich, dass die Ereignisse $A_1,A_2,\mathrm{...,}{A}_n$ paarweise voneinander unabhängig sind (d.h., je zwei der Ereignisse sind voneinander unabhängig), die Ereignisse $A_1,A_2,\mathrm{...,}{A}_n$ in ihrer Gesamtheit sind dies aber nicht.

Im Folgenden soll der Begriff der (stochastischen) Unabhängigkeit von zwei Ereignissen A und B  mit positiven Wahrscheinlichkeiten betrachtet werden.
Die Unabhängigkeit von Ereignissen darf nicht mit der Unvereinbarkeit von Ereignissen verwechselt werden.

Da Zufallsgrößen oftmals sehr komplizierte mathematische Gebilde sind, sucht man nach zahlenmäßigen Kenngrößen, die über die Zufallsgröße Wesentliches aussagen und zugleich aus Beobachtungsdaten zumindest näherungsweise einfach zu bestimmen sind.
Eine derartige Kenngröße ist der Erwartungswert.

• Es sei X eine endliche Zufallsgröße, die genau die Werte $x_i\left(miti\in \left\{1;2;\mathrm{...};n\right\}\right)$ annehmen kann, und zwar jeweils mit der Wahrscheinlichkeit $P\left(X=x_i\right)$. Dann nennt man die folgende Kenngröße den Erwartungswert der Zufallsgröße X:
  $EX=x_1\cdot P\left(X=x_1\right)+x_2\cdot P\left(X=x_2\right)+\mathrm{...}+x_n\cdot P\left(X=x_n\right)$

Anmerkung: Für EX schreibt man auch $E\left(X\right),\mu \left(X\right),{\mu }_{X}oder\mu$.

Für die Erwartungswerte von Zufallsgrößen gelten eine Reihe wichtiger und nützlicher Rechneregeln. Der Einfachheit halber sollen hier nur endliche Zufallsgrößen betrachtet werden.
Erwartungswerte können nach diesen Sätzen, nach Definitionen bzw. durch Simulationen bestimmt werden.

Die Betrachtung von Integralen mit entweder unbeschränktem Integrationsintervall oder unbeschränktem Integranden führt zum Begriff des uneigentlichen Integrals.
Funktionen, deren Integrale sich nicht durch elementare Funktionen ausdrücken lassen, werden nicht geschlossen integrierbar genannt.

Differenzengleichungen bieten einen elementaren mathematischen Zugang zu anspruchsvollen praktischen Fragestellungen, z.B. aus der Populationsdynamik, der Finanzmathematik und der Technik. Das Bearbeiten von Differenzengleichungen umfasst im Wesentlichen das Abarbeiten von iterativen Berechnungsverfahren und rekursiven Bildungsvorschriften, das Finden expliziter Bildungsvorschriften für Folgen, das Lösen von Gleichungssystemen und ähnliche elementare Anforderungen.
Als Beispiele werden aus der Finanzmathematik Ratensparen, Guthabenverrentung und Annuitätendarlehen, aus der Technik die Temperaturanpassung an eine Umgebungstemperatur behandelt.

Gleichungen als typisches Arbeitsmittel und zugleich bedeutsamer Arbeitsgegenstand der Mathematik treten in der Schulmathematik vor allem als lineare, quadratische, goniometrische und Wurzelgleichungen auf. Sie werden zur Berechnung von Funktionswerten für gegebene Argumente, zur Bestimmung der Nullstellen und zur Ermittlung von Extrempunkten von Funktionen, zur analytischen Untersuchung von Eigenschaften geometrischer Gebilde u.a. genutzt. In allen diesen Fällen handelt es sich um Gleichungen, deren Lösungen Zahlen oder Größen sind.

Differenzen- und Differenzialgleichungen sind von anderer Natur, denn sie besitzen als Lösungen Folgen bzw. Funktionen. Dennoch sind sie uns nicht ganz unbekannt. So kann beispielsweise eine geometrische Folge explizit durch $a_i=s\cdot q^i,i\in \mathbb{N},q,s\in ℝ$ beschrieben werden, aber auch durch die rekursive Bildungsvorschrift $a_0=sund{a}_{i+1}=q\cdot a_i,i\in \mathbb{N}.$

Die Lösungen (Integrale) von Differenzialgleichungen sind Kurvenscharen. Entsprechend lassen sich Klassen von Kurven, die sich nur durch konstante Parameter unterscheiden, durch Differenzialgleichungen darstellen. Im Folgenden werden Differenzialgleichungen für geometrische Grundgebilde wie Gerade, Kreis, Parabel, Ellipse und Hyperbel angegeben.

