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Ausgehend von der parameterfreien Gleichung einer Ebene erhält man über die Spezialisierung der Koeffizienten a, b, c und d spezielle Lagen der Ebene im Raum.
Speziell für d = 0 verläuft die Ebene durch den Koordinatenursprung.

Unsere Erde hat annähernd Kugelgestalt, sie wird in der Regel als Kugel betrachtet. Will man geometrische Probleme lösen, welche die Erdoberfläche betreffen, also die Kugelgestalt der Erde berücksichtigen, muss man eine spezielle Geometrie und Trigonometrie haben. Denn schon die Entfernung zweier Orte auf der Erdkugel, die nicht gerade nahe beieinander liegen, ist mit den Mitteln der ebenen Geometrie nicht mehr exakt zu bestimmen.
Die mathematische Geografie gehört deshalb zu den wichtigsten Anwendungsbereichen der sphärischen Trigonometrie, der Trigonometrie der Kugeloberfläche. Die Erdoberfläche wird dabei hinreichend genau als Oberfläche einer Kugel mit dem Radius 6370 km angenommen.

Die sphärische Geometrie ist die Geometrie auf der Kugel, die sphärische Trigonometrie ist die Trigonometrie der Kugeloberfläche. Dass beide von der Geometrie und der Trigonometrie der Ebene verschieden sein müssen, erkennt man schon daran, dass es auf der Kugel keine Geraden im Sinne der klassischen ebenen Geometrie und Trigonometrie gibt.
Braucht man eine solche Geometrie und Trigonometrie der Kugeloberfläche überhaupt? Eine einfache Antwort ist: Unsere Erde hat annähernd Kugelgestalt, sie wird in der Regel als Kugel betrachtet. Will man geometrische Probleme lösen, welche die Erdoberfläche betreffen, also die Kugelgestalt der Erde berücksichtigen, muss man eine spezielle Geometrie und Trigonometrie haben. Denn schon die Entfernung zweier Orte auf der Erdkugel, die nicht gerade nahe beieinander liegen, ist mit den Mitteln der ebenen Geometrie nicht mehr exakt zu bestimmen.

In Analogie zu Geradenbüscheln in der Ebene bzw. Ebenenbüscheln und Ebenenbündeln im Raum kann man auch die Menge aller Geraden des Raumes durch einen festen Punkt $P_0$ betrachten.

• Definition: Die Menge der Geraden der Ebene, die durch einen festen Punkt $P_0$ geht, heißt Geradenbüschel.

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Multiple-Choice-Test zum Thema "Mathematik - Lagebeziehungen von Geraden".

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Die Betrachtung eines Anwendungsbeispiels führt zur Punktrichtungsgleichung einer Geraden in der Ebene. Aus der Parameterform der Punktrichtungsgleichung einer Geraden wird anschließend eine parameterfreie Gleichung ermittelt.

Als einziger Kegelschnitt besitzt die Hyperbel ein Paar Asymptoten. Deren Gleichungen lassen sich wie im Folgenden skizziert bestimmen.

Als Kegelschnitte bezeichnet man Kurven, die beim Schnitt eines geraden Doppelkreiskegels (Rotationskegels) mit einer Ebene $\epsilon$ entstehen.

Die Definition der Kegelschnitte lässt neben den regulären Formen (Kreis, Ellipse, Parabel, Hyperbel) noch die sogenannten entarteten Kegelschnitte zu.

Eine Gleichung der Form $ax+by=c$ mit ganzzahligen Koeffizienten a, b und c, für die ganze Zahlen x und y als Lösungen gesucht sind, heißt eine (lineare) diophantische Gleichung in zwei Unbekannten.
Diophantische Gleichungen können gelöst werden durch systematisches Probieren, mit der Methode der korrespondieren Kongruenzen, mittels formaler Bruchschreibweise sowie mithilfe des euklidischen Algorithmus.

Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren Gleichungen (im Sonderfall nur aus einer Gleichung), deren Lösungen alle Gleichungen des Systems erfüllen müssen.
Die Lösung eines linearen Gleichungssystems ist der Durchschnitt der Lösungsmengen der einzelnen Gleichungen.

Goniometrische (trigonometrische) Gleichungen sind Gleichungen, in denen die Variable im Argument von Winkelfunktionen vorkommt. Ein allgemeines Verfahren zur direkten Bestimmung der Lösung oder der Lösungen einer goniometrischen Gleichung gibt es nicht, - oft sind die Lösungen nur durch Näherungsverfahren zu ermitteln.
Goniometrische Gleichungen mit nur einer Winkelfunktion und gleichem Argument lassen sich manchmal relativ einfach lösen (etwa indem sie durch Substitution auf algebraische Gleichungen zurückgeführt werden). Treten verschiedene Argumente auf, so kann durch Anwenden von Additionstheoremen und Winkelbeziehungen versucht werden, eine Gleichung mit Winkelfunktionen des gleichen Arguments zu erreichen.

Goniometrische (trigonometrische) Gleichungen sind Gleichungen, in denen die Variable im Argument von Winkelfunktionen vorkommt. Ein allgemeines Verfahren zum direkten Bestimmen der Lösung oder der Lösungen einer goniometrischen Gleichung gibt es nicht, - oft sind die Lösungen nur durch Näherungsverfahren zu ermitteln.
Tritt die Variable als Argument von verschiedenen Winkelfunktionen auf, so versucht man so umzuformen, dass die Gleichung auf eine solche mit nur einer Winkelfunktion reduziert wird. Bei diesen Umformungen helfen Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen.

HERON VON ALEXANDRIA hat etwa in der zweiten Hälfte des 1.Jahrhunderts gelebt und stammt vermutlich aus Ägypten. Seine Lebensdaten werden in den einzelnen Quellen unterschiedlich angegeben.
HERON war ein äußerst vielseitiger Mathematiker und Naturforscher.
Von seinen Werken war besonders die „Geometrica“, eine Zusammenstellung von Formeln und Aufgaben, populär.
Intensiv beschäftigte er sich auch mit Problemen der Mechanik und Optik.

* 25. April 1849 Düsseldorf
† 22. Juni 1925 Göttingen

FELIX KLEIN wirkte u.a. in Erlangen, München, Leipzig und Göttingen. An allen Wirkungsstätten bemühte er sich erfolgreich, die Stellung der Mathematik zu verbessern, und hatte insbesondere großen Anteil an dem Aufstieg Göttingens zu einem führenden Zentrum der mathematischen Forschung.
Als wichtigste Forschungsergebnisse KLEINS sind zum einen die projektive Begründung der nichteuklidischen Geometrien, also jener Geometrien, in denen das Parallelenpostulat nicht erfüllt ist, und zum anderen die Systematisierung der Geometrien im Rahmen des „Erlanger Programms“ zu nennen. Erwähnenswert ist ferner sein Bemühen um die Verbesserung des mathematischen Unterrichts an den Schulen.

Eine Gleichung nennt man Logarithmengleichung, wenn mindestens eine freie Variable (Unbekannte) als Logarithmus (zu einer beliebigen Basis a) auftritt.

Ein homogenes lineares Gleichungssystem ist stets lösbar. Es besitzt immer den Nullvektor als Lösung (trivialen Lösung). Dieser ist genau dann die einzige Lösung, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix gleich der Anzahl der Variablen ist.
Ist der Rang der Koeffizientenmatrix kleiner als die Anzahl der Variablen, so besitzt das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.

Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem besitzt nur dann Lösungen, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ist. Ist dieser gleich der Anzahl der Variablen, so existiert genau eine Lösung; ist er kleiner als die Anzahl der Variablen, dann existieren unendlich viele Lösungen.
Ist der Rang der Koeffizientenmatrix kleiner als der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix, dann besitzt das Gleichungssystem keine Lösung.

Lineare Gleichungssysteme können mithilfe von Determinanten gelöst werden. Eine entsprechende Regel dazu entwickelte der Schweizer Mathematiker GABRIEL CRAMER (1704 bis 1752).

Jede positive ganze Zahl m gestattet es, in der Menge $\mathbb{Z}$ der ganzen Zahlen eine Relation der folgenden Art zu definieren:

* um 1500 Brescia;
† 14. Dezember 1557 Venedig

NICCOLÒ TARTAGLIA war Rechenmeister in seiner Heimatstadt Brescia sowie u.a. in Verona und Venedig. Anlässlich eines Rechenwettstreits beschäftigte er sich intensiv mit dem Lösen kubischer Gleichungen. Die von TARTAGLIA gefundene Lösungsformel für derartige Gleichungen ist heute unter dem Namen cardanische Formel bekannt.

Als Beispiel für die Anwendung der Kongruenzrechnung werden hier mit deren Hilfe einige Teilbarkeitsregeln (so für 9 und 11) bewiesen. Diese Regeln können auch für Rechenkontrollen genutzt werden.

Zwei Terme, zwischen denen eines der Zeichen $<\text{,}>\text{,}\le \text{,}\ge \text{ oder }\ne$ steht, bilden eine Ungleichung.

Ungleichungen der Form $ax+by+c<0\left(a,b\ne 0\right)$ oder solche, die durch äquivalentes Umformen in diese Form überführt werden können, heißen lineare Ungleichungen mit zwei Variablen.

* 1540 in Fontenay-le-Comte
† 13. Dezember 1603 in Paris

FRANÇOIS VIÈTE – der Name wird meist in der latinisierten Form VIETA (gesprochen: Vi-eta) angegeben – arbeitete auf den Gebieten der Trigonometrie und Gleichungslehre.
Unter anderem beschäftigte er sich mit der Berechnung der Kreiszahl $\pi$. Zu seinen Verdiensten gehört die Einführung von Buchstaben als allgemeine Zahlzeichen.