Ein Körper, der an einer Feder befestigt ist, führt nach einer Auslenkung eine Schwingung durch. Der Ort des Körpers wird durch die zeitabhängige Ortskoordinate y(t) beschrieben, deren Gleichung gefunden werden soll.
Im Folgenden werden mit einer derartigen Anordnung gedämpfte und ungedämpfte Schwingungen untersucht.

In einem Gleichstromkreis befindet sich eine Spannungsquelle mit der Spannung $U_0$ ein ohmscher Widerstand R und ein Kondensator mit der Kapazität C.
Wird Spannung angelegt, so fließt über den Widerstand R ein Strom I zum Kondensator und lädt ihn auf. Dabei wächst die Kondensatorspannung $U_C=\frac{Q}{C}.$

Beim Stromfluss fällt am Widerstand die Spannung $U_R=I\cdot R$ ab. Die Summe aus Spannungsabfall am ohmschen Widerstand und Kondensatorspannung ist immer gleich der Spannung der Spannungsquelle.

Es gilt also $U_0=U_R+U_C=IR+\frac{Q}{C},$ woraus mit $I=\frac{dQ}{dt}$ folgt:
$U_0=R\frac{dQ}{dt}+\frac{Q}{C}bzw.\frac{dQ}{dt}+\frac{Q}{RC}=\frac{U_0}{R}$

Diese Gleichung ist eine lineare inhomogene Differenzialgleichung 1. Ordnung der Form $f\prime \left(x\right)+qf\left(x\right)=s$ mit den Koeffizienten $q=\frac{1}{RC}unds=\frac{U_0}{R}$ sowie der gesuchten Funktion $Q=Q\left(t\right)$, die im Folgenden zu lösen ist.

Viele Differenzialgleichungen – auch solche 1. Ordnung – lassen sich nicht oder nur aufwendig lösen. Deshalb ist es wichtig, neben exakten auch über numerische Lösungsverfahren zu verfügen, die Näherungslösungen für Anfangswertprobleme liefern. Da sich numerische Lösungsverfahren mithilfe von Computern abarbeiten lassen, werden Differenzialgleichungen für einen immer breiteren Interessentenkreis zugänglich.

Die einfache lineare Differenzialgleichung 1. Ordnung $f\prime \left(x\right)+f\left(x\right)-x=0$ lässt sich nicht durch Trennen der Variablen lösen. Wird die Differenzialgleichung nämlich in die Form $f\prime \left(x\right)=x-y$ gebracht, so erkennt man, dass sich die rechte Seite nicht als Produkt $g\left(x\right)\cdot h\left(y\right)$ schreiben lässt, was Voraussetzung für das Trennen der Variablen ist.
Die Lösung der inhomogenen Gleichung kann jedoch ausgehend von der Lösung der entsprechenden homogenen Gleichung gefunden werden.

Ein elektromagnetischer Schwingkreis ist ein geschlossener Stromkreis, in dem ein Kondensator und eine Spule (mit induktivem und ohmschem Widerstand - in der folgenden Abbildung der Übersichtlichkeit halber getrennt gezeichnet) in Reihe geschaltet sind.

Der Füllstand einer Talsperre wird ausgedrückt durch das (aktuelle) Stauvolumen V(t), das sich durch den Zu- und Abfluss von Wasser mit der Zeit t ändern kann. Zu- und Abfluss von Wasser geben an, welches Wasservolumen pro Zeiteinheit in die Talsperre hinein- bzw. aus ihr herausfließt.
Beide werden zusammengefasst zur Wasserzufuhr Z(t), die sich ebenfalls mit der Zeit ändern kann. Überwiegt der Zufluss, so gilt $Z\left(t\right)\ge \mathrm{0,}$ überwiegt dagegen der Abfluss, so ist $Z\left(t\right)\le 0$.